Corrigé – exercices - calcul avancé 11, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 11, Exercices de Calcul avancé

PDF (189.7 KB)
5 pages
137Numéro de visites
Description
Corrigé – exercices sur les calcul avancé 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espacemuni d’un repère orthonormal, l’affixe des points.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Caledonie bis nov 2011.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ 10 novembre 2011

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2−2z+2= 0.

2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC−3

zA−3 . En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation de

centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image de C′

par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln

(

1+ 1

x

)

x.

a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.

b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.

c. Montrer qu’il existe un unique réel α appartenant à ]0 ; +∞[ tel que

f (α)= 0.

Déterminer une valeur approchée de α à 10−3 près.

2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g (x)= ln

(

1+ 1

x

)

.

La suite (un )n∈N est définie par u0 = 1,5 et pour tout entier naturel n :

un+1 = g (un )= ln

(

1+ 1

un

)

.

On a représenté en annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe C représen- tative de la fonction g et la droite d’équation y = x.

a. Construire sur l’axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite (un )n∈N

b. Le graphique permet-il d’émettre les conjectures suivantes ?

On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou

NON.

Aucune justification n’est demandée.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

• Conjecture no 1 : « la suite (un )n∈N est monotone. » • Conjecture no 2 : « la suite (un )n∈N est minorée par 0,5. » • Conjecture no 3 : « la suite (un )n∈N converge vers 1. »

c. On admet que la suite (un )n∈N est convergente vers une limite stricte- ment positive.

Montrer que ln

(

1+ 1

)

= .

d. Montrer que =α.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps

de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera ap-

pelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonc-

tionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un

réel strictement positif.

On rappelle que, pour tout réel t > 0, P (X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 102 près .

2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonction- nement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.

3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières

heures.

4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

5. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indé- pendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspon-

dant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.

a. Quelle est la loi suivie par Y ?

b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures

c. Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche).

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a. Vérifier qu’une équation du plan (ABC) est : 2x+ y +2z = 4.

b. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

2. a. Déterminer une équationduplanP passant par A et orthogonal à la droite (BC).

Nouvelle-Calédonie 2 10 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit ∆ la droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆. Quel rôle joue cette droite

dans le triangle ABC?

3. a. Soit ∆′ la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu’une équation paramétrique de ∆′ dans le triangle ABC est :

x = t y = 4−4t , z = t

t ∈R.

b. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d’intersection des droites ∆ et ∆′. Montrer que le point H a

pour coordonnées

(

8

9 ; 4

9 ; 8

9

)

.

Que représente le point H pour le triangle ABC?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère la surface S d’équation : x2+ y2− z2 = 4.

1. a. Montrer que si le point M(x ; y ; z) appartient à S alors le point

M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ?

b. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans

(xOz) et (yOz).

2. a. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy).

Préciser ses éléments caractéristiques.

b. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéris- tiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2.

4. On considère les points A (

2 p 2 ; 0 ; 2

)

et B (

0 ; 2 p 2 ; −2

)

.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la ré-

ponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5.

a. Montrer qu’un point M(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(xz)(x+ z)=−21 et y = 5.

b. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Nouvelle-Calédonie 3 10 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE 1

Commun à tous les candidats

(À rendre avec la copie) Exercice 2

1

1 2

D

x

y

O

C

Nouvelle-Calédonie 4 10 novembre 2011

B a c c a la u ré a t S

A .P.M

.E .P.

ANNEXE 2

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Exercice 5

00

x

y

z

00

x

y

z

00

x

y

z

Figure 1 Figure 2 Figure 3

N o u v e lle

-C a lé d o n ie

5 1 0 n o v e m b re

2 0 1 1

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome