Corrigé – exercices - calcul avancé 9, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 9, Exercices de Calcul avancé

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Corrigé – exercices sur les calcul avancé 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le barycentre du système de points pondérés, l'équation cartésienne du plan.
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[ Baccalauréat S 2011\

L’intégrale demars à novembre 2011

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry 13 avril 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Amérique du Nord 27 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Liban 30 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Polynésie 10 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Antilles-Guyane 18 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Asie 21 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Centres étrangers 14 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

La Réunion 22 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Métropole 23 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Antilles-Guyane septembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Métropole 16 septembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Polynésie septembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Nouvelle-Calédonie novembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Amérique du Sud 16 novembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ mars 2011

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A : Restitution organisée de connaissances

On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay a ∈R sont les fonctions g définies sur R par g (x)=K eax K ∈R.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y ′ = ay +b a ∈R∗ et b ∈R.

1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)=− b

a est une solution de

(E).

2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence sui- vante : f est solution de (E) ⇐⇒ f u est solution de l’équation différentielle y ′ = ay .

3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

Partie B

Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse à l’instant t , où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde. On suppose deplus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. Unmodèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation différentielle :

10v ′(t)+ v(t)= 30.

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vitesse initiale est nulle, c’est- à-dire que v(0)= 0.

1. Démontrer que v(t)= 30 ( 1−e−

t 10

) .

2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. Déterminer la limite de la fonction v en +∞.

3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v ′(t) est inférieure à 0,1 m.s−2. Déterminer, à la se- conde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.

4. La distance d parcourue par ce cycliste entre les instants t1, et t2 est donnée

par d = ∫t2 t1

v(t)dt .

Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières se- condes.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

Un concurrent tire au hasard un jeton : — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de

transport parmi les trois précédents. On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choi- sit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas.

1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.

Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.

2. Calculer la probabilité qu’un concurrent effectue le trajet à vélo.

3. Sachant qu’un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu’il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?

4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.

L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabi-

lité, pour le vainqueur, d’avoir effectué le trajet à vélo est 2

3 .

Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée aumoins une fois par un concurrent « non cycliste ».

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit (un) la suite définie par

{ u0 = 1 un+1 = un − ln

( u2n +1

) pour tout entier naturel n.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x− ln ( x2+1

) .

1. Résoudre dans R l’équation f (x)= x. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1].

Partie B

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n> 0, un ∈ [0 ; 1]. 2. Étudier le sens de variation de la suite (un ).

3. Démontrer que la suite (un ) est convergente. Déterminer sa limite.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(−2 ; 2 ; 2).

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. a. Calculer le produit scalaire −−→ AB ·

−−→ AC puis les longueurs AB et AC.

b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAC. c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2xy +2z+2 = 0. 3. Soient P1, et P2 les plans d’équations respectives x+ y −3z+3= 0 et

x−2y +6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un sys-

tème d’équations paramétriques est

  

x = −2 y = −1+3t z = t

, t ∈R.

4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

5. Soit S la sphère de centreΩ(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3. a. Donner une équation cartésienne de la sphère S .

Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incom-

plète, ou d’initiativemêmenon fructueuse, seraprise en compte dans l’éva-

luation.

b. Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.

c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2011

[ Baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011\

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

EXERCICE 1 10 points Commun à tous les candidats

Partie I Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dansun repère orthonormal, les courbes C1 et C2 représentatives de deux fonctions f1 et f2 définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

1

2

3

−1

1 2 3 4

C1

C2

O

On sait que : — l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1 et C2 — l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C2 — la fonction f2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[ — la fonction f1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[ — la limite quand x tend vers +∞ de f1(x) est +∞.

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est

exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justificationn’est

demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l’absence

de réponse n’est pas sanctionnée.

