Correction – exercices de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Correction – exercices de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Correction des exercices de mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La probabilité cherchée, L’ensemble des points M.
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[ Baccalauréat S 2006\

L’intégrale d’avril à novembre 2006

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Pondichéry avril 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Amérique du Nord juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Antilles-Guyane juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Asie juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Centres étrangers juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Métropole juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

La Réunion juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Libanmai 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Polynésie juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Antilles-Guyane septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Métropole et Réunion septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Polynésie spécialité septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Amérique du Sud novembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Nouvelle-Calédonie novembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo- sées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirma- tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea )b = e (

ab )

.

Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : eab = ea

eb .

Affirmation 1. c La droite d’équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Affirmation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Affirmation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction

h 7→ f (a+h)− f (a)

h admet une limite finie en 0.

3. On considère deux suites (un ) et (vn) définies surN.

Affirmation 3. a Si limun =+∞ et si limvn =−∞ alors lim(un + vn)= 0.

Affirmation 3. b Si (un ) converge vers un réel non nul et si limvn =+∞,

alors la suite (

un, × vn )

ne converge pas.

Affirmation 3. c Si (un ) converge vers un réel nonnul, si (vn) est positive

et si limvn = 0, alors la suite (

un vn

)

ne converge pas.

Affirmation 3. d Si (un ) et (vn) convergent alors la suite

(

un vn

)

converge.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra

pour unité graphique 5 cm.

On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 1+ i 2

zn . On note An le point du

plan d’affixe zn .

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.

Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Justifier que la suite (un ) est une suite géométriquepuis établir que, pour tout entier naturel n,

un = 2 (

1 p 2

)n

.

3. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a. Établir que, pour tout entier naturel n, zn+1− zn

zn+1 = i.

En déduire la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée A0A1A2 . . . An−1An .

On a ainsi : ℓn = A0A1+ A1A2+ . . .+ An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EXERCICE 2 4 points Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra

5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z

définie par :

z ′ = (

1

2 + 1

2 i

)

z+1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’af- fixeω), le rapport k et l’angle θ.

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f (An). a. Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0 , A1, A2

et A3.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn . Justifier que la suite (un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

un = p 2

(

1 p 2

)n

.

c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centreΩ et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangleΩA0A1 ?

En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangleΩAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée

A0A1A2 . . . An−1An . On a ainsi : ℓn = A0A1+A1A2+. . .+An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Pondichéry 4 3 avril 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Soit P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0. On considère le point I de coordonnées

(

xI , yI , zI )

et le vecteur −→ n de coordonnées

(a, b, c). Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à ∣

axI +byI +czI +d

p a2+b2+c2

.

1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P .

Déterminer, en fonction de a, b, c, xI , yI et zI , un système d’équations pa- ramétriques de ∆.

2. On note H le point d’intersection de ∆ et P .

a. Justifier qu’il existe un réel k tel que −−→ IH = k

−→ n .

b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d , xI , yI et zI .

c. En déduire que IH = ∣

axI +byI +czI +d

p a2+b2+c2

.

Partie B

Le plan Q d’équation xy+z−11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées (1, −1, 3).

1. Déterminer le rayon de la sphère S .

2. Déterminer un systèmed’équations paramétriques de la droite∆passant par Ω et orthogonale au plan Q

3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphèreS et du plan Q.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effec- tif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement posi- tive sur [0 ; +∞[, et satisfait l’équation différentielle :

(E) y ′ =− 1

20 y(3− ln y).

1. Démontrer l’équivalence suivante : Une fonction f , dérivable, strictement

positive sur [0 ; +∞[, vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[, f ′(t) = − 1

20 f (t)[3−

ln (

f (t) )

] si et seulement si la fonction g = ln( f ) vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[,

g ′(t)= 1

20 g (t)−

3

20 .

2. Donner la solution générale de l’équation différentielle :

(H) z ′ = 1

20 z

3

20 .

Pondichéry 5 3 avril 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

3. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; +∞[

f (t)= exp [

3+Cexp (

t

20

)]

.

(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x 7→ ex ). 4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :

f (t)= exp [

3−3exp (

t

20

)]

.

a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞[. c. Résoudre dans [0 ; +∞[ l’inéquation f (t)< 0,02.

Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Partie B

En 2005, ce laboratoire de recherchemet au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La popu- lation testée comporte 50% d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas ».

On note M l’évènement « l’animal est malade »,M l’évènement contraire et T l’évè- nement « le test est positif ».

1. Déterminer P (M), PM (T ), PM (T ).

2. En déduire P (T ).

3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

Pondichéry 6 3 avril 2006

[Baccalauréat S Amérique du Nordmai 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire en- suite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.

Question 1 Le jeu est : A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable

Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire aumoins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à

A : 216

625 B :

544

625 C :

2

5 Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.

Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes dif- férentes est égale à :

A : 4

15 B :

11

30 C :

11

15

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité

graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2, zB = 1+ i

p 3 et zC = 1− i

p 3.

Partie A

1. a. Donner la forme exponentielle de zB puis de zC.

b. Placer les points A, B et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3. Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que

|z| = |z−2|.

Partie B

À tout point M d’affixe z tel que z 6= zA, on associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par

z ′ = −4 z−2

.

1. a. Résoudre dans C l’équation z = −4 z−2

.

b. En déduire les points associés aux points B et C.

c. Déterminer et placer le point G′ associé au centre de gravité G du triangle OAB.

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

2. a. Question de cours :

Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie |z|2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que :

• pour tous nombres complexes z1 et z2, |zz2| = |z1|× |z2|.

• pour tout nombre complexe z non nul, ∣

1

z

= 1

|z| .

b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,

z ′−2 ∣

∣= 2|z| |z−2|

.

c. On suppose dans cette question queM est un point quelconque deD, où D est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A.

Démontrer que le point M ′ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.

EXERCICE 2 5 points Exercice de spécialité

Le plan estmuni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 4 cm).

SoitΩ le point d’affixe 2.

On appelle r la rotation de centreΩ et d’angle π

4 et h l’homothétie de centreΩ et de

rapport

p 2

2 .

1. On pose σ= h r . a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments carac-

téristiques.

b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : z 7−→ 1+ i 2

z+1− i.

c. Soit M un point quelconque du plan d’affixe z. On désigne par M ′ son image par σ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que zz ′ = i

(

2− z ′ )

.

2. a. Question de cours

Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point

P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle π

2 est le pointQ d’affixe

q telle que qa = i(pa). b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle ΩMM ′ , pour M

distinct deΩ.

3. Soit A0 le point d’affixe 2+ i. On considère la suite (An) de points du plan définis par :

pour tout entier naturel n, An+1 =σ(An) .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe an de An est donnée par :

an = (p

2

2

)n

ei (n+2)π

4 +2.

b. Déterminer l’affixe de A5.

Amérique du Nord 8 mai 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour n> n0, le point An est dans le disque de centreΩ et de rayon 0,01.

EXERCICE 3 5 points

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= lnx− 2

x

On donne ci-dessous le tableau de variations de g .

x 0 2,3 x0 2,4 +∞ +∞

g (x) 0 −∞

Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 5lnx

x

a. Montrer que f (x0)= 10

x20 où x0 est le réel apparaissant dans le tableau ci-

dessus.

b. Soit a un réel. Pour a > 1, exprimer ∫a

1 f (t)dt en fonction de a.

3. On a tracé dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

ci-dessous les courbes re-

présentatives des fonctions f et g notées respectivement (

C f )

et (

Cg )

.

On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), P0 le point d’intersection de (

Cg )

et de l’axe des abscisses, M0 le point de (

C f )

ayant même abscisse que P0 et H0 le projeté orthogonal deM0 sur l’axe des ordonnées.

On nomme (D1) le domaine du plan délimité par la courbe (

C f )

et les seg- ments [IP0] et [P0M0]. On nomme (D2) le domaine du plan délimité par le rectangle construit à par- tir de [OI] et [OH0].

Démontrer que les deux domaines (D1) et (D2) ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

O −→ ı

−→

H0 M0

I P0

(

C f )

(

Cg )

Amérique du Nord 9 mai 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

EXERCICE 4 7 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On s’intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant les conditions {

(1) : pour tout réel x appartenant à[0 ; +∞[, f ′(x)= 4− [

f (x) ]2

(2) : f (0)= 0

On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées demanière indépendante. L’annexe sera com- plétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A. Étude d’une suite

Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. Onobtient ainsi une suite depoints notés (Mn ), d’abscisse xn et d’ordonnée yn telles que :

{

x0 = 0 et pour tout entier naturel n, xn+1 = xn +0,2 y0 = 0 et pour tout entier naturel n, yn+1 =−0,2y2n + yn +0,8

1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe.

Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−4 près.

b. Placer, sur le graphique donné en annexe, les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7.

c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite

(

yn )

et sur sa convergence ?

2. a. Pour x réel, on pose p(x)=−0,2x2+x+0,8. Montrer que si x ∈ [0 ; 2] alors p(x) ∈ [0 ; 2].

b. Montrer que pour tout entier naturel n, 06 yn 6 2.

c. Étudier le sens de variation de la suite (

yn )

.

d. La suite (

yn )

est-elle convergente ?

Partie B. Étude d’une fonction

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= 2 (

e4x −1 e4x +1

)

et (

Cg )

sa courbe repré-

sentative.

1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).

2. a. Montrer que (

Cg )

admet une asymptote ∆ dont on donnera une équa- tion.

b. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[. 3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à

(

Cg )

à l’origine.

4. Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe (

Cg )

et les éléments mis en évi- dence dans les questions précédentes de cette partie B.

Amérique du Nord 10 mai 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l’épreuve

Exercice 4 : Annexe

Partie A

n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0,4 yn 0 0,8000 1,4720

Partie B

0 1 2 0

1

2

0

1

2

0 1 2

Amérique du Nord 11 mai 2006

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée des connaissances

Pré-requis :

— la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa fonction

dérivée est la fonction inverse

(

x 7→ 1

x

)

.

— ln(1)= 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x,

ln(ax)= ln(a)+ ln(x).

2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que

ln

(

1

b

)

=− ln(b) et que ln (a

b

)

= ln(a)− ln(b)

pour tous réels strictement positifs a et b.

3. On donne 0,696 ln26 0,70 et 1,096 ln36 1,10.

En déduire des encadrements de ln6, ln

(

1

6

)

, et ln

(

3

8

)

.

EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats

QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0. Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

1. L’équation e2x −3ex −4= 0 admet dans R :

a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 so- lutions

2. L’expression −e−x

a. n’est jamais négative

b. est toujours négative

c. n’est négative que si x est po- sitif

d. n’est néga- tive que si x est négatif

3. lim x→+∞

2ex −1 ex +2

=

a. − 1

2 b. 1 c. 2 d. +∞

4. L’équation différentielle y = 2y ′−1 a pour ensemble de solutions :

a. x 7→ ke2x − 1 avec k ∈R

b. x 7→ ke 1 2 x + 1

avec k ∈R c. x 7→ ke

1 2 x − 1

avec k ∈R d. x 7→ ke2x +

1

2 avec k ∈R

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

On rappelle que P (X 6 a)= ∫a

0 λe−λtdt .

La courbe donnée en ANNEXE 1 représente la fonction densité associée.

1. Interpréter sur le graphique la probabilité P (X 6 1).

2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.

Partie B

On pose λ= 1,5. 1. Calculer P (X 6 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à

10−3 près par excès.

2. Calculer P (X > 2).

3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 6 X 6 2) = 0,173 à 10−3 près.

4. Calculer l’intégrale F (x)= ∫x

0 1,5te−1,5tdt .

Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F (x) ; on obtient ainsi l’espé- rance mathématique de la variable X .

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de milli- mètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1,5.

Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.

a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−3 près.

b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une recti- fication ?

2. On prélève demanière indépendante dix cylindres de la production. On sup- pose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.

a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?

b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on consi-

dère les points

A d’affixe a, a ∈R — B d’affixe b+ i, b ∈R — C image de B dans la rotation de centre A et d’angle

π

3 .

a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à

l’axe (

O ; −→ v )

.

Antilles-Guyane 13 juin 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.

2. Dans cette question, on pose a = p 3 et b = 0. On considère les points C d’af-

fixe c =−i etD d’affixe d = 2+ p 3−2i

p 3.

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Calculer le quotient d a ca

; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?

c. Déterminer l’affixe du point E image deD dans la rotation de centre A et

d’angle π

3 .

d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur −−→ AC .

e. Déterminer la nature du triangle BEF .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sur la figure donnée en ANNEXE 2, on considère les carrésOABC etOCDE tels que :

(−−→ OA ;

−−→ OC

)

= (−−→ OC ;

−−→ OE

)

= π

2 .

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC ] et par H le point d’intersection des segments [AD] et [IE ].

1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E .

2. Déterminer le rapport de cette similitude s.

On admet que l’angle de la similitude s est égal à π

2 .

3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.

4. Déterminer et placer l’image deC par s.

5. SoitΩ le centre de la similitude s.

a. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AI ] et à celui de dia- mètre [DE ].

b. Montrer queΩ ne peut être le point H .

c. ConstruireΩ.

6. On considère le repère orthonormal direct (

O ; −−→ OA ,

−−→ OC

)

.

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.

b. En déduire l’affixe du centreΩ de s.

EXERCICE 5 5 points Commun à tous les candidats

Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la

manière suivante : sur un axe orienté (

O ; −→ u )

donné en ANNEXE 3, le point A0 a pour

abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An+1 est le barycentre des points (An , 2) et (Bn , 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An , 1) et (Bn , 3).

1. Sur le graphique placer les points A2,B2.

Antilles-Guyane 14 juin 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

2. Ondéfinit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn . Montrer que :

an+1 = 2an +bn

3 .

On admet de même que bn+1 = an +3bn

4 .

Partie B

1. On considère la suite (un ) définie, pour tout entier natureln, par un = bnan . a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.

b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.

c. Déterminer la limite de (un ). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un ).

b. Étudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par

vn = 3an +4bn .

Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

ANNEXE 1

1

2

1 2 3 4

ANNEXE 2

Antilles-Guyane 15 juin 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

D I C B

H

J

E O A

ANNEXE 3

b A0 b

A1 b

B0 b

B1 −→ u

0 2 4 6 8 10 12

Antilles-Guyane 16 juin 2006

[ Baccalauréat S Asie juin 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité gra-

phique : 2 cm).

On rappelle que pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z, on a : |z| = ‖

−→ w ‖ et

arg(z)= (−→ u ,

−→ w

)

à 2π près.

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

arg(zz ′)= arg(z)+arg(z ′).

Soient z et z ′ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

arg ( z

z

)

= arg(z)−arg(z ′)

Partie B

On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = iz+3 z+ i

1. Étude de quelques cas particuliers.

a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].

Placer ces points sur le dessin.

b. On note C le point d’affixe c =−2+ i. Démontrer que le point C′, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses.

2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que

arg (

z ′ )

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

+ π

2 à 2π près.

3. Étude de deux ensembles de points.

a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit un nombre complexe imaginaire pur.

b. Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M ′ ?

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer-

cice, l’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ;

−→ AE

)

.

On note I le point de coordonnées

(

1

3 ; 1 ; 1

)

.

1. Placer le point I sur la figure.

2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).

a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :

i. Il existe un réel k tel que −−→ AR = k

−−→ AC .

ii. −→ IR ·

−−→ AC = 0.

b. Calculer les coordonnées du point R,

c. En déduire que la distance IR s’exprime par IR = p 11

3 .

4. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (3 ; −3 ; 2) est normal au plan

(ACI).

En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).

5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est 5

p 22

.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Étant donné un entier naturel n > 2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

Partie A : Étude de deux cas particuliers

1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.

2. Dans cette question, on suppose n = 3. a. Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous

donnant le reste r de la division euclidienne dem par 8 et le reste R de la division euclidienne dem2 par 8.

r 0 1 2 3 4 5 6 7 R

b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que

x2+ y2+ z2 ≡ 7 modulo 8 ?

Partie B Étude du cas général où n> 3

Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.

2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q , y = 2r, z = 2s+1 où q, r, s sont des entiers naturels. a. Montrer que x2+ y2+ z2 ≡ 1 modulo 4. b. En déduire une contradiction.

3. On suppose que x, y, z sont impairs.

a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k2+k est divisible par 2. b. En déduire que x2+ y2+ z2 ≡ 3 modulo 8. c. Conclure.

Asie 18 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8. Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ». • Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».

On pose : pn = p(Gn ) et qn = p(Pn).

1. Recherche d’une relation de récurrence.

a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1 (G2) et pP1 (G2).

b. Justifier l’égalité pn +qn = 1. c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn +0,2.

2. Étude de la suite (

pn )

.

On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − 2

5 .

a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (

pn )

quand n tend vers +∞.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Partie A

On considère l’équation différentielle

(E) : y ′+ y = e−x .

