Correction – exercices de mathématique 4, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 4, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (63.4 KB)
7 pages
361Numéro de visites
Description
Correction des exercices de mathématique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Restitution organisée de connaissances, Étude de quelques cas particuliers.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Antilles S obli corrige juin 2006.dvi

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006 \

EXERCICE 1

1. Restitution organisée des connaissances

Soit a un réel strictement positif et f la fonction définie et dérivable sur I =

]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln(ax)− ln(x)

Alors

f ′(x)= a

ax

1

x =

1

x

1

x = 0.

Ainsi, f est constante sur ]0 ; +∞[, mais: f (1)= lna − ln1= lna, donc cette constante vaut lna. D’où :

x I , f (x)= lna ⇔ ln(ax)− lnx = lna

C’est à dire :

x I , ln(ax)= lnx + lna

2. Pour tous réels strictement positifs a et b:

ln

(

1

b

)

+ ln(b)= ln (

1

b ×b

)

= ln(1)= 0.

Donc

ln

(

1

b

)

=− ln(b)

De plus,

ln ( a

b

)

= ln (

a × 1

b

)

= ln(a)+ ln (

1

b

)

= lna − lnb

3. On a

0,696 ln26 0,70 et 1,096 ln36 1,10

Donc

0,69+1,096 ln2+ ln36 0,70+1,10⇔ 1,786 ln66 1,80

Ainsi

−1,806− ln66−1,78⇔−1,806 ln (

1

6

)

6−1,78

De plus, ln8= ln (

23 )

= 3ln2 donc

3×0,696 ln86 3×0,70⇔ 2,076 ln86 2,1

Et

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

−2,16− ln86−2,07

Ainsi

1,09−2,16 ln3− ln86 1,10−2,07⇔−1,016 ln (

3

8

)

6−0,97

EXERCICE 2

1. L’équation e2x −3ex −4= 0 admet dans R une solution (réponse b), car:

e2x −3ex −4= 0 ⇔ {

X = ex X 2−3X −4= 0

⇔ {

X = ex X =−1 ou X = 4

⇔ ex =−1 ou ex = 4 ⇔ x = ln4

2. L’expression −e−x est toujours négative ( réponse b), car e−x est toujours pos- itive.

3. lim x→+∞

2ex −1 ex +2

= 2 (réponse c) car:

2ex −1 ex +2

= ex (2−1e−x ) ex (1+2e−x )

= 2−1e−x

1+2e−x et lim

x→+∞ e−x = 0

4. L’équation différentielle y = 2y ′−1 a pour ensemble de solutions x 7→ ke 1 2 x −1

avec k ∈R (réponse c), car:

y = 2y ′−1⇔ y ′ = 1

2 y +

1

2

EXERCICE 3

Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

Alors:

P (X 6 a)= ∫a

0 λe−λtdt = 1−e−λa .

1. La probabilité P (X 6 1) s’interprète comme étant l’aire sous la courbe de la

densité comprise entre les droites x = 0, x = 1 et y = 0.

2. Comme la densité de X est la fonction définie sur [0 ; +∞[, par f (t)= λe−λt , alors f (0)=λ. Donc sur le graphique, le paramètre λ est l’ordonnée du point de la courbe de

f d’abscisse 0.

Partie B

On pose λ= 1,5.

1. P (X 6 1)= 1−e−1,5×1 = 1−e−1,5 ≈= 0,777

Antilles-Guyane 2 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. P (X > 2)= 1−P (X 6 2)= e−1,5×2 = e−3.

3. Comme P (16 X 6 2)= P (X 6 2)−P (X 6 1), alors à 10−3 près:

P (16 X 6 2)= e−1,5−e−3 = 0,173

4. Calculons l’intégrale F (x) = ∫x

0 1,5te−1,5t dt en utilisant une intégration par

parties:

u′ = 1,5e−1,5t u =−e−1,5t v = t v ′ = 1

Donc

F (x) = [

te−1,5t ]x

0 − ∫x

0 −e−1,5t dt

= [

te−1,5t ]x

0 − [

1

1,5 e−1,5t

]x

0

= −xe−1,5x − 1

1,5 e−1,5x +

1

1,5

Mais lim x→−∞

xex = lim x→−∞

ex = 0, donc

E (X )= lim x→+∞

F (x)= 1

1,5

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de mil-

limètre, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.