1. La limite quand x tend vers 0 de f2(x) est :

• 0 • +∞ •On ne peut pas conclure

2. La limite quand x tend vers +∞ de f2(x) est :

• 0 • 0,2 •On ne peut pas conclure

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

3. En +∞, C1 admet une asymptote oblique :

• Oui •Non •On ne peut pas conclure

4. Le tableau de signes de f2(x)− f1(x) est :

x 0 +∞ f2(x)− f1(x) + •

x 0 +∞ f2(x)− f1(x) − •

x 0 +∞ f2(x)− f1(x) +0 −

Partie II

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= ln(x)+1− 1

x .

1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de défi- nition.

2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 3. En déduire le signe de f (x) lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[. 4. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

F (x)= x lnx− lnx est une primitive de la fonction f sur cet intervalle. 5. Démontrer que la fonctionF est strictement croissante sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

6. Montrer que l’équation F (x)= 1− 1

e admet une unique solution dans l’inter-

valle ]1 ; +∞[ qu’on note α. 7. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−1.

Partie III

Soit g et h les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g (x)= 1

x et h(x)= ln(x)+1.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dansun repère orthonormal, les courbes Cg et Ch représentatives des fonctions g et h.

Pondichéry 7 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1

2

3

−1

1 2 3 4O

A

P

t

Ch

Cg

1. A est le point d’intersection de la courbe Ch et de l’axe des abscisses. Déter- miner les coordonnées du point A.

2. P est le point d’intersection des courbes Cg et Ch . Justifier que les coordon- nées du point P sont (1 ; 1).

3. On note A l’aire du domaine délimité par les courbes Cg , Ch et les droites

d’équations respectives x = 1

e et x = 1 (domaine grisé sur le graphique).

a. Exprimer l’aire A à l’aide de la fonction f définie dans la partie II.

b. Montrer que A = 1− 1

e .

4. Soit t un nombre réel de l’intervalle ]1 ; +∞[. On note Bt l’aire du domaine délimité par les droites d’équations respectives x = 1, x = t et les courbes Cg et Ch (domaine hachuré sur le graphique).

On souhaite déterminer une valeur de t telle que A =Bt . a. Montrer que Bt = t ln(t)− ln(t). b. Conclure.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

Pondichéry 8 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

A

B

C

D

A′

A′ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA′] est une médiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P1) : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

a. Montrer que −−→ AA′ ·−−→BD = 0 et que

−−→ AA′ ·−−→BC = 0. (On pourra utiliser le milieu

I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).

b. En déduire que la médiane (AA′) est orthogonale à la face BCD.

Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l’isobarycentre des points A, B, C et D.

On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P2) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes enG.

Enutilisant l’associativité du barycentre,montrer queGappartient à la droite (AA′), puis conclure.

Partie II

Onmunit l’espace d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; −1) et R(−2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier.

2. Calculer les coordonnées de P′, centre de gravité du triangle OQR.

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (OQR) est : 3x+2y +16z = 0. 4. La propriété (P1) de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, la surface S d’équation :

z = (xy)2.

Pondichéry 9 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. On note E1 l’intersection de S avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E1. On note E2 l’intersection de S avec le plan P2 d’équation x = 1. Déterminer la nature de E2.

Partie B

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, la surface S ′ d’équation :

z = xy.

1. On note E3 l’intersection de S ′ avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E3

2. On note E4 l’intersection de S ′ avec le plan P3 d’équation z = 1. Déterminer la nature de E4.

Partie C

On note E5 l’intersection de S et de S ′. Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à E5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0). On suppose qu’il existe un point M appartenant à E5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.

1. Montrer que si x = 0, alors le point M est le point O. 2. On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul.

a. Montrer que les entiers x, y et z vérifient x2−3xy + y2 = 0. En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x′ et y ′ premiers entre eux tels que x′2−3xy ′+ y ′2 = 0.

b. Montrer que x′ divise y ′2, puis que x′ divise y ′.

c. Établir que y ′ vérifie la relation 1−3y ′+ y ′2 = 0. d. Conclure.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

0 point

5 points

0 point

3 points

Pondichéry 10 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.

On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.

On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc p0+p3+p5 = 1. Sachant que p5 = 1

2 p3 et que p5 =

1

3 p0 déterminer

les valeurs de p0, p3 et p

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes aumaximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On noteG2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On noteG3 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un évènement A.

a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p (G2)= 5

36 .

On admettra dans la suite que p (G3)= 7

36 b. En déduire p(P ).

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.

Quelle est la probabilité qu’il gagne aumoins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2(.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 (. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3(. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : −2, 1 et 3. a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Déterminer l’espérance mathématique de X . Le jeu est-il favorable au joueur ?

Pondichéry 11 13 avril 2011

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 27mai 2011\

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1+ i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle

π

2 , rB la rotation de centre B, d’angle

π

2 et rO la rotation de centre O, d’angle −

π

2 .

Partie A

On considère le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d ,g et h les affixes respectives des points D, G et H.

1. Démontrer que d =−2+ i. 2. Déterminer g et h.

3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un point M , distinct de O et de A, d’affixem. On appelle N l’image de M par rA, P l’image de N par rB etQ l’image deM par rO. On note n,p et q les affixes respectives des points N , P etQ .

1. Montrer que n = im+1+ i. On admettra que p =−m+1+ i et q =−im. 2. Montrer que le quadrilatèreMNPQ est un parallélogramme.

3. a. Montrer l’égalité : mn pn

= i+ 1

m .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer l’ensemble (Γ) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.

EXERCICE 2 4 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de para- mètre λ avec λ> 0. Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie

inférieure à t années, notée p(X 6 t), est donnée par : p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ sachant que p(X > 5)= 0,4.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2. Dans cette question, on prendra λ= 0,18. Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières an- nées, quelle est, à 10−3 près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supé- rieure à 5 ans ?

3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indé- pendante de celle des autres et que p(X > 5)= 0,4. a. On considère un lot de 10 ordinateurs.

Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie aumillième de cette probabilité.

b. Quel nombreminimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabi- lité de l’évènement « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supé- rieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?

EXERCICE 3 5 points

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l’espace et trois réels a,b et c de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l’ensemble des points M de

l’espace tels que ∥∥∥a−−→MA +b−−→MB +c−−→MC

∥∥∥= k est une sphère dont le centre est le ba- rycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

1. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur normal

au plan (BCE).

2. Déterminer une équation du plan (BCE).

3. On note (∆) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

4. Démontrer que la droite (∆) est sécante au plan (ABC) en un point R, symé- trique de B par rapport à A.

5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs 1, −1 et 2.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S)

des points M de l’espace tels que ‖−−→MR −−−→MB +2−−→MC ‖= 2 p 2.

c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).

d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon.

Amérique du Nord 13 27 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

E

A

B

C

G

F

H

D

EXERCICE 3 5 points Enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n +3n +6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

Onnote (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent aumoins un terme de la suite (un ).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ?

5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

a. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop). b. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulop). c. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

EXERCICE 4 6 points

Partie A

On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= ex x−1.

1. Étudier les variations de la fonction g .

2. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Amérique du Nord 14 27 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

3. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, ex x > 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par

f (x)= ex −1 ex x

.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère ortho- normal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].

1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) ∈ [0 ; 1]. 2. Soit (D) la droite d’équation y = x.

a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x)− x = (1− x)g (x)

ex x .

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur [0 ; 1].

3. a. Déterminer une primitive de f sur [0 ; 1].

b. Calculer l’aire, enunités d’aire, dudomaineduplandélimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

On considère la suite (un ) définie par :

{ u0 =

1

2 un+1 = f (un ) , pour tout entier natureln.

1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, 1

2 6 un 6 un+1 6 1.

3. En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.

Amérique du Nord 15 27 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

ANNEXE

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

EXERCICE 4

O x

y

1

1

Amérique du Nord 16 27 mai 2011

[ Baccalauréat S Liban 31mai 2011\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans l’espacemuni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , ondonne les trois points :

A(1 ; 2 ; −1),B(−3 ; −2 ; 3)et C(0 ; −2 ; −3)

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1) est un vecteur normal au plan

(ABC).

2. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est x+ y z+2= 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P ) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, −1) et (C, 2). a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5). b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P ).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P ) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l’ensemble (S) des points M de l’espace tels que∥∥∥−−→MA −−−→MB +2−−→MC ∥∥∥ = 12 est une sphère dont on déterminera les éléments

caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection duplan (P ) et de la sphère (S).

EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.

Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre

correspondant à la réponse choisie.

Il sera attribué 0,5 point si la réponse est exacte, 0 sinon.

1. Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d’ordinateur au même prix et de marques M1 et M2. Les deux ordinateurs ont les mêmes ca- ractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.

D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70% des acheteurs ont choisi l’ordinateur M1 et, parmi eux, 60% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20% des clients ayant acheté un ordinateur M2 l’ont choisi de couleur blanche.

On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des ordinateurs pré- cédemment cités et on choisit un client au hasard.

a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2 de couleur noire est :

Réponse A : 3

5 Réponse B :

4

5 Réponse C :

3

50 Réponse D :

6

25

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :

Réponse A : 21

50 Réponse B :

33

50 Réponse C :

3

5 Réponse D :

12

25

c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M2 est :

Réponse A : 4

11 Réponse B :

6

25 Réponse C :

7

11 Réponse D :

33

50

2. Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues.

Les boules sont indiscernables au toucher.

L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :

Réponse A : 11

81 Réponse B :

2

7 Réponse C :

5

84 Réponse D :

4

63

b. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :

Réponse A : 2

7 Réponse B :

1

7 Réponse C :

1

21 Réponse D :

79

84

c. On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en re- mettant à chaque fois les trois boules dans l’urne.

Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement « obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supé- rieure ou égale à 0,99 est :

Réponse A : 76 Réponse B : 71 Réponse C : 95 Réponse D : 94

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On suppose connu le résultat suivant :

Quels que soient les nombres complexes nonnuls z et z ′,arg ( z× z

) = arg(z)+arg

( z ′ )

à 2π près. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z ′, on a :

arg ( z z

) = arg(z)−arg

( z ′ ) à 2π près.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère les points A et B d’affixes respectives :

zA = 1− i et zB = 2+ p 3+ i.

1. Déterminer le module et un argument de zA.

2. a. Écrire zB

zA sous forme algébrique.

Liban 18 31 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

b. Montrer que zB

zA = ( 1+

p 3 ) ei

π 3 .

c. En déduire la forme exponentielle de zB.

3. On note B1 l’image du point B par la rotation r de centre O et d’angle − π

6 .

a. Déterminer l’affixe du point B1.

b. En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport à l’axe( O ;

−→ u ) .

Soit M un point du plan. On note M1 l’image du point M par la rotation r et

M ′ le symétrique du point M1 par rapport à l’axe ( O ;

−→ u ) .

On désigne par (E) l’ensemble des points M du plan tels que M ′ =M . a. Montrer que les points O et B appartiennent à l’ensemble (E).

b. Soit M un point distinct du point O.

Son affixe z est égale à ρeiθ ρ est un réel strictement positif et θ un nombre réel.

Montrer que l’affixe z ′ du point M ′ est égale à ρei ( π 6 −θ

) puis déterminer

l’ensemble des valeurs du réel θ telles que M appartienne à l’ensemble (E).

c. Déterminer l’ensemble (E).

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az+b a et b sont deux nombres complexes tels que a 6= 0.

Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points du plan tels que A 6= B et A′ 6= B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 modulo2π.

On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On appelle Ω le centre de la similitude s.

a. En utilisant la relation −−→ DC =−−→ΩC −−−→ΩD , démontrer que DC2 =ΩD2.

b. En déduire la nature du triangleΩDC.

3. On pose σ= s s. a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments carac-

téristiques.

b. Déterminer l’image du point D par la transformation σ.

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle.

5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal

direct ( A ;

−→ u ,

−→ v ) , choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient

comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

Liban 19 31 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

a. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est :

z ′ = (1+i)z+2−i où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un point M et de son imageM ′ par s.

b. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que

{ x′ = xy +2 y ′ = x+ y −1

c. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des points M du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que −−−→ AM ′ ·−→AJ = 0, M ′ désignant l’image du point M par s ?

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= x+e−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

1. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[. 2. Déterminer la limite de f en +∞. 3. Montrer que (C ) admet une asymptote oblique dont on précisera une équa-

tion.

Partie B

On considère la suite (un )n>1 à termes positifs définie par :

u1 = 0et, pour tout entier naturelnnon nul,un+1 = f (un )=un +e−un .

1. Démontrer que, pour tout réel x positif, ln(1+ x)6 x. On pourra étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= x− ln(1+ x).

2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n+1)6 ln(n)+ 1

n .

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f [ln(n)]= ln(n)+ 1

n .

4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n)6 un .

5. En déduire la limite de la suite (un )n>1·

Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n supérieur ou égal

à 2, un 6 1+ 1

2 +·· ·+

1

n−1 .

6. a. Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : 1

k 6

k

k−1

1

x dx.

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :

un 6 1+ ln(n−1). 7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a montré que

ln(n)6 un 6 1+ ln(n−1).

Démontrer que la suite

( un

ln(n)

)

n>2 converge vers 1.

Liban 20 31 mai 2011

[ Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011\

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte

aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative,

même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (∆) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z− i| = |z+2i|. Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit z = 3+ i p 3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si π

2 est un argument de z alors |i+ z| = 1+|z|.

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2+ 1

z2 est un nombre réel.

Exercice 2 5 points

Enseignement obligatoire

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :

• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; • s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.

On note, pour tout entier naturel n non nul : • Gn l’évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ; • pn la probabilité de l’évènement Gn ·

On a donc p1 = 0,1.

1. Montrer que p2 = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la

première.

3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 1

5 pn +

3

5 .

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

pn = 3

4 − 13

4

( 1

5

)n .

6. Déterminer la limite de la suite ( pn

) quand n tend vers +∞.

7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3

4 −pn < 10−7 ?

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Exercice 2 5 points

Enseignement de spécialité

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est unnombrepremier et a est un entier naturel nondivisible par p, alors ap−1 ≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un ) d’entiers naturels définie par :

u0 = 1et, pour tout entier natureln,un+1 = 10un +21.

1. Calculer u1, u2 et u3.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

3un = 10n+1−7. b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un ·

3. Montrer que u2 est un nombre premier.

On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un ) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

5. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4− (−1)n (modulo11). b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. a. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17). b. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants : • Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].

Pour tous réels α et β, ∫b

a [αu(x)+βv(x)]dx =α

b

a u(x)dx+β

b

a v(x)dx.

• Si u désigne une fonction continue sur un intervalle [a ; b] etU une primitive de u sur [a ; b]

alors ∫b

a u(x)dx = [U (x)]ba =U (b)−U (a).

En utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b], démontrer la formule d’intégration par parties.

Partie B

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= x2 lnx.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) est donnée en annexe.

1. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Étudier les variations de f sur ]0 ; +∞[.

Polynésie 22 10 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer qu’il existe une tangente unique à la courbe (C ) passant par O. Préciser une équation de cette tangente.

3. On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe (Ox) de la région

plane délimitée par la courbe (C ), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1

e et x = 1. On note V une mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce so- lide et on admet que :

V = ∫1

1 e

π[ f (x)]2 dx.

a. Montrer qu’une primitive de la fonction x 7−→ x4 lnx sur ]0 ; +∞[ est la

fonction x 7−→ x5

25 (5lnx−1).

b. En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, que : V = π

125

( 2−

37

e5

) .

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats.

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

A B

CD

E F

GH

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) .

