Correction – exercices de mathématique 2, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Correction des exercices de mathématique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Utilisation d’une intégration par parties, Utilisation de laméthode d’Euler, exercice de spécialité.
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AmeriqueNordSjuin2006.dvi

[Baccalauréat S Amérique du Nordmai 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant

à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire en- suite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.

Question 1 Le jeu est : A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable

Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire aumoins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à

A : 216

625 B :

544

625 C :

2

5 Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.

Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes dif- férentes est égale à :

A : 4

15 B :

11

30 C :

11

15

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité

graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2, zB = 1+ i

p 3 et zC = 1− i

p 3.

Partie A

1. a. Donner la forme exponentielle de zB puis de zC.

b. Placer les points A, B et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3. Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que

|z| = |z−2|.

Partie B

À tout point M d’affixe z tel que z 6= zA, on associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par

z ′ = −4 z−2

.

1. a. Résoudre dans C l’équation z = −4 z−2

.

b. En déduire les points associés aux points B et C.

c. Déterminer et placer le point G′ associé au centre de gravité G du triangle OAB.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. a. Question de cours :

Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie |z|2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que :

• pour tous nombres complexes z1 et z2, |zz2| = |z1|× |z2|.

• pour tout nombre complexe z non nul, ∣

1

z

= 1

|z| .

b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,

z ′−2 ∣

∣= 2|z| |z−2|

.

c. On suppose dans cette question queM est un point quelconque deD, où D est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A.

Démontrer que le point M ′ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.

EXERCICE 2 5 points Exercice de spécialité

Le plan estmuni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 4 cm).

SoitΩ le point d’affixe 2.

On appelle r la rotation de centreΩ et d’angle π

4 et h l’homothétie de centreΩ et de

rapport

p 2

2 .

1. On pose σ= h r . a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments carac-

téristiques.

b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : z 7−→ 1+ i 2

z+1− i.

c. Soit M un point quelconque du plan d’affixe z. On désigne par M ′ son image par σ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que zz ′ = i

(

2− z ′ )

.

2. a. Question de cours

Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques

des modules et des arguments.

Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point

P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle π

2 est le pointQ d’affixe

q telle que qa = i(pa). b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle ΩMM ′ , pour M

distinct deΩ.

3. Soit A0 le point d’affixe 2+ i. On considère la suite (An) de points du plan définis par :

pour tout entier naturel n, An+1 =σ(An) .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe an de An est donnée par :

an = (p

2

2

)n

ei (n+2)π

4 +2.

b. Déterminer l’affixe de A5.

Amérique du Nord 2 mai 2006

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour n> n0, le point An est dans le disque de centreΩ et de rayon 0,01.

EXERCICE 3 5 points

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= lnx− 2

x

On donne ci-dessous le tableau de variations de g .

x 0 2,3 x0 2,4 +∞ +∞

g (x) 0 −∞

Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 5lnx

x

a. Montrer que f (x0)= 10

x20 où x0 est le réel apparaissant dans le tableau ci-

dessus.

b. Soit a un réel. Pour a > 1, exprimer ∫a

1 f (t)dt en fonction de a.

3. On a tracé dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

ci-dessous les courbes re-

présentatives des fonctions f et g notées respectivement (

C f

)

et (

Cg

)

.

On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), P0 le point d’intersection de (

Cg

)

et de l’axe des abscisses, M0 le point de (

C f

)

ayant même abscisse que P0 et H0 le projeté orthogonal deM0 sur l’axe des ordonnées.

On nomme (D1) le domaine du plan délimité par la courbe (

C f

)

et les seg- ments [IP0] et [P0M0]. On nomme (D2) le domaine du plan délimité par le rectangle construit à par- tir de [OI] et [OH0].

Démontrer que les deux domaines (D1) et (D2) ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

O −→ ı

−→

H0 M0

I P0

(

C f

)

(

Cg

)

Amérique du Nord 3 mai 2006

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 4 7 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On s’intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant les conditions {

(1) : pour tout réel x appartenant à[0 ; +∞[, f ′(x)= 4− [

f (x) ]2

(2) : f (0)= 0

On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées demanière indépendante. L’annexe sera com- plétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A. Étude d’une suite

Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. Onobtient ainsi une suite depoints notés (Mn ), d’abscisse xn et d’ordonnée yn telles que :

{

x0 = 0 et pour tout entier naturel n, xn+1 = xn +0,2 y0 = 0 et pour tout entier naturel n, yn+1 =−0,2y2n + yn +0,8

1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe.

Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−4 près.

b. Placer, sur le graphique donné en annexe, les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7.

c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite

(

yn )

et sur sa convergence ?

2. a. Pour x réel, on pose p(x)=−0,2x2+x+0,8. Montrer que si x ∈ [0 ; 2] alors p(x) ∈ [0 ; 2].

b. Montrer que pour tout entier naturel n, 06 yn 6 2.

c. Étudier le sens de variation de la suite (

yn )

.

d. La suite (

yn )

est-elle convergente ?

Partie B. Étude d’une fonction

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= 2 (

e4x −1 e4x +1

)

et (

Cg

)

sa courbe repré-

sentative.

1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).

2. a. Montrer que (

Cg

)

admet une asymptote ∆ dont on donnera une équa- tion.

b. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[. 3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à

(

Cg

)

à l’origine.

4. Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe (

Cg

)

et les éléments mis en évi- dence dans les questions précédentes de cette partie B.

Amérique du Nord 4 mai 2006

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l’épreuve

Exercice 4 : Annexe

Partie A

n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0,4 yn 0 0,8000 1,4720

Partie B

0 1 2 0

1

2

0

1

2

0 1 2

Amérique du Nord 5 mai 2006

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