Correction – exercices de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (56.6 KB)
5 pages
293Numéro de visites
Description
Correction des exercices de mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Restitution organisée de connaissances, la démonstration, l’enseignement de spécialité.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
AntillesSsept.2006.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006 \

EXERCICE 1 6 points

On se propose de déterminer des valeurs approchées de l’intégrale I = ∫ 1

2

0

10t2

1+ t2 dt

en utilisant deux méthodes distinctes. Les parties A et B sont largement indépendantes l’une de l’autre.

PARTIE A

Utilisation d’une intégration par parties

1. En remarquant que 10t2

1+ t2 = 5t ×

2t

1+ t2 , établir l’égalité

I= 5

2 × ln

(

5

4

)

−5 ∫ 1

2

0 ln (

1+ t2 )

dt .

2. On pose, pour x positif ou nul, f (x)= ln(1+x)−x+ x2

2 et g (x)= ln(1+x)−x.

a. En utilisant les variations de f , démontrer que f (x)> 0. En procédant de lamême façon, on pourrait établir que g (x)6 0, inégalité que l’on admet- tra ici.

b. À l’aide de ce qui précède, montrer que l’encadrement :

t2− t4

2 6 ln

(

1+ t2 )

6 t2.

est vrai pour tout réel t .

c. Déduire de la question précédente que

5

24 6−5

∫ 1 2

0 ln

(

1+ t2 )

dt 6− 37

192 .

3. En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d’amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.

PARTIE B

Utilisation de la méthode d’Euler

1. On pose ϕ(x)= ∫x

0

10t2

1+ t2 dt pour x

[

0 ; 1

2

]

.

Préciser ϕ(0) ainsi que la fonction dérivée de ϕ.

2. On rappelle que laméthode d’Euler permet de construire une suite de points Mn

(

xn ; yn )

proches de la courbe représentative deϕ. En choisissant comme pas h = 0,1, on obtient la suite de points Mn définie pour n entier naturel par :

{

x0 = 0 y0 = 0

et

{

xn+1 = xn +0,1 yn+1 = y n+ϕ′ (xn )×0,1

Enutilisant, sans la justifier, l’égalité xn = n

10 vérifier que yn+1 = yn+

n2

100+n2 .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Calculer y1, et y2, puis exprimer y3, y4 et y5 sous la forme d’une somme de fractions que l’on ne cherchera pas à simplifier.

Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près de y5.

Le réel x5 étant égal à 1

2 , y5 est donc une valeur approchée de ϕ

(

1

2

)

c’est-à-

dire de I.

4. Avec la méthode d’Euler au pas h = 0,01, on obtient, pour I, la valeur appro- chée 0,354.

Les valeurs de I obtenues avec la méthode d’Euler sont-elles compatibles avec l’encadrement de la question 3. de la partie A ?

EXERCICE 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par A et B les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l’énoncé. La question 1 est indépendante des questions 2 et 3.

1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation

z2−4z +6= 0.

b. On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives

z1 = 2+ i p 2 et z2 = 2− i

p 2.

Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z1−3

z1 .

En déduire que le triangle OBM1 est un triangle rectangle.

c. Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M1 et M2, appar- tiennent à un même cercle C que l’on précisera.

Tracer le cercle C et placer les points M1 et M2 sur le dessin.

2. On appelle f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par l’égalité z ′ = z2−4z +6.

On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon p 2.

Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin,

a. Vérifier l’égalité suivante z ′−2= (z −2)2.

b. Soit M le point de Γ d’affixe z = 2+ p 2eiθ θ désigne un réel de l’inter-

valle ]−π ; π].

Vérifier l’égalité suivante : z ′ = 2+2e2iθ et en déduire que M ′ est situé sur un cercle Γ′ dont on précisera le centre et le rayon.

Tracer Γ′ sur le dessin,

3. On appelle D le point d’affixe d = 2+

p 2+ i

p 6

2 et on désigne par D′ l’image

de D par f .

a. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d −2.

En déduire que D est situé sur le cercle Γ.

b. À l’aide la question 2. b., donner unemesure de l’angle (−→

u , −−→ AD′

)

et placer

le point D′ sur le dessin.

c. Démontrer que le triangle OAD′ est équilatéral.

Antilles–Guyane 2 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 4 points

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre stricte-

ment positif λ alors, pour t réel positif, p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

• Démontrer l’égalité suivante : p(X > t)= e−λt . • En déduire que, pour s et t réels positifs, l’égalité suivante est vraie

P(X>t )(X > s + t)= p(X > s) (loi de durée de vie sans vieillissement), P(X>t )(X > s + t) désignant la probabilité de l’évènement (X > s + t) sachant que (X > t) est réalisé.

Partie B

La durée d’attente exprimée enminutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ.

1. a. Déterminer une expression exacte de λ sachant que p(T 6 10)= 0,7.

On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur ap- prochée de λ.

b. Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle

P(T>10)(T > 15).

c. Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes.

On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse.

On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indé- pendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes.

a. Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y .

b. Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à aumoins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes.

Déterminer à 0,01 près la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

EXERCICE 4 5 points

Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGF. Les calculs seront effectués dans le

repère orthonormal (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

1. a. Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un paral- lélogramme. Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que

l’aire de ce losange est égale à

p 6

2 .

A I B

C KD

E F

GJH

×

b. Vérifier que le vecteur −→ n

2 1 −1

 est un vecteur normal au plan (DIJ).

Antilles–Guyane 3 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

En déduire une équation cartésienne de ce plan. c. Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume

de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d’une pyramide de hauteur h et

de base correspondante B est donné par la formule suivante V = 1

3 ×B×h.

2. Soit (∆) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ)

a. Donner une représentation paramétrique de (∆) et prouver que K est un point de (∆).

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L de (∆) et du plan (DIJ).

c. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG.

3. Soit (S) l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équa-

tion x2+ y2+ z2−2x y z + 4

3 = 0.

a. Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

b. Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ?

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par A et C les points d’affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].

1. a. Justifier le fait qu’il existe une unique similitude directe s qui transforme O en I et A en C.

b. Déterminer l’écriture complexe de s. En déduire les éléments caractéris- tiques de s et, en particulier, établir que l’affixe du centre Ω de s vaut 1+3i

5 .

c. Vérifier par un calcul que Ω est situé sur le cercle Γ de centre A passant par O.

2. Soit f l’application du plan complexe d’écriture complexe

z 7−→ −3−4i

5 z +

8+4i

5 .

a. Déterminer les images par f des points A et C. En déduire la nature pré- cise de f , puis démontrer que I est l’image de Ω par la symétrie orthogo- nale d’axe (AC).

b. Construire le cercle Γ sur le dessin et placer également le pointΩ en utili- sant les informations géométriques précédentes.

3. À tout point M d’image M ′ par s, on associe le point M ′′ défini par l’égalité

vectorielle −−−−−→ M M ′′ =

−−−→ ΩM .

a. Quel est le pointΩ′′ associé àΩ ?

b. Construire avec soin le point A′′ en laissant les traits de construction.

c. On suppose maintenant que M a pour affixe z.

Démontrer que M ′′ a pour affixe z ′′ = iz + 4+2i

5 .

En déduire que M ′′ est l’image de M par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques.

d. Déterminer et représenter sur le dessin l’ensembleΓ′′ des points M ′′ lorsque M décrit le cercle Γ.

Antilles–Guyane 4 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe (exercice de spécialité)

O −→ u

−→ v

A

I

B C

Antilles–Guyane 5 septembre 2006

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome