Correction - exercices – algèbre – 14, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 14, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Correction des exercices d'algèbre – 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire, les courbes représentatives.
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PondicherySavril2004.dvi

[ Baccalauréat S Pondichéry 1er avril 2004 \

Exercice 1 3 points

1. Soit u la suite définie par :

u0 = 0

un+1 = 1

2−un pour tout entier naturel n

a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.

b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers

termes de la suite w définie sur N par wn = n

n+1 .

c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout en- tier naturel n, un =wn .

2. Soit v la suite de terme général vn défini par vn = ln ( n

n+1

)

où ln désigne la

fonction logarithme népérien.

a. Montrer que v1+ v2+ v3 =− ln4.

b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :

Sn = v1+ v2+·· ·+ vn .

Exprimer Sn en fonction de n.

Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.

Exercice 2 4 points

Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1, U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l’urne U1, deux boules noires dans l’urne U2 et une boule noire dans l’urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé,

• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1, note sa couleur et la remet dans l’urne U1 ;

• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U2, note sa couleur et la remet dans l’urne U2 ;

• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U3, note sa couleur et la remet dans l’urne U3.

On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants : A : « Le dé amène le numéro 1. » B : « Le dé amène unmultiple de trois. » C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le 1, ni un multiple de 3. » N : « La boule tirée est noire. »

1. Le joueur joue une partie.

a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est égale à 5

3k .

b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.

c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit su-

périeure à 1

2 .

d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit égale

à 1

30 .

2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule

noire en jouant une partie soit égale à 1

30 .

Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.

Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3, la probabilité qu’il obtienne au moins une fois une boule noire.

Exercice 3 8 points

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit ϕ la fonction définie sur R par

ϕ(x)= (x2+ x+1)e−x −1.

1. a. Déterminer les limites de ϕ en −∞ et en +∞.

b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations sur R.

2. Démontrer que l’équation ϕ(x)= 0 admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[, qui sera notée α.

Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

3. En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau.

Partie B : étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire

Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives de deux fonc- tions f et g . Les fonctions f et g sont définies sur R par :

f (x)= (2x+1)e−x et g (x)= 2x+1

x2+ x+1 .

Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

sont notéesC f et Cg .

1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.

a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)−g (x)= (2x+1)ϕ(x)

x2+ x+1 où ϕ

est la fonction étudiée dans la partie A.

b. À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x)− g (x) sur R.

c. En déduire la position relative des courbes C f et Cg .

2. a. Montrer que la fonction h définie sur R par

h(x)= (−2x−3)e−x − ln (

x2+ x+1 )

est une primitive sur R de la fonction x 7→ f (x)− g (x).

b. En déduire l’aire A , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan déli-

mitée par les deux courbes C f et Cg et les droites d’équations x =− 1

2 et

x = 0.

Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−4 de cette aire.

2

Exercice 4 : enseignement obligatoire 5 points

Partie A

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

z2−2z+4= 0.

Les solutions seront notées z ′ et z ′′, z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

2. Donner la valeur exacte de (

z ′ )2004 sous forme exponentielle puis sous forme

algébrique.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; (unité gra-

phique : 2 cm).

1. Montrer que les points A d’affixe 1+i p 3 et B d’affixe 1−i

p 3 sont sur unmême

cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

2. On note O′ l’image du point O par la rotation r1 de centre A et d’angle − π

2 et

B′ l’image du point B par la rotation r2 de centre A et d’angle + π

2 .

Calculer les affixes des points O′ et B′ et construire ces points.

3. Soit I le milieu du segment [OB].

a. Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO′B′ ?

b. Calculer l’affixe du vecteur −→ AI .

Montrer que l’affixe du vecteur −−−→ O′B′ est égale à 3

p 3− i.

c. La conjecture émise à la question a est-elle vraie ?.

Exercice 4 : exercice de spécialité 5 points

L’espace (E) est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).

1. Dans cette question, on se place dans le plan P0 d’équation x = 0 rapporté au

repère (

O, −→ ,

−→ k )

.

On note C le cercle de centre B passant par A.

Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle C .

2. OnnommeS la sphère engendrée par la rotation du cercleC autour de l’axe (Oz) et Γ le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l’axe (Oz).

a. Démontrer que le cône Γ admet pour équation x2+ y2 = z2.

b. Déterminer l’intersection du cône Γ et de la sphère S .

Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.

c. Illustrer ces objets par un schéma dans l’espace.

3. On coupe le cône Γ par le plan P1 d’équation x = 1.

Dans P1, l’une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

3

4. Soit M(x ; y ; z) un point du cône Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que x et y ne peuvent pas être simultanément impairs.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

4

Exercice 3

−1 1 2 3

−1

−0,5

0,5

1

1,5

O

5

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