1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble R des nombres réels par u(x)= xe−x est une solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y ′+ y = 0. 3. Démontrer qu’une fonction v , définie et dérivable sur R, est solution de (E) si

et seulement si v u est solution de (E0). 4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble R par :

fk (x)= (x+k)e−x .

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞. 2. Calculer f k (x) pour tout réel x.

3. En déduire le tableau de variations de fk .

Asie 19 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

Partie C

1. On considère la suite d’intégrales (In ) définie par I0 = ∫0

−2 e−x dx et pour tout

entier naturel n> 1 par : In = ∫0

−2 xne−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.

b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :

In+1 = (−2)n+1e2+ (n+1)In .

c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.

a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déter- miner la valeur du nombre réel k correspondant. b. SoitS l’aire de la partie hachu- rée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en dé- duire sa valeur exacte.

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4 O x

y

Asie 20 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE

Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

D

A B

C

H

E F

G

Asie 21 juin 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants : i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :

{

|z| = r arg z = θ à 2π près ⇐⇒

{

z = r (cosθ+ isinθ) r > 0

ii. Pour tous nombres réels a et b : {

cos(a+b) = cosa cosb− sina sinb sin(a+b) = sina cosb+ sinb cosa

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :

|z1z2| = |z1| |z2| et arg(z1z2)= arg (

z1)+arg(z2 )

à 2π près

Partie B.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la dé- monstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstra- tion ne rapporte pas de point. On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et |z| dé- signe le module de z.

1. Si z =− 1

2 + 1

2 i, alors z4 est un nombre réel.

2. Si z+ z = 0, alors z = 0.

3. Si z+ 1

z = 0, alors z = i ou z =−i.

4. Si |z| = 1 et si |z+ z ′| = 1, alors z ′ = 0.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pour k ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d’obtenir le nombre k sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3. 2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux

indépendants.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépen- dants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

a. Pour 16 i 6 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l’évènement

(X = i ). b. Calculer l’espérance mathématique de X . Interpréter le résultat obtenu.

c. Calculer la probabilité de l’évènement (X > 1). On donnera une valeur arrondie aumillième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.

On noteUn la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n- ième lancer.

a. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.

b. Calculer Sn = n

i=1 Ui puis étudier la convergence de la suite (Sn).

c. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1−1≡ 0 mod p ».

Partie A. Quelques exemples

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.

2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428−1 est divisible par 29. 3. Pour 1 6 n 6 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire

que, pour tout entier k, le nombre 44k −1 est divisible par 17. 4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n −1 est-il divisible par 5 ? 5. À l’aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de

428−1.

Partie B.Divisibilité par un nombre premier

Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu’il existe un entier n> 1 tel que 4n ≡ 1 mod p. 2. Soit n > 1 un entier naturel tel que 4n ≡ 1 mod p. On note b le plus petit

entier strictement positif tel que 4b ≡ 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.

a. Démontrer que 4r ≡ 1 mod p. En déduire que r = 0. b. Prouver L’équivalence : 4n −1 est divisible par p si et seulement si n est

multiple de b.

c. En déduire que b divise p−1.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par

Centres étrangers 23 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

f (x)= 1

1+e−x .

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

,

(unité graphique : 5 cm).

Partie A. Étude de la fonction f

1. Vérifier que pour tout nombre réel x : f (x)= ex

1+ex .

Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞. Interpréter graphiquement les résul- tats obtenus.

Calculer f ′(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur R.

Dresser le tableau des variations de f .

Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie B. Quelques propriétés graphiques

1. On considère les points M et M ′ de la courbe C d’abscisses respectives x et −x. Déterminer les coordonnées dumilieu A du segment [MM ′]. Que repré- sente le point A pour la courbe C ?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d’équation y = 1, la courbe C et les droites d’équations x = 0 et x =n, An désigne l’aire du domaine Dn exprimée en unité d’aire. a. Calculer An .

b. Étudier la limite éventuelle de An , lorsque n tend vers +∞.

Partie C. Calcul d’un volume.

Soit λ un réel positif, On note V (λ) l’intégrale ∫0

λ π[ f (x)]2 dx.

On admet que V (λ) est une mesure. exprimée en unité de volume, du volume en- gendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour −λ6 x 6 0.

1. Déterminer les nombres réels a et b tels que :

pour tout nombre réel x : e2x

(ex +1)2 =

aex

ex +1 +

bex

(ex +1)2

2. Exprimer V (λ) en fonction de λ.

3. Déterminer la limite de V (λ) lorsque λ tend vers +∞.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée

et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ,

−→ AE

)

Partie A.Un triangle et son centre de gravité.

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.

a. Calculer les coordonnées de I.

Centres étrangers 24 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. Démontrer que −→ AI =

1

3

−−→ AG . Que peut-on en déduire pour les points A, I,

G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B.Une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk , ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :

Mk est le point de la droite (AG) tel que −−−→ AMk = k

−−→ AG ;

• Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE) ; • Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite (BC).

1. Identifier P 1 3 , M 1

3 et N 1

3 en utilisant des points déjà définis. Calculer la dis-

tance M 1 3 N 1

3 .

2. Calcul des coordonnées de Nk .

a. Calculer les coordonnées deMk dans le repère (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

b. Déterminer une équation du plan Pk dans ce repère.

c. En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k−1 ; 0). 3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk ) est-elle orthogonale à la fois aux

droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan P 1 2 .

Tracer la droite (

M 1 2 N 1

2

)

sur la même figure.

Centres étrangers 25 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE

Exercice 4 (commun à tous les candidats)

Feuille à compléter et à rendre avec la copie

A

B C

D

E

F G

H

Centres étrangers 26 juin 2006

[ Baccalauréat SMétropole 15 juin 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace.

On considère les points

A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2),E(3 ; 2 ; −1),I (

3

5 ; 4 ; −

9

5

)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y z−11 = 0. 2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

(CD)

x = −1+2t y = −1+ t z = 1− t

(t ∈R).

5. Le point I est sur la droite (AB).

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x2e1−x .

OndésigneparC sa courbe représentative dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité graphique 2 cm.

a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ ; quelle conséquence gra- phique pour C peut-on en tirer ?

b. Justifier que f est dérivable sur R. Déterminer sa fonction dérivée f ′.

c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C .

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale In définie par

In = ∫1

0 xne1−x dx.

a. Établir une relation entre In+1 et In .

b. Calculer I1, puis I2.

c. Donner une interprétation graphique du nombre I2. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c.

3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier na- turel n non nul, on a l’inégalité suivante :

xn 6 xne1−x 6 xne.

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers +∞.

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Onconsidère le plan complexeP rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Dans tout l’exercice, P \{O} désigne le plan P privé du point origine O.

1. Question de cours

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

— Si z et z ′ sont deux nombres complexes nonnuls, alors : arg(zz ′)= arg(z)+ arg(z ′) à 2près, avec k entier relatif

— Pour tout vecteur −→ w non nul d’affixe z on a : arg(z)=

(−→ u ;

−→ w

)

à 2près,

avec k entier relatif

a. Soit z et z ′ des nombres complexes non nuls, démontrer que

arg ( z

z

)

= arg(z)−arg(z ′) à 2près, avec k entier relatif.

b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts,

d’affixes respectives a, b, c, on a : arg ( ca ba

)

= (−−→ AB ,

−−→ AC

)

à 2près, avec

k entier relatif.

2. On considère l’application f de P \{O} dans P \{O} qui, au point M du plan

d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par : z ′ = 1

z . On appelle U et

V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pour z 6= 0, on a arg (

z ′ )

= arg(z) à 2près, avec k entier relatif.

En déduire que, pour tout point M de P \{O} les points M et M ′ = f (M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.

b. Déterminer l’ensemble des points M de P \{O} tels que f (M)=M . c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet queM ′ est aussi

distinct de O, U et V.

Établir l’égalité z ′−1 z ′− i

= 1

i

(

z−1 z+ i

)

=−i (

z−1 z− i

)

.

En déduire une relation entre arg

(

z ′−1 z ′− i

)

et arg

(

z−1 z− i

)

3. a. Soit z un nombre complexe tel que z 6= 1 et z 6= i et soit M le point d’af- fixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et

seulement si z−1 z− i

est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

Il s’agit de résoudre dans Z le système

(S)

{

n ≡ 13 (19) n ≡ 6 (12)

Métropole 28 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v = 1.

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13× 12v + 6× 19u est une solution de (S).