On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1,5.

Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2,

on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas.

Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.

a. La probabilité que le cylindre soit accepté est, à 10−3 près:

p = P (X 6 1)+0,8×P (16 X 6 2)= 0,777+0,8×0,173 = 0,915

b. Sachant que le cylindre est accepté, la probabilité qu’il ait subi une rec-

tification est: 0,8×P (16 X 6 2)

P (X 6 1)+0,8×P (16 X 6 2)

2. a. Comme on prélève demanière indépendante dix cylindres de la produc-

tion, supposée suffisamment importante pour assimiler ce tirage à un

tirage successif avec remise, la probabilité que les dix cylindres soient

acceptés, est:

p10

b. Laprobabilité qu’aumoins un cylindre soit refusé, est enutilisant l’événement

contraire:

1−p10

Antilles-Guyane 3 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on con-

sidère les points

A d’affixe a, a ∈R • B d’affixe b + i, b ∈R

C image de B dans la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Comme C est l’ image de B dans la rotation de centre A et d’angle π 3 ,

alors C a pour affixe:

ei π

3 (b + i−a)+a = 1

2

(

1+ i p 3 )

(b a + i)+a

= 1

2

(

b a − p 3+2a

)

+ 1

2 i (p

3(b a)+1 )

= 1

2

(

b +a − p 3 )

+ 1

2 i (p

3(b a)+1 )

Pour que le point C appartienne à l’axe (

O; −→ v

)

, il faut et il suffit que la

partie réelle de l’affixe deC soit nulle, donc:

1

2

(

b +a − p 3 )

= 0⇔ b = p 3−a

b. Dans ce cas, l’affixe du point C est, en fonction de a:

1

2 i (p

3( p 3−a a)+1

)

= (

2− p 3a

)

i.}

c. Dans cette question, on pose a = p 3 et b = 0. On considère les points C

d’affixe c =−i et D d’affixe d = 2+ p 3−2i

p 3.

i. D’après l’étude précédente, le triangle ABC est équilatéral car b =p 3−a = 0 et c =

(

2− p 3a

)

i=−i ii.

d a c a

= 2+

p 3−2i

p 3−

p 3

−i− p 3

= 2(1− i

p 3)

− p 3− i

= 2(1− i

p 3)(−

p 3+ i)

3+1 = 2i

Donc (−−→

AC ; −−→ AD

)

= ar g (

d a c a

)

= ar g (2i)= π

2

Ainsi le triangle ACD est rectangle en A.

Antilles-Guyane 4 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

iii. Comme E est l’image de D dans la rotation de centre A et d’angle π

3 , alors son affixe est:

e = ei π

3 (d a)+a

= 1

2

(

1+ i p 3 )(

2+ p 3−2i

p 3−

p 3 )

+ p 3

= 1

2

(

1+ i p 3 )(

2−2i p 3 )

+ p 3

= (

1+ i p 3 )(

1− i p 3 )

+ p 3

= 1+3+ p 3= 4+

p 3

iv. Comme F est l’image de D dans la translation de vecteur −−→ AC , alors

son affixe est:

f = 2+ p 3−2i

p 3+ (−i−

p 3)= 2− i

(

1+2 p 3 )

v. Le triangle BEF est équilatéral, car:

BE2 = |i− (4+ p 3)|2 = 1+

(

4+ p 3 )2

= 1+16+8 p 3+3= 20+8

p 3

BF 2 = |i− (

2− i (

1+2 p 3 ))

|2 = |−2+2i (

1+ p 3 )

|2

= 4+4 (

1+ p 3 )2

= 20+8 p 3

EF 2 = |4+ p 3−2+ i

(

1+2 p 3 )

|2 = |2+ p 3+ i

(

1+2 p 3 )

|2

= (

2+ p 3 )2 +

(

1+2 p 3 )2

= 20+8 p 3

b

O −→ u

−→ v

1

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6−1 b

A

b

B

b

C

b

D

b E

b F

EXERCICE 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Antilles-Guyane 5 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. A 6= D et I 6= E : il existe donc une unique similitude directe s transfor- mant A en D et I en E .

b. Le rapport de la similitude s est I E

AD .

