Correction – exercices de mathématique 3, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 3, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Correction des exercices de mathématique 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Restitution organisée de connaissances, l’enseignement de spécialité, Étude de deux cas particuliers, Étude du cas général où n...
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AmeriqueSudSnov2006.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006 \

EXERCICE 1 3 points

Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, ,on considère les

points : A de coordonnées (3 ; 1 ; −5), B de coordonnées (0 ; 4 ; −5), C de coordonnées (−1 ; 2 ; −5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).

Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Au-

cune justification n’est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro

de la question et la mention « VRAI » ou « FAUX ». On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse incorrect. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Les points A, B et D sont alignés.

2. La droite (AB) est contenue dans le plan d’équation cartésienne : x+ y = 4. 3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : 18x−9y −5z+11 = 0. 4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.

5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).

6. Une représentationparamétriquede la droite (BD) est :

x = 1−2k

y = 7

2 +k, k ∈R

z = − 1

2 −9k

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra pour

unité graphique 1 cm.

1. Question de cours

On rappelle que : « Pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z on a : |z| = ‖−→w ‖ et

arg (z)= (−→ u ,

−→ w

)

».

Soient M , N et P trois points du plan, d’affixes respectivesm, n et p tels que m 6=n etm 6= p.

a. Démontrer que : arg (pm nm

)

= (−−−→ MN ,

−−→ MP

)

.

b. Interpréter géométriquement le nombre ∣

pm nm

2. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA = 4+ i, zB = 1+ i, zC = 5i et zD =−3− i.

Placer ces points sur une figure.

3. Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z as- socie le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = (1+2i)z−2−4i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Montrer que f admet un unique point invariantΩ, dont on précisera l’af- fixeω.

4. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a :

z ′− z =−2i(2− i− z).

b. En déduire, pour tout point M différent du point Ω, la valeur de MM

M et

une mesure en radians de l’angle (−−−→ MΩ ,

−−−−→ MM

)

c. Quelle est la nature du triangleΩMM ′ ?

d. Soit E le point d’affixe zE = −1− i p 3. Écrire zE sous forme exponentielle

puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E′ associé au point E.

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Rappel : Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b+7k.

1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances

a. Soient a, b, c et d des entiers relatifs. Démontrer que : si a b mod 7 et c d mod 7 alors ac bd mod 7.

b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls si a b mod 7 alors pour tout entier naturel n, an bn mod 7.

2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que an ≡ 1 mod 7.

3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.

a. Montrer que : a6 ≡ 1 mod 7. b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier na-

turel non nul tel que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie ar ≡ 1 mod 7. En déduire que k divise 6. Quelles sont les valeurs possibles de k ?

c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.

4. À tout entier naturel n, on associe le nombre

An = 2n +3n +4n +5n +6n .

Montrer que A2006 ≡ 6 mod 7.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.

La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à 1

4 .

La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à 1

2 .

Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soit n un entier naturel vérifiant 06 n6 50. On définit les évènements suivants :

Amérique du Sud 2 novembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

— A : « le jardinier a choisi le lot 1 » — B : « le jardinier a choisi le lot 2 » — Jn : « le jardinier obtient n tulipes jaunes ».

1. Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.

a. Quelle loi de probabilité suit le nombrede tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?

b. Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?

c. Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tu- lipes jaunes,

d. Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes.Ondon- nera l’arrondi aumillième du résultat.

2. Probabilités conditionnelles

a. Montrer que : PB (Jn)= (50 n

)

2−50.

b. En déduire la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes.

c. On note pn la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que Jn est réalisé. établir que :

pn = 350−n

350−n +250 .

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,9 ?

Comment peut-on interpréter ce résultat ?

EXERCICE 4 8 points

Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par :

fn(x)= lnx+ x

n −1.

a. Déterminer les limites de fn en 0 et en +∞ puis étudier le sens de varia- tions de fn .

b. Montrer que l’équation fn (x)= 0 admet uneunique solutiondans ]0 ; +∞[. On note αn cette solution. Montrer qu’elle appartient à l’intervalle [1 ; e].

2. Leplan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

. Onnote (Γ) la courbe

représentative de la fonction logarithme népérien.

a. Soit n un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite∆n passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point Bn de coordon- nées (n ; 0).

b. Faire un croquis représentant la courbe (Γ) et les droites ∆1, ∆2 et ∆3.

c. Montrer que αn est l’abscisse du point d’intersection de (Γ) avec ∆n .

d. Préciser la valeur de α1 puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite (αn ).

3. a. Exprimer ln(αn ) en fonction de n et de αn .

b. Exprimer fn+1 (αn) en fonction de n et de αn et vérifier que :

fn+1 (αn )< 0. c. Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite (αn ).

d. Montrer que la suite (αn) converge. On note sa limite. Établir que : ln= 1 et en déduire la valeur de .

Amérique du Sud 3 novembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. On désigne par Dn le domaine délimité par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équation : x =αn et x = e. a. Calculer l’aire du domaineDn en fonction deαn etmontrer que cette aire

est égaie à α2n

n .

b. Établir que :

(e−αn ) lnαn 6 α2n

n 6 (e−αn ) .

c. En déduire un encadrement de n (e−αn). d. La suite de termegénéraln (e−αn ) est-elle convergente ? Ce résultat permet-

il d’apprécier la rapidité de la convergence de la suite (αn ) ?

Amérique du Sud 4 novembre 2006

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