2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à

{

n n0 (19) n n0 (12)

b. Démontrer que le système

{

n n0 (19) n n0 (12)

équivaut à

n n0 (12×19). 3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u+12v = 1 et calculer

la valeur de N correspondante.

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lors- qu’on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228= 12×19. Quel est le reste r de cette division ?

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.

a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?

b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?

c. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,99 ? 2. Ce tireur participe au jeu suivant :

Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.

Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équi- libré ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

Face k 1 2 3 4 Nombre de sorties de la face k 58 49 52 41

a. Calculer les fréquences de sorties fk observées pour chacune des faces.

b. On pose d2 =Σ4k=1

(

fk − 1

4

)2

. Calculer d2.

Métropole 29 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

c. On effectue maintenant 1000 simulations des 200 lancers d’un dé tétra- édrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d2. On obtient pour la série statistique des 1000 valeurs de d2 les résul- tats suivants :

Minimum D1 Q1 Médiane Q3 D9 Maximum 0,00124 0,00192 0,00235 0,00281 0,00345 0,00452 0,01015

Au risque de 10%, peut-on considérer que ce dé est pipé 7

Métropole 30 15 juin 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S La Réunion 15 juin 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Partie A

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f (x)= x

lnx

1. a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f .

2. Soit (un ) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = f (un ) pour tout entier naturel n.

a. Ona tracé la courbe représentativeC de la fonction f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équation y = x et les points M1 et M2 de la courbe C d’abscisses respectives u1 et u2. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (un ).

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un > e (on pourra utiliser la question 1. b.).

c. Démontrer que la suite (un ) converge vers un réelde l’intervalle [e ; +∞[.

Partie B

On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ; +∞[. 1. En étudiant de deux manières la limite de la suite

(

f (un) )

, démontrer que f ()= .

2. En déduire la valeur de .

EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats

Première partie

Calculer l’intégrale ∫1

0 xex dx.

Deuxième partie

La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le re-

père orthonormal (

O ; −→ OI ,

−→ OJ

)

, la ligne courbe C reliant le point O au point M est

une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x)= xex . Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-dessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B.On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe C .

Baccalauréat S Baccalauréat S

O I

J

N M

partie A

partie B

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l’extérieur de la cible avec

une probabilité de 1

2 et que les probabilités d’atteindre les parties A et B sont pro-

portionnelles à leurs aires respectives.

1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est égale à 1

2e .

Quelle est la probabilité d’atteindre la partie B ?

2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.

a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de X . En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique.

b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E.

c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte).

Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ?

3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.

a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A.

b. Déterminer le plus petit naturel n tel que pn > 0,99.

La Réunion 32 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. L’unité

graphique est 2 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument + π

2 .

On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z−4 z

= i. Écrire la solution sous forme algébrique.

2. Résoudre dans C l’équation z2− 2z + 4 = 0. Écrire les solutions sous forme exponentielle.

3. Soient A, B, A′ et D les points du plan complexe d’affixes respectives :

a = 2, b = 4, a′ = 2i et d = 2+2i.

Quelle est la nature du triangle 0DB?

4. Soient E et F les points d’affixes respectives e = 1− i p 3 et f = 1+ i

p 3.

Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C ′ le cercle de centre A′ et de rayon 2.

Soit r la rotation de centre O et d’angle + π

2 a. On désigne par E′ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e

du point E′.

b. Démontrer que le point E′ est un point du cercle C ′.

c. Vérifier que : ed = (p

3+2 )(

e ′−d )

. En déduire que les points E, E′ et D sont alignés.

6. Soit D′ l’image du point D par la rotation r . Démontrer que le triangle EE′D′

est rectangle.

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.

ABCD est un carré tel que (−−→ AB ,

−−→ AD

)

=+ π

2 . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le

milieu du segment [CD]. On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s.Dans la partie A onutilisera des raisonnements géométriques ; dans la partieB onutilisera les nombres complexes.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On désigne par Ω le centre de cette similitude. Γ1 est le cercle de diamètre [AI], Γ2 est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que Ω est l’un des points d’intersection de Γ1 et Γ2. PlacerΩ sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

La Réunion 33 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

4. On pose h = s s (composée de s avec elle même). a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caracté-

ristiques).

b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A,Ω et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère (

A ; −→ u ,

−→ v )

orthonormal direct, choisi de

manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2 , 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est z ′ = 1

2 iz+1+ i.

2. Calculer l’affixe du pointΩ.

3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.

EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions 1,2,3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu’il pense exactes. Aucune justification n’est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. Soit P le plan d’équation 2x+3y +4z−1 = 0. a. La distance du point O au plan P est égale à 1.

b. La distance du point O au plan P est égale à 1

p 29

.

c. Le vecteur −→ n

(

1 ; 3

2 ; 2

)

est un vecteur normal au plan P .

d. Le planQ d’équation −5x+2y + z = 0 est parallèle au plan P . 2. On désigne par P le plan d’équation 2x+ y z = 0, et par D la droite passant

par le point A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur −→ u (1 ; −4 ; −2).

a. La droiteD est parallèle au plan P .

b. La droiteD est orthogonale au plan P .

c. La droiteD est sécante avec le plan P .

d. Unsystèmed’équations paramétriques deD est

x = 1+ t y = 1−4t z = 1−2t

(t ∈ R).

3. On désigne par E l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : x+ y + z = 3 et 2xz = 1. Soit le point A(1 ; 1 ; 1). a. L’ensemble E contient un seul point, le point A.

b. L’ensemble E est une droite passant par A.

c. L’ensemble E est un plan passant par A.

d. L’ensemble E est une droite de vecteur directeur −→ u (1 ; −3 ; 2).

4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).

a. Le plan P contient toujours le point D.

La Réunion 34 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.

c. Le plan P est toujours l’ensemble des points M de l’espace tels que :

−−→ BM ·

−−→ BC =

−−→ BA ·

−−→ BC .

d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].

La Réunion 35 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE 1

À compléter et à rendre avec la copie

Figure de l’exercice 1

1

2

3

4

5

2 40 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

O

C

La Réunion 36 15 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE 2

À compléter et à rendre avec la copie

Figure de l’exercice 3

A B

CD

La Réunion 37 15 juin 2006

[ Baccalauréat S Libanmai 2006\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne les points

A(2 ; 1 ; 3), B(−3 ; −1 ; 7) et C(3 ; 2 ; 4).

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique

x = −7+2t y = −3t z = 4+ t

a. Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).

b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le point commun À la droite (d) et au plan (ABC).

a. Montrer que H est le barycentre de (A ; −2), (B ; −1) et (C ; 2). b. Déterminer la nature de l’ensemble Γ1, des points M de l’espace tels que

(

−2−−→MA −−−→MB +2−−→MC )

· (−−→ MB −−−→MC

)

= 0

En préciser les éléments caractéristiques.

c. Déterminer la nature de l’ensemble Γ2, des points M de l’espace tels que ∥

∥−2 −−→ MA −−−→MB +2−−→MC

∥= p 29

En préciser les éléments caractéristiques.

d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersection des ensembles Γ1 et Γ2.

e. Le point S (−8 ; 1 ; 3) appartient-il À l’intersection des ensembles Γ1 et Γ2.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On prendra 2 cm pour unité graphique. Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.

1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport

p 2.

b. Déterminer l’affixe du point B′ image de B1 par la rotation de centre A et

d’angle π

4 .

Placer les points A, B et B′.

2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = (1+ i)z+1.

a. Montrer que B a pour image B′ par f .

b. Montrer que A est le seul point invariant par f .

c. Établir que pour tout nombre complexe z distinct de i, z ′− z i− z

=−i. Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles.

En déduire une méthode de construction de M′ À partir de M , pour M distinct de A.

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble Σ1 des points M du plan dont l’affixe z vérifie |z−2| =

p 2.

b. Démontrer que z ′−3−2i= (1+ i)(z−2). En déduire que si le point M appartient À Σ1, alors son image M ′ par f appartient À un cercle Σ2, dont on précisera le centre et le rayon.

c. Tracer Σ1 et Σ2 sur la même figure que A, B et B′.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère

les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B

1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, À tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ =−2iz+6 où z désigne le conjugué de z. Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1

2 .

On pose g = f h. a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M ′′ l’image du point M d’affixe z par la transformation g .

Montrer que l’écriture complexe de g est z ′′ =−iz+2+2i où z ′′ est l’affixe deM ′′.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe (

O, −→ v )

un unique point invariant par g ; on

le note L.

Reconnaître alors la transformation g .

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h

suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h′.

3. Déterminer les droites ∆ telles que f (∆) et ∆ soient parallèles.

EXERCICE 3 7 points Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= x ln(x+1).

Sa courbe représentative (C ) dans un repère orthogonal (

O, −→ u ,

−→ v )

est donnée en annexe.

1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. L’axe des abscisses est-il tangent À la courbe (C ) au point O ?

Liban 39 mai 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

2. On pose I= ∫1

0

x2

x+1 dx.

a. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x 6= −1,

x2

x+1 = ax+b+

c

x+1 .

b. Calculer I.

3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C ) et les droites d’équations x = 0, x = 1 et y = 0.

4. Montrer que l’équation f (x)= 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. On note α cette solution. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B : étude d’une suite

La suite (un ) est définie surN par un = ∫1

0 xn ln(x+1)dx.

1. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

La suite (un ) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 06 un 6 ln2

n+1 .

En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 3 points Commun à tous les candidats

La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’À ce que survienne la pre- mière panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ> 0. Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant t est égale à

p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ, arrondi à 10−1 près, pour que la probabilité p(X > 6) soit égale à 0,3.

Pour la suite de l’exercice, on prendraλ= 0,2 . 2. À quel instant t , à un mois prés, la probabilité qu’un robot tombe en panne

pour la première fois est-elle de 0,5 ?

3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4.

4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières an- nées, quelle est, à 10−2 près, la probabilité qu’il soit encore en état demarche au bout de six ans ?

5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante.

Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.

Liban 40 mai 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

Annexe

Exercice 3

Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur

Courbe (C )

0 1 2 3 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 x

y

Liban 41 mai 2006

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2006\

Exercice 1 5 points

Leplan complexe estmuni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; unité graphique

2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait cor- respondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z−1 z+1

On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

1. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels que M = f (M).

2. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, (

z ′−1 )

(z+1)=−2. b. En déduire une relation entre

z ′−1 ∣

∣ et |z+1| , puis entre arg (z ′−1) et arg (z+1), pour tout nombre complexe z différent de −1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M

appartient au cercle (C′) de centre A et de rayon 1.

4. Soit le point P d’affixe p =−2+ i p 3.

a. Déterminer la forme exponentielle de (p+1). b. Montrer que le point P appartient au cercle (C).

c. SoitQ le point d’affixe q =−p p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P′ et Q sont alignés.

d. Enutilisant les questions précédentes, proposer une constructionde l’image P′ du point P par l’application f .

Exercice 2 5 points

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne les points

A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l’isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

Proposition 1 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que −−→ AM · −−→BC = 0 est le

plan (AIO) ». Proposition 2 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que ∥

−−→ MB +−−→MC

∥= ∥

−−→ MB −−−→MC

∥ est la sphère de diamètre [BC] ».

Proposition 3 : « le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 ». Proposition 4 : « le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+ y+2z = 4 et le point

H a pour coordonnées

(

8

9 ; 4

9 ; 8

9

)

.

Proposition 5 : « la droite (AG) admet pour représentation paramétrique 

x = t y = 2t z = 2−2t

(t ∈R) ».

Baccalauréat S Baccalauréat S

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1 : « pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n −1 ». Proposition2 : «Si un entier relatif x est solutionde l’équation x2+x ≡ 0 (modulo 6) alors x ≡ 0 (modulo 3) ». Proposition 3 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équa- tion 12x−5y = 3 est l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k ∈Z ». Proposition 4 : « il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a, b)−PGCD(a, b)= 1 ». Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix. Proposition 5 : « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M N est aussi divi- sible par 27 ».

Exercice 3 4 points

On a posé à 1000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous ar- rivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? ». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant :

Retards le 2emoisRetards le 1er mois 0 1 2 ou plus Total 0 262 212 73 547 1 250 73 23 346

2 ou plus 60 33 14 107 Total 572 318 110 1000

1. On choisit au hasard un individu de cette population.

a. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le pre- mier mois,

b. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu aumoins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas eu le premier mois.

2. On souhaite faire une étude de l’évolution dunombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul). On fait les hypothèses sui- vantes :

— si l’individu n’a pas eu de retard lemoisn, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46.

— si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,66.

— si l’individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est encore 0,66.

On note An , l’évènement « l’individu n’a eu aucun retard le mois n,

Bn , l’évènement « l’individu a eu exactement un retard le mois n »,

Cn , l’évènement « l’individu a eu deux retards ou plus le mois n ».

Les probabilités des évènements An , Bn , Cn sont notées respectivement pn , qn et rn .

a. Pour le premier mois (n = 1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p1,q1 et r1.

b. Exprimer pn+1 en fonction de pn , qn , et rn . On pourra s’aider d’un arbre.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 =−0,2pn +0,66.

Polynésie 43 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

d. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par un = pn − 0,55. Démontrer que (un ) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

e. Déterminer lim n→+∞

un . En déduire lim n→+∞

pn .

Exercice 4 6 points

Partie A On donne le tableau de variations d’une fonction f dérivable sur R :

x −∞ 0 2 +∞

f

+∞

0

4e−2

0

On définit la fonction F sur R par

F (x)= ∫x

2 f (t)dt .

1. Déterminer les variations de la fonction F sur R.

2. Montrer que 06 F (3)6 4e−2.

Partie B

La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur R par

f (x)= x2e−x .

On appelle g la fonction définie sur R par g (x)= e−x . On désigne par (C ) et (Γ) les courbes représentant respectivement les fonctions f et

g dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Les courbes sont tracées en annexe.

1. a. Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites.

b. Étudier les positions relatives des courbes (C ) et (Γ).

2. Soit h la fonction définie sur R par h(x)= (

x2−1 )

e−x .

a. Montrer que la fonction H définie sur R par H(x) = (

x2−2x−1 )

e−x est une primitive de la fonction h sur R.

b. Soit un réel α supérieur ou égal à 1.

On considère la partie du plan limitée par les courbes (C ) et (Γ) et les droites d’équations x = 1 et x =α. Déterminer l’aire A (a), exprimée en unité d’aire, de cette partie du plan.

c. Déterminer la limite de A (a) lorsque a tend vers +∞. 3. Onadmet que, pour tout réelm strictement supérieur à 4e−2, la droite d’équa-

tion y =m coupe la courbe (C ) au point P (xP ; m) et la courbe (Γ) au point Q (

xQ ; m )

.

L’objectif de cette question est demontrer qu’il existe une seule valeur de xP , appartenant à l’intervalle ]−∞ ; −1] telle que la distance PQ soit égale à 1.

Polynésie 44 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

a. Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P etQ tels que xP ∈]−∞ ; −1] et PQ = 1.

b. Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ . Justifier l’égalité f (xP )= g

(

xQ )

.

c. Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.

Polynésie 45 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 4

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4−1−2−3-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Polynésie 46 juin 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006\

EXERCICE 1 6 points

On se propose de déterminer des valeurs approchées de l’intégrale I = ∫ 1

2

0

10t2

1+ t2 dt

en utilisant deux méthodes distinctes. Les parties A et B sont largement indépendantes l’une de l’autre.

PARTIE A Utilisation d’une intégration par parties

1. En remarquant que 10t2

1+ t2 = 5t ×

2t

1+ t2 , établir l’égalité

I= 5

2 × ln

(

5

4

)

−5 ∫ 1

2

0 ln (

1+ t2 )

dt .

2. On pose, pour x positif ou nul, f (x)= ln(1+x)−x+ x2

2 et g (x)= ln(1+x)−x.

a. En utilisant les variations de f , démontrer que f (x)> 0. En procédant de lamême façon, on pourrait établir que g (x)6 0, inégalité que l’on admet- tra ici.

b. À l’aide de ce qui précède, montrer que l’encadrement :

t2− t4

2 6 ln

(

1+ t2 )

6 t2.

est vrai pour tout réel t .

c. Déduire de la question précédente que

5

24 6−5

∫ 1 2

0 ln

(

1+ t2 )

dt 6− 37

192 .

3. En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d’amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.

PARTIE B Utilisation de laméthode d’Euler

1. On pose ϕ(x)= ∫x

0

10t2

1+ t2 dt pour x

[

0 ; 1

2

]

.

Préciser ϕ(0) ainsi que la fonction dérivée de ϕ.

2. On rappelle que laméthode d’Euler permet de construire une suite de points Mn

(

xn ; yn )

proches de la courbe représentative deϕ. En choisissant comme pas h = 0,1, on obtient la suite de points Mn définie pour n entier naturel par :

{

x0 = 0 y0 = 0

et

{

xn+1 = xn +0,1 yn+1 = y n+ϕ′ (xn )×0,1

Enutilisant, sans la justifier, l’égalité xn = n

10 vérifier que yn+1 = yn+

n2

100+n2 .

