Corrigé – exercices - calcul avancé 12, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 12, Exercices de Calcul avancé

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Corrigé – exercices sur les calcul avancé 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les démonstrations, le sens de variations.
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EtrangerS16juin2011.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Centres étrangers 16 juin 2011 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On considère une droite D munie d’un repère ( O ;

−→ ı

) .

Soit (An) la suite de points de la droite D ainsi définie : • A0 est le point O ; • A1 est le point d’abscisse 1 ; • pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [AnAn+1].

1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6.

On prendra 10 cm comme unité graphique.

b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An .

Calculer a2, a3, a4 a5 et a6.

c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : an+2 = an +an+1

2 .

2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, an+1 =− 1

2 an +1.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par

vn = an − 2

3 .

Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 1

2 .

4. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse,

en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→

) ,

les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i, b = 3i, c =

(p 3+

1

2

) + i

(p 3

2 +2

) .

Affirmation

Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

la transformation f dont une écriture complexe est : z ′ =

( 2i

p 3+ i

) z.

Affirmation

La transformation f est la rotation de centre O et d’angle π

3 .

Question 3

On considère le nombre complexe a = ( − p 3+ i

)2011 .

Affirmation

Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évènement (X 6 t) s’exprime par P (X 6 t)= 1−e−λt . Affirmation

Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation

La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse,

en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification complète sera valorisée.

Question 1 On considère l’équation (E) : 2x+11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation

Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k−2 ; −4k+1), avec k appar- tenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

Question 2 On considère l’entier N = 112011. Affirmation

L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 3i ; c = ( 1−2

p 2 ) + i

( 1−

p 2 ) .

Affirmation

Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport p 2

et d’angle − π

2 .

Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 2− i.

Soit f la similitude d’écriture complexe : z ′ =

( − 3

5 − 4

5 i

) z+

( 12

5 + 6

5 i

) .

Affirmation

La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

) .

On considère la surface S dont une équation est : z = 4xy . Affirmation

Centres étrangers 2 16 juin 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

La section de la surfaceS par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit M un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l’exercice, on se place dans le

repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

A

B C

D

E

F G

H

M

I

J

1. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.

b. Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point M soient (1− t ; 1− t ; t).

2. a. Démontrer que les points C et E appartiennent au planmédiateur du seg- ment [IJ].

b. En déduire que le triangleMIJ est un triangle isocèle enM .

c. Exprimer IM2 en fonction de t .

3. Le but de cette question est de déterminer la position du point M sur le seg- ment [CE] pour laquelle la mesure de l’angle ÎMJ est maximale.

On désigne par θ la mesure en radian de l’angle ÎMJ.

a. En admettant que la mesure θ appartient à l’intervalle [0 ; π], démontrer

que la mesure θ est maximale lorsque sin

( θ

2

) est maximal.

b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est mini- male.

c. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f (t)= 3t2− t + 1

4 .

d. En déduire qu’il existe une unique positionM0 du pointM sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle ÎMJ soit maximale.

e. Démontrer que le point M0 est le projeté orthogonal du point I sur le seg- ment [EC].

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble R des nombres réels par :

f (x)= xe1−x et g (x)= x2e1−x .

Les courbes représentatives des fonctions f et g dansun repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→

)

sont respectivement notées C et C ′. leur tracé est donné en annexe.

Centres étrangers 3 16 juin 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Étude des fonctions f et g

a. Déterminer les limites des fonctions f et g en −∞.

b. Justifier le fait que fonctions f et g ont pour limite 0 en +∞.

c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations respectifs.

2. Calcul d’intégrales

Pour tout entier naturel n, on définit l’intégrale In par :

I0 = ∫1

0 e1−x dx et , si n> 1, In =

∫1

0 xne1−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de I0.

b. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier na- turel n :

In+1 =−1+ (n+1)In .

c. En déduire la valeur exacte de I1, puis celle de I2.

3. Calcul d’une aire plane

a. Étudier la position relative des courbes C et C ′.

b. On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’unepart entre les courbesC etC ′, d’autre part entre les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

En exprimant A comme différence de deux aires que l’on précisera, dé- montrer l’égalité :

A = 3−e.

4. Étude de l’égalité de deux aires

Soit a un réel strictement supérieur à 1.

On désigne par S(a) l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan com- prise d’unepart entre les courbesC etC ′, d’autre part entre les droites d’équa- tions respectives x = 1 et x = a.

On admet que S(a) s’exprime par :

S(a)= 3−e1−a ( a2+a+1

) .

L’objectif de cette question est de prouver qu’il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S(a) sont égales.

a. Démontrer que l’équation S(a)=A est équivalente à l’équation :

ea = a2+a+1.

b. Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Conclure, quant à l’existence et l’unicité du réel a, solution du problème posé.

Centres étrangers 4 16 juin 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

(Courbes de l’exercice 4)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

4

4O

C

C ′

Centres étrangers 5 16 juin 2011

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