Correction – exercices de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Correction des exercices de mathématique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les fonctions dérivables, la fonction positive, la croissance de la fonction.
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[ Baccalauréat S Asie juin 2006 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité gra-

phique : 2 cm).

On rappelle que pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z, on a : |z| = ‖

−→ w ‖ et

arg(z)= (−→ u ,

−→ w

)

à 2π près.

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

arg(zz ′)= arg(z)+arg(z ′).

Soient z et z ′ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

arg ( z

z

)

= arg(z)−arg(z ′)

Partie B

On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = iz+3 z+ i

1. Étude de quelques cas particuliers.

a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].

Placer ces points sur le dessin.

b. On note C le point d’affixe c =−2+ i. Démontrer que le point C′, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses.

2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que

arg (

z ′ )

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

+ π

2 à 2π près.

3. Étude de deux ensembles de points.

a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit un nombre complexe imaginaire pur.

b. Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M ′ ?

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer-

cice, l’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ;

−→ AE

)

.

On note I le point de coordonnées

(

1

3 ; 1 ; 1

)

.

1. Placer le point I sur la figure.

2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).

a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :

i. Il existe un réel k tel que −−→ AR = k

−−→ AC .

ii. −→ IR ·

−−→ AC = 0.

b. Calculer les coordonnées du point R,

c. En déduire que la distance IR s’exprime par IR = p 11

3 .

4. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (3 ; −3 ; 2) est normal au plan

(ACI).

En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).

5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est 5

p 22

.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Étant donné un entier naturel n > 2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

Partie A : Étude de deux cas particuliers

1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.

2. Dans cette question, on suppose n = 3. a. Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous

donnant le reste r de la division euclidienne dem par 8 et le reste R de la division euclidienne dem2 par 8.

r 0 1 2 3 4 5 6 7 R

b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que

x2+ y2+ z2 ≡ 7 modulo 8 ?

Partie B Étude du cas général où n > 3

Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.

2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q , y = 2r, z = 2s+1 où q, r, s sont des entiers naturels. a. Montrer que x2+ y2+ z2 ≡ 1 modulo 4. b. En déduire une contradiction.

3. On suppose que x, y, z sont impairs.

a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k2+k est divisible par 2. b. En déduire que x2+ y2+ z2 ≡ 3 modulo 8. c. Conclure.

Asie 2 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8. Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ». • Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».

On pose : pn = p(Gn ) et qn = p(Pn).

1. Recherche d’une relation de récurrence.

a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1 (G2) et pP1 (G2).

b. Justifier l’égalité pn +qn = 1. c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn +0,2.

2. Étude de la suite (

pn )

.

On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − 2

5 .

a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (

pn )

quand n tend vers +∞.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Partie A

On considère l’équation différentielle

(E) : y ′+ y = e−x .

1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble R des nombres réels par u(x)= xe−x est une solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y ′+ y = 0. 3. Démontrer qu’une fonction v , définie et dérivable sur R, est solution de (E) si

et seulement si v u est solution de (E0). 4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble R par :

fk (x)= (x+k)e−x .

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞. 2. Calculer f

k (x) pour tout réel x.

3. En déduire le tableau de variations de fk .

Asie 3 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie C

1. On considère la suite d’intégrales (In ) définie par I0 = ∫0

−2 e−x dx et pour tout

entier naturel n> 1 par : In = ∫0

−2 xne−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.

b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :

In+1 = (−2)n+1e2+ (n+1)In .

c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.

a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déter- miner la valeur du nombre réel k correspondant. b. SoitS l’aire de la partie hachu- rée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en dé- duire sa valeur exacte.

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4 O x

y

Asie 4 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

D

A B

C

H

E F

G

Asie 5 juin 2006

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