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. Calculer y1, et y2, puis exprimer y3, y4 et y5 sous la forme d’une somme de fractions que l’on ne cherchera pas à simplifier.

Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près de y5.

Le réel x5 étant égal à 1

2 , y5 est donc une valeur approchée de ϕ

(

1

2

)

c’est-à-

dire de I.

4. Avec la méthode d’Euler au pas h = 0,01, on obtient, pour I, la valeur appro- chée 0,354.

Les valeurs de I obtenues avec la méthode d’Euler sont-elles compatibles avec l’encadrement de la question 3. de la partie A ?

EXERCICE 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par A et B les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l’énoncé. La question 1 est indépendante des questions 2 et 3.

1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation

z2−4z+6= 0.

b. On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives

z1 = 2+ i p 2 et z2 = 2− i

p 2.

Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z1−3 z1

.

En déduire que le triangle OBM1 est un triangle rectangle.

c. Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M1 et M2, appar- tiennent à un même cercle C que l’on précisera.

Tracer le cercle C et placer les points M1 et M2 sur le dessin.

2. On appelle f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par l’égalité z ′ = z2−4z+6. On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon

p 2.

Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin,

a. Vérifier l’égalité suivante z ′−2= (z−2)2. b. Soit M le point de Γ d’affixe z = 2+

p 2eiθ θ désigne un réel de l’inter-

valle ]−π ; π]. Vérifier l’égalité suivante : z ′ = 2+2e2iθ et en déduire que M ′ est situé sur un cercle Γ′ dont on précisera le centre et le rayon.

Tracer Γ′ sur le dessin,

3. On appelle D le point d’affixe d = 2+ p 2+ i

p 6

2 et on désigne par D′ l’image

de D par f .

a. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d −2. En déduire que D est situé sur le cercle Γ.

b. À l’aide la question 2. b., donner unemesure de l’angle (−→ u ,

−−→ AD′

)

et placer

le point D′ sur le dessin.

c. Démontrer que le triangle OAD′ est équilatéral.

Antilles–Guyane 48 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre stricte-

ment positif λ alors, pour t réel positif, p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

• Démontrer l’égalité suivante : p(X > t)= e−λt . • En déduire que, pour s et t réels positifs, l’égalité suivante est vraie

P(X>t )(X > s+ t)= p(X > s) (loi de durée de vie sans vieillissement), P(X>t )(X > s+ t) désignant la probabilité de l’évènement (X > s+ t) sachant que (X > t) est réalisé.

Partie B

La durée d’attente exprimée enminutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ.

1. a. Déterminer une expression exacte de λ sachant que p(T 6 10)= 0,7. On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur ap- prochée de λ.

b. Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle

P(T>10)(T > 15). c. Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer

la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes.

On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse.

On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indé- pendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes.

a. Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y .

b. Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à aumoins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes.

Déterminer à 0,01 près la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

EXERCICE 4 5 points

Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGF. Les calculs seront effectués dans le

repère orthonormal (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

1. a. Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un paral- lélogramme. Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que

l’aire de ce losange est égale à

p 6

2 .

A I B

C KD

E F

GJH

×

b. Vérifier que le vecteur −→ n

2 1 −1

 est un vecteur normal au plan (DIJ).

Antilles–Guyane 49 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

En déduire une équation cartésienne de ce plan. c. Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume

de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d’une pyramide de hauteur h et

de base correspondante B est donné par la formule suivante V = 1

3 ×B×h.

2. Soit (∆) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ)

a. Donner une représentation paramétrique de (∆) et prouver que K est un point de (∆).

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L de (∆) et du plan (DIJ).

c. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG.

3. Soit (S) l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équa-

tion x2+ y2+ z2−2xy z+ 4

3 = 0.

a. Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

b. Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ?

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par A et C les points d’affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].

1. a. Justifier le fait qu’il existe une unique similitude directe s qui transforme O en I et A en C.

b. Déterminer l’écriture complexe de s. En déduire les éléments caractéris- tiques de s et, en particulier, établir que l’affixe du centre Ω de s vaut 1+3i 5

.

c. Vérifier par un calcul que Ω est situé sur le cercle Γ de centre A passant par O.

2. Soit f l’application du plan complexe d’écriture complexe

z 7−→ −3−4i

5 z+

8+4i 5

.

a. Déterminer les images par f des points A et C. En déduire la nature pré- cise de f , puis démontrer que I est l’image de Ω par la symétrie orthogo- nale d’axe (AC).

b. Construire le cercle Γ sur le dessin et placer également le pointΩ en utili- sant les informations géométriques précédentes.

3. À tout point M d’image M ′ par s, on associe le point M ′′ défini par l’égalité

vectorielle −−−−−→ M M ′′ =−−−→ΩM .

a. Quel est le pointΩ′′ associé àΩ ?

b. Construire avec soin le point A′′ en laissant les traits de construction.

c. On suppose maintenant que M a pour affixe z.

Démontrer que M ′′ a pour affixe z ′′ = iz+ 4+2i 5

.

En déduire que M ′′ est l’image deM par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques.

d. Déterminer et représenter sur le dessin l’ensembleΓ′′ des pointsM ′′ lorsque M décrit le cercle Γ.

Antilles–Guyane 50 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

Annexe (exercice de spécialité)

O −→ u

−→ v

A

I

B C

Antilles–Guyane 51 septembre 2006

[ Baccalauréat SMétropole septembre 2006\

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest.

A - Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8. Pour i = 1 ou i = 2, on note Ei l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Est le i -ème jour » et Oi l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Ouest le i -ème jour ».

1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.

2. Déterminer les probabilités suivantes : p(E1) ; pE1 (O2) ; p(E1∩E2) . 3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux

jours consécutifs.

B -On suppose maintenant que n touristes (n> 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et indépendamment des autres l’une des deux directions. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l’Est.

1. Déterminer la probabilité que k touristes (06 k 6 n) partent en direction de l’Est.

2. On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu’un touriste est heureux s’il se retrouve seul sur une plage.

a. Peut-il y avoir deux touristes heureux ?

b. Démontrer que la probabilité (notée p) qu’il y ait un touriste heureux

parmi ces n touristes vaut : p = n

2n−1 .

c. Application numérique :

Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, ar- rondie au centième, qu’il y ait un touriste heureux parmi les 10.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère les

points M et M ′ d’affixes respectives z et z ′. On pose z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′, où x, x′, y, y ′ sont des nombres réels. On rappelle que z désigne le conjugué de z et que |z| désigne le module de z.

1. Montrer que les vecteurs −−−→ OM et

−−−→ OM ′ sont orthogonaux si et seulement si

Re(z z)= 0 . 2. Montrer que les points O,M et M ′ sont alignés si et seulement si lm(z z)= 0.

Applications

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. N est le point d’affixe z2− 1. Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs

−−−→ OM et

−−→ ON soient orthogonaux ?

4. On suppose z non nul. P est le point d’ affixe 1

z2 −1.

On recherche l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points O, N et P soient alignés.

a. Montrer que

(

1

z2 −1

)

(

z2−1 )

=−z2 ∣

1

z2 −1

2

.

b. En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.

Métropole 53 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On considère l’équation

(E ) : 17x−24y = 9,

où (x, y) est un couple d’entiers relatifs.

a. Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l’équation (E ).

b. Résoudre l’équation (E ).

2. Dans une fête foraine, Jean s’installe dans un un manège circulaire repré- senté par le schéma de l’annexe 2. Il peut s’installer sur l’un des huit points indiqués sur le cercle.

Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui, se dé- place sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le ma- nège tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans lemême sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes.

Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu’aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur le dessin.

À l’instant t = 0, Jean part du point H enmême temps que le pompon part du point A.

a. On suppose qu’à un certain instant t Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. À l’instant t , on note y le nombre de tours effectués depuis son premier passage en A et x le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que (x, y) est solution de l’équation (E ) de la question 1.

b. Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d’attraper le pompon ?

c. Montrer, qu’en fait, il n’est possible d’attraper le pompon qu’au point A.

d. Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d’attraper le pompon en A avant les deux minutes ?

EXERCICE 3 6 points

Commun à tous les candidats

Dans tout l’exercice, λ désigne un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1].

1. Onsepropose d’étudier les fonctions dérivables sur

]

−∞ ; 1

2

[

vérifiant l’équa-

tion différentielle (Eλ) : y ′ = y2+λy et la condition y(0)= 1.

