Correction - exercices – algèbre – 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Correction des exercices d'algèbre – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des points M d’affixe z, les images de (E) et (F) par R.
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[ Baccalauréat S Liban juin 2004 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : lesmédecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). 12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants. 67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.

On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 104 près.

1. On interroge au hasard unmembre du personnel de cet hôpital.

a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?

b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?

c. On sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’inter- roger une femme AT.

Endéduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT.

2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].

On interroge au hasard unmembre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?

3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il s’agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise).

Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra pour unité gra-

phique 2 cm.

1. Résoudre dans C l’équation

(z −2i) (

z2−2z +2 )

= 0.

Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (jus- tifier les réponses).

2. Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1+ i et zB = 2i.

À tout complexe z différent de A on associe le complexe

z ′ = z −2i

z −1− i .

a. Soit (E ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit imaginaire pur.

Montrer que B ∈ (E ).

Déterminer et construire l’ensemble (E ).

b. Soit (F ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que ∣

z ′ ∣

= 1.

Déterminer et construire (F ).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit R la rotation de centreΩ

(

3

2 ; 5

2

)

et d’angle π

2 .

a. Calculer l’affixe du point B ′, image de B par R et l’affixe du point I ′, image

par R du point I

(

1

2 ; 3

2

)

.

b. Quelles sont les images de (E ) et (F ) par R ?

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra

1 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA = 2+ i, zB = 1+2i, zC = 6+3i, zD =−1+6i.

1. Représenter les points A, B, C et D.

2. Montrer qu’il existe une similitude directe f telle que f (A) = B et f (C) = D.

Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments carac- téristiques.

3. Soit J le point d’affixe 3+5i.

Montrer que la rotation R de centre J et d’angle − π

2 transforme A en D et C

en B.

4. On appelle I le point d’affixe 1+ i, M et N les milieux respectifs de segments [AC] et [BD].

Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.

5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD sont des carrés directs.

a. Calculer les affixes zP et zQ des points P et Q .

b. Déterminer IP

IA et

IQ

IC ainsi qu’unemesure des angles

(

−→ IA ,

−→ IP

)

et (

−→ IC ,

−→ IQ

)

.

En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que g (A) = P et g (C)= Q .

c. En déduire que J est l’image de M par g . Que peut-on en déduire pour J ?

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.

a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,

kn

n! 6

kk

k! .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,

xn

n! 6

( x

k

)n ×

kk

k! .

c. Montrer que

lim n→+∞

xn

n! = 0.

Liban 2 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,

nn−1

n! > 1.

(on pourra écrire nn−1

n! comme un produit de n−1 facteurs supérieurs ou

égaux à 1).

b. En déduire que

lim n→+∞

nn

n! =+∞.

EXERCICE 4 7 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x + ln4+ 2

ex +1 ,

et (C ) sa représentation graphique dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de f en +∞, et sa limite en −∞.

2. Calculer, pour tout réel x, f (x)+ f (−x).

Que peut-on en déduire pour le point A(0 ; 1+ ln4) ?

3. Étudier le sens de variations de la fonction f et dresser son tableau de varia- tions.

4. a. Justifier que, pour tout réel m, l’équation f (x) = m admet une solution unique dans R.

b. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 de la solution a de l’équa- tion f (x)= 3.

Justifier la réponse.

c. Pour quelle valeur de m le nombre −a est-il la solution de l’équation f (x)= m ?

5. a. Montrer que pour tout réel x, f (x)= x +2+ ln4− 2ex

ex +1 .

b. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x+ln4 et la droite (∆′) d’équation y = x +2+ ln4 sont des asymptotes de la courbe (C ).

Étudier la position de la courbe (C ) par rapport à son asymptote (∆).

6. a. On considère un réel positif α.

Que représente l’intégrale :

I (α)= ∫

α

0

[

f (x)− x − ln4 ]

dx?

b. Montrer que I (α)= 2ln

(

2eα

eα+1

)

. (On pourra utiliser le résultat de la ques-

tion 5 a).

c. Calculer α pour que I (α) = 1, puis donner une valeur approchée de α à 10−1 près.

Liban 3 juin 2004

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