Correction – exercices de mathématique 5, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 5, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Correction des exercices de mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction exponentielle. le repère orthonormal direct, Le plan complexe.
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AntillesSjuin2006.dvi

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006 \

EXERCICE 1 3 points

Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée des connaissances

Pré-requis :

— la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa fonction

dérivée est la fonction inverse

(

x 7→ 1

x

)

.

— ln(1)= 0

Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x,

ln(ax)= ln(a)+ ln(x).

2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que

ln

(

1

b

)

=− ln(b) et que ln ( a

b

)

= ln(a)− ln(b)

pour tous réels strictement positifs a et b.

3. On donne 0,696 ln26 0,70 et 1,096 ln36 1,10.

En déduire des encadrements de ln6, ln

(

1

6

)

, et ln

(

3

8

)

.

EXERCICE 2 3 points

Commun à tous les candidats

QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0. Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

1. L’équation e2x −3ex −4= 0 admet dans R :

a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 so- lutions

2. L’expression −e−x

a. n’est jamais négative

b. est toujours négative

c. n’est négative que si x est po- sitif

d. n’est néga- tive que si x est négatif

3. lim x→+∞

2ex −1

ex +2 =

a. − 1

2 b. 1 c. 2 d. +∞

4. L’équation différentielle y = 2y ′−1 a pour ensemble de solutions :

a. x 7→ ke2x − 1 avec k ∈R

b. x 7→ ke 1 2 x + 1

avec k ∈R c. x 7→ ke

1 2 x − 1

avec k ∈R d. x 7→ ke2x +

1

2 avec k ∈R

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

On rappelle que P (X 6 a)= ∫a

0 λe−λtdt .

La courbe donnée en ANNEXE 1 représente la fonction densité associée.

1. Interpréter sur le graphique la probabilité P (X 6 1).

2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.

Partie B

On pose λ= 1,5.

1. Calculer P (X 6 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 près par excès.

2. Calculer P (X > 2).

3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 6 X 6 2) = 0,173 à 10−3 près.

4. Calculer l’intégrale F (x)= ∫x

0 1,5te−1,5tdt .

Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F (x) ; on obtient ainsi l’espé- rance mathématique de la variable X .

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de milli- mètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1,5.

Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.

a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−3 près.

b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une recti- fication ?

2. On prélève demanière indépendante dix cylindres de la production. On sup- pose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.

a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?

b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on consi-

dère les points

A d’affixe a, a ∈R — B d’affixe b + i, b ∈R

C image de B dans la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à

l’axe (

O ; −→ v

)

.

b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.

Antilles-Guyane 2 juin 2006

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

2. Dans cette question, on pose a = p 3 et b = 0. On considère les points C d’af-

fixe c =−i et D d’affixe d = 2+ p 3−2i

p 3.

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Calculer le quotient d a

c a ; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?

c. Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et

d’angle π

3 .

d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur −−→ AC .

e. Déterminer la nature du triangle BEF .

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sur la figure donnée en ANNEXE 2, on considère les carrés O ABC et OCDE tels que :

(−−→ O A ;

−−→ OC

)

= (−−→ OC ;

−−→ OE

)

= π

2 .

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC ] et par H le point d’intersection des segments [AD] et [I E ].

1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E .

2. Déterminer le rapport de cette similitude s.

On admet que l’angle de la similitude s est égal à π

2 .

3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.

4. Déterminer et placer l’image de C par s.

5. SoitΩ le centre de la similitude s.

a. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AI ] et à celui de dia- mètre [DE ].

b. Montrer queΩ ne peut être le point H .

c. ConstruireΩ.

6. On considère le repère orthonormal direct (

O ; −−→ O A ,

−−→ OC

)

.

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.

b. En déduire l’affixe du centreΩ de s.

EXERCICE 5 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la

manière suivante : sur un axe orienté (

O ; −→ u

)

donné en ANNEXE 3, le point A0 a pour

abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An+1 est le barycentre des points (An , 2) et (Bn , 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An , 1) et (Bn , 3).

1. Sur le graphique placer les points A2,B2.

2. Ondéfinit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn . Montrer que :

an+1 = 2an +bn

3 .

On admet de même que bn+1 = an +3bn

4 .

Antilles-Guyane 3 juin 2006

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

Partie B

1. On considère la suite (un ) définie, pour tout entier natureln, par un = bnan .

a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.

b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.

c. Déterminer la limite de (un ). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un ).

b. Étudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par

vn = 3an +4bn .

Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

ANNEXE 1

1

2

1 2 3 4

ANNEXE 2

D I C B

H

J

E O A

ANNEXE 3

b A0 b

A1 b

B0 b

B1 −→ u

0 2 4 6 8 10 12

Antilles-Guyane 4 juin 2006

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