Corrigé – exercices - calcul avancé 10, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 10, Exercices de Calcul avancé

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Corrigé – exercices sur les calcul avancé 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe, la courbe représentative de la fonction.
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BacSAmeriqueduNordmai2011.dvi

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 27 mai 2011 \

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1+ i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle

π

2 , rB la rotation de centre B, d’angle

π

2 et rO la rotation de centre O, d’angle −

π

2 .

Partie A

On considère le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d ,g et h les affixes respectives des points D, G et H.

1. Démontrer que d =−2+ i. 2. Déterminer g et h.

3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un pointM , distinct de O et de A, d’affixem. On appelleN l’image de M par rA, P l’image de N par rB etQ l’image de M par rO. On note n,p et q les affixes respectives des points N , P etQ .

1. Montrer que n = im+1+ i. On admettra que p =−m+1+ i et q =−im. 2. Montrer que le quadrilatèreMNPQ est un parallélogramme.

3. a. Montrer l’égalité : mn pn

= i+ 1

m .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou

d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

Déterminer l’ensemble (Γ) des pointsM tels que le quadrilatèreMNPQ soit un rectangle.

EXERCICE 2 4 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordina- teurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont lamêmeprobabilité d’être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ> 0. Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie

inférieure à t années, notée p(X 6 t ), est donnée par : p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ sachant que p(X > 5)= 0,4. 2. Dans cette question, on prendra λ= 0,18.

Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10−3 près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?

3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est in- dépendante de celle des autres et que p(X > 5)= 0,4.

a. On considère un lot de 10 ordinateurs.

Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordina- teurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie aumillième de cette probabilité.

b. Quel nombreminimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la pro- babilité de l’évènement « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?

EXERCICE 3 5 points

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l’espace et trois réels a,b et c de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l’ensemble des pointsM de

l’espace tels que ∥

a −−→ MA +b−−→MB +c−−→MC

∥= k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c .

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

1. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur nor-

mal au plan (BCE).

2. Déterminer une équation du plan (BCE).

3. On note (∆) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

4. Démontrer que la droite (∆) est sécante au plan (ABC) en un point R, sy- métrique de B par rapport à A.

5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affec- tés des coefficients respectifs 1,−1 et 2.

Amérique du Nord 2 27 mai 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S) des pointsM de l’espace tels que ‖−−→MR −−−→MB +2−−→MC ‖= 2

p 2.

c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).

d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon.

E

A

B

C

G

F

H

D

EXERCICE 3 5 points

Enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p , alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n +3n +6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ?

5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

a. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop). b. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulop). c. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Amérique du Nord 3 27 mai 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 6 points

Partie A

On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= ex x−1.

1. Étudier les variations de la fonction g .

2. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

3. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, ex x > 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par

f (x)= ex −1 ex x

.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].

1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) ∈ [0 ; 1]. 2. Soit (D) la droite d’équation y = x.

a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x)−x = (1−x)g (x)

ex x .

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur [0 ; 1].

3. a. Déterminer une primitive de f sur [0 ; 1].

b. Calculer l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

On considère la suite (un) définie par :

u0 = 1

2 un+1 = f (un) , pour tout entier natureln.

1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, 1

2 6 un 6 un+1 6 1.

3. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Amérique du Nord 4 27 mai 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

EXERCICE 4

O x

y

1

1

Amérique du Nord 5 27 mai 2011

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