Correction - exercices – algèbre – 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction - exercices – algèbre – 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Correction des exercices d'algèbre – 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie sur l’intervalle, la fonction définie sur l’intervalle, La courbe C représentative de la fonction h.
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MetropoleSseptembre2004.dvi

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Métropole septembre 2004

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment

donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer

clairement sur la copie.

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

1. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

g (x)= 1

x (

x2−1 ) .

a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l’on ait, pour tout x > 1 :

g (x)= a

x +

b

x +1 +

c

x −1 .

b. Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

f (x)= 2x

(

x2−1 )2 .

Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer :

I = ∫3

2

2x (

x2−1 )2

lnx dx.

Ondonnera le résultat exact sous la forme p ln 2+q ln3, avec p et q rationnels.

EXERCICE 2 6 points

Commun à tous les candidats

L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.

Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; +∞[, les couples solutions de l’équation x y = y x (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers.

1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à lnx

x =

ln y

y .

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

h(x)= lnx

x .

La courbe C représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x0 est l’abscisse dumaximum de la fonction h sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

a. Rappeler la limite de la fonction h en +∞ et déterminer la limite de la fonction h en 0.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Calculer h′(x), où h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrou- ver les variations de la fonction h.

Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0).

c. Déterminer l’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.

3. Soit λ un élément de l’intervalle

]

0 ; 1

e

[

.

Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tels que h(a)= h(b)=λ.

Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).

4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle [1 ; e[, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tel que h(a)= h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).

Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux ques- tions suivantes

a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?

b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?

c. Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s.

5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules : 75% de parti- cules A et 25% de particules B. Les particules sont projetées sur une cible formée de deux compartiments KI et K2. L’expérience est modélisée de la façon suivante :

— une particule au hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la

probabilité 1

3 et dans K2 avec la probabilité

2

3 ;

— une particule au hasard parmi les particules de type B entre dans chacun des

compartiments avec la probabilité 1

2 .

Partie A

1. Soit une particule au hasard.

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A1 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 »,

A2 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 »,

B1 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 »,

B2 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 »,

C1 : « la particule entre dans K1 »,

C2 : « la particule entre dans K2 ».

2. On procède cinq fois de suite et de façon indépendante à l’épreuve décrite en introduction.

Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les proportions 75% et 25% restent constantes.

Calculer la probabilité de l’évènement E suivant : « il y a exactement deux particules dans K2 ».

Partie B

Métropole 2 septembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Un récipient contient le gaz décrit précédemment. Les particules A sont radioactives et se transforment spontanément en particules B ; chaque particule A donne en se transformant une particule B. On note p(t) la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi, à l’instant t = 0, on a p(0)= 0,75. Plus généralement, si t est exprimé en années, on a p(t) = 0,75e−λt , où λ est une constante réelle. La demi-vie 1 des particules de type A est égale à 5730 ans.

1. Calculer λ ; on prendra une valeur approchée décimale à 10−5 près par dé- faut.

2. Au bout de combien d’années 10% des particules de type A se seront-elles transformées en particules de type B ?

3. Déterminer la valeur de t pour laquelle il y aura autant de particules de type A que de particules de type B (on arrondira à l’unité).

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique

1 cm).

1. Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation suivante :

z2−8z p 3+64= 0.

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes

a = 4 p 3−4i et b = 4

p 3+4i.

a. Écrire a et b sous forme exponentielle.

b. Calculer les distances OA, OB, AB. En déduire la nature du triangle OAB.

3. On désigne par C le point d’affixe c =− p 3+ i et par D son image par la rota-

tion de centre O et d’angle − π

3 .

Déterminer l’affixe d du point D.

4. On appelle G le barycentre des trois points pondérés (O;−1), (D ; + 1), (B ; + 1).

a. Justifier l’existence de G et montrer que ce point a pour affixe

g = 4 p 3+6i.

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.

c. Montrer que les points C, D et G sont alignés.

d. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

5. Quelle est la nature du triangle AGC?

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.

A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est un point du cercle Γ distinct des points A et C.

1. temps au bout duquel le nombre de particules restantes est la moitié du nombre initial.

Métropole 3 septembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct ; on a donc (−−→ BC ,

−−→ BD

)

=+ π

3 [2π].

Le point G est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M .

Partie A

1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.

2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM].

3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C trans- formant B en M .

Partie B

Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et 1. Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral direct ; on a donc (−−→ AC ,

−−→ AE

)

=+ π

3 [2π].

1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.

2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe z ′ = 3+ i

p 3

4 z +

1− i p 3

4 .

Déterminer les éléments caractéristiques de σ et en déduire que σ est la si- militude réciproque de s.

3. Montrer que l’image E ′ du point E par σ a pour affixe − 1

2 + i

p 3

2 et montrer

que le point E ′ appartient au cercle Γ.

4. On note C le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C.

Montrer que le point E appartient à C .

Soit O′ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O′ est le centre de gravité du triangle ACE .

En déduire une construction de C .

Métropole 4 septembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE DE L’EXERCICE 2

À rendre avec la copie

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Courbe C , obtenue à l’aide d’un traceur de courbes

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

Annexe spécialité

CA

B

Γ

Métropole 5 septembre 2004

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