On suppose qu’il existe une solution y0 de (Eλ) strictement positive sur

]

−∞ ; 1

2

[

et on pose sur

]

−∞ ; 1

2

[

: z = 1

y0 Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

2. Question de cours

PRÉ-REQUIS

Les solutions de l’équation différentielle y ′ = −λy sont les fonctions x 7→ Ce−λx C est une constante réelle.

Métropole 54 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

a. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différen- tielle (E’λ) : z

′ =−(λz+1) telle que z(0)= 1. b. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

On veutmaintenantmontrer que la fonction z0 ne s’annule pas sur l’intervalle ]

−∞ ; 1

2

[

.

3. a. Démontrer que ln(1+λ)> λ

λ+1 .

Onpourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par f(x)= ln(1+x)− x

x+1 .

b. En déduire que 1

λ ln(1+λ)>

1

2 .

4. En déduire que la fonction z0 ne s’annule pas sur

]

−∞ ; 1

2

[

.

Démontrer alors que (Eλ) admet une solution strictement positive sur

]

−∞ ; 1

2

[

que l’on précisera.

EXERCICE 4 6 points

Commun à tous les candidats

On considère dans l’espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté sur l’annexe. Soit I le barycentre des points pondérés (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K celui de (G ; 2) et (C ; 1).

On veut déterminer l’ensemble des points M équidistants de I, J et K. On note cet ensemble.

1. Placer les points l, J et K sur la figure de l’annexe qui sera rendue avec la copie.

2. Soit Ω le point de ∆ situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK ?

Pour la suite de l’exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal

suivant :

(

A ; 1

3

−−→ AD ;

1

3

−−→ AB ;

1

3

−→ AE

)

.

3. Donner les coordonnées des points l, J et K.

4. Soit P(2 ; 0 ; 0) et Q(1 ; 3 ; 3) deux points que l’on placera sur la figure. Démon- trer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK).

5. Soit M un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z).

a. Démontrer queM appartient à∆ si, et seulement si, le triplet (x ; y ; z) est solution d’un système de deux équations linéaires que l’on écrira. Quelle est la nature de ∆ ?

b. Vérifier que P et Q appartiennent à ∆. Tracer ∆ sur la figure.

6. a. Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan.

b. Déterminer alors les coordonnées exactes deΩ.

Métropole 55 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE 1

À RENDRE AGRAFÉE À LA COPIE

Figure de l’exercice 4

A

D

C

B

E

H

G

F

Métropole 56 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE 2

Schéma de l’exercice 2

E

A

F

D B

H G

C

Métropole 57 septembre 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2006\

EXERCICE 1 4 points

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On pose a = 3, b = 5− 2i et c = 5+ 2i. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B.

a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.

b. Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre com-

plexe z−3

z−5+2i .

c. Déterminer alors l’ensemble des pointsM d’affixe z tels que z−3

z−5+2i soit

un nombre réel strictement négatif.

2. Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC etΩ le point d’affixe 2− i.

a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centreΩ et d’angle − π

2 .

b. Déterminer l’image Γ′ de Γ par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de Γ′.

EXERCICE 2 4 points

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Calculer P (X = 0). c. On se propose de déterminer maintenant P (X = 1).

— Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue

au second tirage est égale à 8

45 .

— En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P (X = 1).

2. On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.

On effectuemaintenantn tirages successifs auhasard d’uneboule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne.

Soit k un entier compris entre 1 et n.

Soit N l’évènement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ».

Soit A l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième ».

Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (nk) derniers tirages ».

Calculer P (A), PA(B) et P (N).

Baccalauréat S Baccalauréat S

EXERCICE 3 7 points

1. Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (

2x3−4x2 )

e−x .

a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞. b. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x)= 2x

(

x2+5x−4 )

e−x .

c. Dresser le tableau de variations de f .

d. Tracer la courbe (C ) représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique : 1 cm).

2. Pour n ∈N∗, on pose

In = ∫1

0 xne−x dx.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

b. On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, In =nIn−1− 1

e .

Déterminer 12 et 13.

c. Soit A l’aire, exprimée en cm2, du domaine délimité par l’axe des abs- cisses, la courbe (C ) et les droites d’équation x = 0 et x = 1. Calculer A .

3. Soit u une fonction définie et dérivable sur R.

On définit la fonction v sur ]0 ; +∞[ par v(x)=u (

1

x

)

.

a. On suppose que u est croissante sur l’intervalle [a ; b] (où 0< a < b).

Déterminer le sens de variation de v sur

[

1

b ; 1

a

]

.

b. On définit maintenant la fonction g par g (x) = f (

1

x

)

sur ]0 ; +∞[, où f

est la fonction définie dans la question 1.

Déterminer les limites de g en 0 et en +∞, c. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction

g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

EXERCICE 4 5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Soit (P1) le plan d’équation cartésienne −2x+ y+ z−6= 0 et (P2) le plan d’équation cartésienne x−2y +4z−9 = 0.

1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires.

On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vec- teur normal non nul à l’un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l’autre.

2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2).

Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :

x = −7+2t y = −8+3t z = t

(t ∈ R).

3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coor- données (−9 ; −4 ; −1). a. Vérifier que A n’appartient ni à (P1), ni à (P2).

Polynésie (épreuve obligatoire) 59 septembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. Exprimer AM2 en fonction de t .

c. Soit f la fonction définie sur R par f (t)= 2t2−2t +3. • Étudier les variations de f . • Pour quel point M , la distance AM est-elle minimale ?

Dans la suite, on désignera ce point par I. • Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.

a. Déterminer une équation de (Q).

b. Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).

Polynésie (épreuve obligatoire) 60 septembre 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006 \

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, ,on considère les

points : A de coordonnées (3 ; 1 ; −5), B de coordonnées (0 ; 4 ; −5), C de coordonnées (−1 ; 2 ; −5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).

Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Au- cune justification n’est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention « VRAI » ou « FAUX ». On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse incorrect. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Les points A, B et D sont alignés.

2. La droite (AB) est contenue dans le plan d’équation cartésienne : x+ y = 4. 3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : 18x−9y −5z+11 = 0. 4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.

5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).

6. Une représentationparamétriquede la droite (BD) est :

x = 1−2k

y = 7

2 +k, k ∈R

z = − 1

2 −9k

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra pour

unité graphique 1 cm.

1. Question de cours

On rappelle que : « Pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z on a : |z| = ‖−→w ‖ et

arg (z)= (−→ u ,

−→ w

)

».

Soient M , N et P trois points du plan, d’affixes respectivesm, n et p tels que m 6=n etm 6= p.

a. Démontrer que : arg (pm nm

)

= (−−−→ MN ,

−−→ MP

)

.

b. Interpréter géométriquement le nombre ∣

pm nm

2. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA = 4+ i, zB = 1+ i, zC = 5i et zD =−3− i.

Placer ces points sur une figure.

3. Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z as- socie le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = (1+2i)z−2−4i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. Montrer que f admet un unique point invariantΩ, dont on précisera l’af- fixeω.

4. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a :

z ′− z =−2i(2− i− z).

b. En déduire, pour tout point M différent du point Ω, la valeur de MM

M et

une mesure en radians de l’angle (−−−→ MΩ ,

−−−−→ MM

)

c. Quelle est la nature du triangleΩMM ′ ?

d. Soit E le point d’affixe zE = −1− i p 3. Écrire zE sous forme exponentielle

puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E′ associé au point E.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Rappel : Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b+7k.

1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances

a. Soient a, b, c et d des entiers relatifs. Démontrer que : si a b mod 7 et c d mod 7 alors ac bd mod 7.

b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls si a b mod 7 alors pour tout entier naturel n, an bn mod 7.

2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que an ≡ 1 mod 7.

3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.

a. Montrer que : a6 ≡ 1 mod 7. b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier na-

turel non nul tel que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie ar ≡ 1 mod 7. En déduire que k divise 6. Quelles sont les valeurs possibles de k ?

c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.

4. À tout entier naturel n, on associe le nombre

An = 2n +3n +4n +5n +6n .

Montrer que A2006 ≡ 6 mod 7.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.

La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à 1

4 .

La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à 1

2 .

Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soit n un entier naturel vérifiant 06 n6 50. On définit les évènements suivants :

Amérique du Sud 62 novembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

— A : « le jardinier a choisi le lot 1 » — B : « le jardinier a choisi le lot 2 » — Jn : « le jardinier obtient n tulipes jaunes ».

1. Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.

a. Quelle loi de probabilité suit le nombrede tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?

b. Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?

c. Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tu- lipes jaunes,

d. Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes.Ondon- nera l’arrondi aumillième du résultat.

2. Probabilités conditionnelles

a. Montrer que : PB (Jn)= (50 n

)

2−50.

b. En déduire la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes.

c. On note pn la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que Jn est réalisé. établir que :

pn = 350−n

350−n +250 .

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,9 ?

Comment peut-on interpréter ce résultat ?

EXERCICE 4 8 points Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par :

fn(x)= lnx+ x

n −1.

a. Déterminer les limites de fn en 0 et en +∞ puis étudier le sens de varia- tions de fn .

b. Montrer que l’équation fn (x)= 0 admet uneunique solutiondans ]0 ; +∞[. On note αn cette solution. Montrer qu’elle appartient à l’intervalle [1 ; e].

2. Leplan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

. Onnote (Γ) la courbe

représentative de la fonction logarithme népérien.

a. Soit n un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite∆n passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point Bn de coordon- nées (n ; 0).

b. Faire un croquis représentant la courbe (Γ) et les droites ∆1, ∆2 et ∆3.

c. Montrer que αn est l’abscisse du point d’intersection de (Γ) avec ∆n .

d. Préciser la valeur de α1 puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite (αn ).

3. a. Exprimer ln(αn ) en fonction de n et de αn .

b. Exprimer fn+1 (αn) en fonction de n et de αn et vérifier que : fn+1 (αn )< 0.

c. Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite (αn ).

d. Montrer que la suite (αn) converge. On note sa limite. Établir que : ln= 1 et en déduire la valeur de .

Amérique du Sud 63 novembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

4. On désigne par Dn le domaine délimité par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équation : x =αn et x = e. a. Calculer l’aire du domaineDn en fonction deαn etmontrer que cette aire

est égaie à α2n

n .

b. Établir que :

(e−αn ) lnαn 6 α2n

n 6 (e−αn ) .

c. En déduire un encadrement de n (e−αn). d. La suite de termegénéraln (e−αn ) est-elle convergente ? Ce résultat permet-

il d’apprécier la rapidité de la convergence de la suite (αn ) ?

Amérique du Sud 64 novembre 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel (ou 5 pour mille).

1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ?

2. a. On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la va- riable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.

b. Ondésigne par A l’évènement « aucun animal n’est malade parmi les 10 ».

On désigne par B l’évènement « aumoins un animal est malade parmi les 10 ».

Calculer les probabilités de A et de B

3. On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sa- chant qu’il est malade est 0,8. Lorsqu’un animal n’est pas malade, la proba- bilité d’avoir un test négatif est 0,9. On note T l’évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l’évènement « être atteint de cette maladie ».

a. Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé.

b. Calculer la probabilité de l’évènement T.

c. Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

On considère l’équation (E)

z3− (4+ i)z2+ (7+ i)z−4= 0

z désigne un nombre complexe.

Partie A

1. a. Montrer que (E) admet une solution réelle, note z1.

b. Déterminer les deuxnombres complexes a etb tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

z3− (4+ i)z2+ (7+ i)z−4= (zz1) (z−2−2i)(az+b)

2. Résoudre (E).

Partie B

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère les trois

points A, B et C d’affixes respectives 1, 2+2i et 1− i. 1. Représenter A, B et C.

Baccalauréat S Baccalauréat S

2. Déterminer le module et un argument de 2+2i 1− i

. En déduire la nature du tri-

angle OBC.

3. Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC? Justifier votre affirma- tion.

4. Soit D l’image de O par la rotation d’angle − π

2 et de centre C. Déterminer

l’affixe de D.

5. Quelle est la nature de OCDB?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. (unité 1 cm).

On construira une figure que l’on complétera au fur et mesure.

1. Soit A le point d’affixe 3, et r la rotation de centre O et d’angle π

3 . On note B,

C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation r .

Montrer que B a pour affixe 3

2 + 3 p 3

2 i.

2. Associer à chacun des points C, D, E et F l’une des affixes de l’ensemble sui- vant

{

−3 ; − 3

2 + 3 p 3

2 i ;

3

2 − 3 p 3

2 i ; −

3

2 − 3 p 3

2 i

}

3. a. Déterminer r (F).

b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

4. Soit s la similitude directe de centre A, de rapport 1

2 et d’angle

π

3 . Soit s′ la

similitude directe de centre E transformant F en C.

a. Déterminer l’angle et le rapport de s′. En déduire l’angle et le rapport de s′ ◦ s.

b. Quelle est l’image du point D par s′ ◦ s ? c. Déterminer l’écriture complexe de s′ ◦ s.

5. Soit A′ le symétrique de A par rapport à C.

a. Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s(A′) puis l’image de A′

par s′ ◦ s. b. Calculer l’affixe du point A′. Retrouver alors le résultat du a. en utilisant

l’écriture complexe de s′ ◦ s.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :

u0 = 1

2 et un+1 =

1

2

(

un + 2

un

)

1. a. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1

2

(

x+ 2

x

)

Étudier le sens de variation de f , et tracer sa courbe représentative dans

le plan muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

. (On prendra comme

unité 2 cm).

Nouvelle-Calédonie 66 16 novembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l’axe

(

O ; −→ ı )

d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul un > p 2.

b. Montrer que pour tout x > p 2, f (x)6 x.

c. En déduire que la suite (un ) est décroissante à partir du rang 1.

d. Prouver qu’elle converge.

3. Soit la limite de la suite (un ). Montrer que est solution de l’équation

x = 1

2

(

x+ 2

x

)

En déduire sa valeur.

EXERCICE 4 6 points Commun tous les candidats

Première partie

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère :

— les points A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(−1 ; 1 ; 2) et D(1 ; −4 ; 0) — les plans (P1) : 7x+4y −3z+9 = 0 et (P2) : x−2y = 0. — les droites (∆1) et (∆2) définies par leurs systèmes d’équations paramétriques

respectifs

x = −1+ t y = −8+2t z = −10+5t

t ∈R

x = 7+2t y = 8+4t z = 8− t

t ′ ∈R

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat in- diquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’ab- sence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

a. b. e. d. 1. Le plan (P1) est Le plan (ABC) Le plan (BCD) Le plan (ACD) Le plan (ABD) 2. La droite (∆1) contient

Le point A Le point B Le point C Le point D

3. Position relative de (P1) et de (∆2)

(∆1) est strictement

parallèle a (P1)

(∆1) est incluse dans (P1)

(∆1) coupe (P1) (∆1) est orthogonale à

(P1) 4. Position relative de (∆1) et de (∆2)

(∆1) est strictement

parallèle à (∆2)

(∆1) et (∆2) sont

confondues

(∆1) et (∆2) ) sont sécantes

(∆1) et (∆2) sont non

coplanaires.

5. L’intersection de (P1) et de (P2) est une droite dont une représentation para- métrique est

x = t

y = −2+ 1

2 t

z = 3t

x = 2t y = t z = 3+6t

x = 5t y = 1−2t z = t

x = −1+ t y = 2+ t z = −3t

Deuxième partie

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère la droite

(D) passant par A(0 ; 0 ; 3) et dont un vecteur directeur est −→ u (1 ; 0 ; −1) et la droite

(D′) passant par B(2 ; 0 ; 4) et dont un vecteur directeur est −→ v (0 : 1 ; 1).

L’objectif est de démontrer qu’il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D′), de la déterminer et de dégager une propriété de. cette droite.

Nouvelle-Calédonie 67 16 novembre 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

1. On considère un point M appartenant à (D) et un point M ′ appartenant à

(D′), définis par −−→ AM = a

−→ u et

−−−→ BM ′ = b

−→ v , où a et b sont de nombres réels.

Exprimer les coordonnées deM , deM ′ puis du vecteur −−−−→ MM ′ en fonction de

a et b.

2. Démontrer que la droite (MM ′) est perpendiculaire à (D) et à (D′) si et seule- ment si le couple (a ; b) est solution du système

{

2a+b = 1 a+2b = −1

3. Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques pointsM etM ′, que nous noterons ici H et H’, tels que la droite (HH′) soit bien perpen- diculaire commune à (D) et à (D′). Montrer queHH′ =

p 3 unités de longueur.

4. On considère un point M quelconque de la droite (D) et un point M ′ quel- conque de la droite (D′).

a. En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que

MM ′2 = (a+b)2+ (a−1)2+ (b+1)2+3.

b. En déduire que la distance MM ′ est minimale lorsque M est en H et M

est en H′.

Nouvelle-Calédonie 68 16 novembre 2006

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