Correction - exercices – algèbre – 15, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 15, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Correction des exercices d'algèbre – 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les solutions distinctes, les images de B et de C et l’application f .
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[ Baccalauréat S La Réunion juin 2004\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= 1− x2e1−x 2 .

Son tableau de variations est le suivant :

x 0 1 +∞

f (x)

1

0

1

Sa courbe représentative C et son asymptote ∆, d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie.

A - Lecture graphique

1. k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, pré- ciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation f (x)= k.

2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles

l’équation f (x)= 1

n admet deux solutions distinctes.

B - Définition et étude de deux suites

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Montrer que l’équation f (x)= 1

n admet

deux solutions un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +∞[.

2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et vn pour n appartenant à l’ensemble {2 ; 3 ;4}.

3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).

4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites (un ) et (vn) sont adjacentes.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

; i désigne

le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 .

Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+ i et −1+ i. Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M ′ du plan d’affixe z ′ tel que :

z ′ = iz +2

z − i .

1. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation :

(z ′− i)(z − i)= 1.

c. Soit D le point d’affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).

Déduire de la question précédente une construction du point D′ image du point D par l’ application f .

2. Soit R un nombre réel strictement positif.

Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M ′ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?

b. Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur −→ u . Détermi-

ner l’ image de la droite D privée du point A par l’application f .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « soit p un nombre premier et a un entier naturel premier avec p ; alors ap−1−1 est divisible par p ».

1. Soit p un nombre premier impair.

a. Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul, tel que 2k ≡ 1 [p].

b. Soit k un entier naturel non nul tel que 2k ≡ 1 [p] et soit n un entier naturel. Montrer que, si k divise n, alors 2n ≡ 1 [p].

c. Soit b tel que 2b ≡ 1 [p], b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.

Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2n ≡ 1 [p], alors b divise n.

2. Soit q un nombre premier impair et le nombre A = 2q −1.

On prend pour p un facteur premier de A.

a. Justifier que : 2q ≡ 1 [p].

b. Montrer que p est impair.

c. Soit b tel que 2b ≡ 1 [p], b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.

Montrer, en utilisant 1. que b divise q . En déduire que b = q .

d. Montrer que q divise p −1, puis montrer que p ≡ 1 [2q].

3. Soit A1 = 217−1. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme34m+1, avecm entier nonnul : 103, 137, 239, 307. Endéduire que A1 est premier.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

La Réunion 2 juin 2004

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Première partie

Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B1, 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5880 sont exactes, B2, contenant 4000 adresses, dont 200 sont erronées et 3800 sont exactes.

1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6000 réalisées à l’aide de B1. La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

A :

(120 3

)

+ (5880

7

)

(6000 10

) B :

3

120

C :

(

10

3

)

×

(

120

6000

)3

×

(

5880

6000

)7

D :

(

10

3

)

×

(

3

120

)3

×

(

7

5880

)7

2. Parmi les 10000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’éti- quette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de B1 est :

A : 0,98 B : 0,4×0,95

0,6×0,98+0,6×0,02 C : 0,6×0,98 D :

0,6×0,98

0,6×0,98+0,4×0,95

Deuxième partie

La durée de vie, exprimée enheures, d’un robot jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ (loi exponentielle de paramètre λ= 0,0005). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est :

p ([0 ; t [)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2500 heures est :

A : e− 2500 2000 B : e

5 4 C : 1−e−

2500 2000 D : e−

2000 2500

2. La durée de vie moyenne d’un robotménager est donnée par la formule :

E = lim t→+∞

t

0 λxe−λx dx.

a. L’intégrale ∫t

0 λxe−λx dx est égale à :

A : λ t2

2 e−λt B : − te−λt

e−λt

λ +

1

λ C : λte−λt λe−λt λ D : te−λt

e−λt

λ

b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :

A : 3500 B : 2000 C : 2531,24 D : 3000

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f ′ sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes : (1) pour tout nombre réel x,

[

f ′(x) ]2 −

[

f (x) ]2

= 1, (2) f ′(0)= 1, (3) la fonction f ′ est dérivable sur R.

La Réunion 3 juin 2004

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f ′(x) 6= 0.

b. Calculer f (0).

2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :

(4) pour tout nombre réel x, f ′′(x)= f (x), où f ′′ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f .

3. On pose : u = f ′+ f et v = f ′− f .

a. Calculer u(0) et v(0).

b. Démontrer que u′ = u et v ′ =−v .

c. En déduire les fonctions u et v .

d. En déduire que, pour tout réel x, f (x)= ex −e−x

2 .

4. a. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

5. a. Soit m un nombre réel. Démontrer que l’équation f (x)= m a une unique solution α dans R.

b. Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10−2 près).

La Réunion 4 juin 2004

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE DE L’EXERCICE 1

À compléter et à rendre avec la copie

01

0 1

2 x

y

O

C

La Réunion 5 juin 2004

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