Prenons O A = 1.

• Dans le triangle EDI rectangle en D, le théorème de Pythagore

s’écrit : I E2 = 12+ (

1

2

)2

= 5

4 =⇒ I E =

p 5

2 .

• Dans le triangle rectangle ABD, le théorème de Pythagore s’écrit :

AD2 = 22+12 = 5=⇒ AD = p 5.

Finalement I E

AD =

p 5

2p 5 =

1

2 .

s est donc une similitude directe de rapport 1

2 et d’angle +

π

2

c. Soit B ′ = s(B). On a (−−−−−−→

AB, I B ′ )

= + π

2 , donc B ′ appartient à la perpen-

diculaire à la droite (AB) contenant I , donc appartient à la demi-droite

[I D).

Demêmeenprenant les deuxpointsD etB et leurs images pars : (−−−−−−→ DB, EB

)

=

+ π

2 , donc B ′ appartient à la la perpendiculaire à (BD) contenant E .

Finalement B ′appartient aux droites (BD) et(DE ) et donc B ′ = D.

d. Par hypothèseC est lemilieu de [BD], donc son image par s est lemilieu

du segment image [DE ].

e. i. Soit Ω le centre de s ; on a par définition (−−→ ΩA,

−→ ΩI

)

= π

2 , donc le

triangle AIΩ rectangle en Ω est inscrit dans le cercle de diamètre

[AI ] ;

De même (−−→ ΩD ,

−−→ ΩE

)

= π

2 , donc le triangle DEΩ rectangle enΩ est

inscrit dans le cercle de diamètre [DE ].

ii. J est le milieu de [OC ], C le milieu de [BD] et (OC ) est parallèle

à (AB), donc J est aussi le milieu de [AD]. Son imageJ ′ est le mi-

lieu du segment image [I E ] et (−→ ΩJ ,

−−→ ΩJ

)

= π

2 , or

(−→ H J ,

−−→ H J

)

= − π

2 .

Conclusion : H n’est pas le centre de la similitude s.

iii. D’après la question a. Ω appartient aux cercles de diamètres [AI ]

et [DE ] ; ce n’est pas le point H, c’est donc l’autre point commun

aux deux cercles.

iv. On sait que l’écriture d’une similitude directe est de la forme z ′ = az+b avec (a ; b) ∈C2. En prenant les points A etD et leurs images I et E , on obtient le système :

{

− 1

2 = a +b

−1 = a′−1+ i)+b =⇒ a(2− i)=

1

2 + i ⇐⇒ a =

1 2 + i 2− i

= i

2

Puis par différence b =− 1

2 + i−

i

2 =−

1

2 +

i

2 .

L’écriture complexe de s est donc :

z ′ = 1

2 iz

1

2 + 1

2 i.

Antilles-Guyane 6 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

D I C B

C′ J′

H

J

E

O A

EXERCICE 5

Partie A

i. Figure associée:

b A0 b

A1 b

A2 b

B0 b

B1 b

B2 −→ u

0 2 4 6 8 10 12

ii. Ondéfinit les suites (an ) et (bn ) des abscisses respectives des points

An et Bn .

Or An+1, d’abscisse an+1, est le barycentre des points pondérés (An ,2), avec An d’abscisse an , et (Bn ,1), , avec Bn d’abscisse bn ,

donc, grâce à la formule

xAn+1 = 2× xAn +1× xBn

2+1 , on a:

an+1 = 2an +bn

3

Et de même que

bn+1 = an +3bn

4

Partie B

i. On considère la suite (un ) définie, pour tout entier naturel n, par

un = bn an . Alors:

Antilles-Guyane 7 juin 2006

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome