Corrigé – exercices - calcul avancé 11, Exercices de Calculs avancés
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 11, Exercices de Calculs avancés

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Corrigé – exercices sur les calcul avancé 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espacemuni d’un repère orthonormal, l’affixe des points.
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Caledonie bis nov 2011.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ 10 novembre 2011

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2−2z+2= 0.

2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC−3

zA−3 . En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation de

centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image de C′

par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln

(

1+ 1

x

)

x.

a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.

b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.

c. Montrer qu’il existe un unique réel α appartenant à ]0 ; +∞[ tel que

f (α)= 0.

Déterminer une valeur approchée de α à 10−3 près.

2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g (x)= ln

(

1+ 1

x

)

.

La suite (un )n∈N est définie par u0 = 1,5 et pour tout entier naturel n :

un+1 = g (un )= ln

(

1+ 1

un

)

.

On a représenté en annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe C représen- tative de la fonction g et la droite d’équation y = x.

a. Construire sur l’axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite (un )n∈N

b. Le graphique permet-il d’émettre les conjectures suivantes ?

On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou

NON.

Aucune justification n’est demandée.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

• Conjecture no 1 : « la suite (un )n∈N est monotone. » • Conjecture no 2 : « la suite (un )n∈N est minorée par 0,5. » • Conjecture no 3 : « la suite (un )n∈N converge vers 1. »

c. On admet que la suite (un )n∈N est convergente vers une limite stricte- ment positive.

Montrer que ln

(

1+ 1

)

= .

d. Montrer que =α.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps

de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera ap-

pelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonc-

tionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un

réel strictement positif.

On rappelle que, pour tout réel t > 0, P (X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 102 près .

2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonction- nement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.

3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières

heures.

4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

5. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indé- pendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspon-

dant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.

a. Quelle est la loi suivie par Y ?

b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures

c. Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche).

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a. Vérifier qu’une équation du plan (ABC) est : 2x+ y +2z = 4.

b. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

2. a. Déterminer une équationduplanP passant par A et orthogonal à la droite (BC).

Nouvelle-Calédonie 2 10 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit ∆ la droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆. Quel rôle joue cette droite

dans le triangle ABC?

3. a. Soit ∆′ la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu’une équation paramétrique de ∆′ dans le triangle ABC est :

x = t y = 4−4t , z = t

t ∈R.

b. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d’intersection des droites ∆ et ∆′. Montrer que le point H a

pour coordonnées

(

8

9 ; 4

9 ; 8

9

)

.

Que représente le point H pour le triangle ABC?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère la surface S d’équation : x2+ y2− z2 = 4.

1. a. Montrer que si le point M(x ; y ; z) appartient à S alors le point

M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ?

b. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans

(xOz) et (yOz).

2. a. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy).

Préciser ses éléments caractéristiques.

b. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéris- tiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2.

4. On considère les points A (

2 p 2 ; 0 ; 2

)

et B (

0 ; 2 p 2 ; −2

)

.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la ré-

ponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5.

a. Montrer qu’un point M(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(xz)(x+ z)=−21 et y = 5.

b. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Nouvelle-Calédonie 3 10 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE 1

Commun à tous les candidats

(À rendre avec la copie) Exercice 2

1

1 2

D

x

y

O

C

Nouvelle-Calédonie 4 10 novembre 2011

B a c c a la u ré a t S

A .P.M

.E .P.

ANNEXE 2

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Exercice 5

00

x

y

z

00

x

y

z

00

x

y

z

Figure 1 Figure 2 Figure 3

N o u v e lle

-C a lé d o n ie

5 1 0 n o v e m b re

2 0 1 1

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