On note K le barycentre des points pondérés (D, 1) et (F, 2).

Partie A

1. Montrer que le point K a pour coordonnées

( 2

3 ; 2

3 ; 2

3

) .

2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.

3. Calculer la distance EK.

Partie B

Soit M un point du segment [HG]. On notem = HM (m est donc un réel appartenant à [0 ; 1]).

Polynésie 23 10 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. Montrer que, pour tout réelm appartenant à l’intervalle [0 ; 1], le volume du

tétraèdre EMFD, en unités de volume, est égal à 1

6 .

2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est

(−1+m)x+ y mz = 0. 3. On note dm la distance du point E au plan (MFD).

a. Montrer que, pour tout réelm appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

dm = 1

p 2m2−2m+2

.

b. Déterminer la position deM sur le segment [HG] pour laquelle la distance dm est maximale.

c. En déduire que lorsque la distance dm est maximale, le point K est le pro- jeté orthogonal de E sur le plan (MFD).

Polynésie 24 10 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

ANNEXE

Exercice 3

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

1

1 2−1 x

y

O

Polynésie 25 10 juin 2011

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2011\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra

2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d’affixe i .

1. On considère les points A, B ,C , H d’affixes respectives a =−3− i, b =−2+4i, c = 3− i et h =−2. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC . Préciser le rayon du cercle C .

3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe bc ha

. En déduire que

les droites (AH) et (BC ) sont perpendiculaires.

Dans la suite de l’exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC , c’est- à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC .

4. OnnoteG le centre de gravité du triangle ABC . Déterminer l’affixe g dupoint G. PlacerG sur la figure.

5. Montrer que le centre de gravitéG, le centre du cercle circonscrit J et l’ortho- centre H du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure.

6. On note A′ le milieu de [BC ] et K celui de [AH ]. Le point A′ a pour affixe

a′ = 1

2 + 3

2 i.

a. Déterminer l’affixe du point K .

b. Démontrer que le quadrilatère KHAJ est un parallélogramme.

EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= xex −1.

a. Déterminer la limite de la fonction f en+∞ et étudier le sens de variation de f .

b. Démontrer que l’équation f (x)= 0 admet une unique solution α sur l’in- tervalle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près.

c. Déterminer le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

2. On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et Γ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d’un repère orthonormé( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Les courbes C et Γ sont donnée en annexe 1.

Soit x un nombre réel strictement positif. On noteM le point deC d’abscisse x et N le point de Γ d’abscisse x.

On rappelle que pour tout réel x strictement positif, ex > ln(x). a. Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x = α. Donner une

valeur approchée de cette longueur minimale à 10−2 près.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

b. En utilisant la question 1., montrer que eα = 1

α . En déduire que la tan-

gente à C au point d’abscisse α et la tangente à Γ au point d’abscisse α sont parallèles.

3. a. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x)= x ln(x)− x. Montrer que la fonction h est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +∞[.

b. Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−2 près, de l’aire (exprimée en unités d’aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annexe 1.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indé-

pendantes. Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspon-

dant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d’atteindre la cible est de 0,3. On effectue n tirs supposés indépendants. On désigne par pn la probabi- lité d’atteindre la cible aumoins une fois sur ces n tirs.

La valeur minimale de n pour que pn soit supérieure ou égale à 0,9 est :

a. 6 b. 7 c. 10 d. 12

2. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d’un moteur Diesel jusqu’à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonction- nement est modélisée par une variable aléatoire X définie sur [0 ; +∞[ et suivant la loi exponentielle de paramètre λ= 0,0002. Ainsi, la probabilité que

le moteur tombe en panne avant l’instant t est p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λxdx.

La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 10000 heures est, au millième près :

a. 0,271 b. 0,135 c. 0,865 d. 0,729

3. Un joueur dispose d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s’il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s’il obtient 1.

Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants.

La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d’une partie est :

a. 125

3888 b.

625

648 c.

25

7776 d.

3

5 4. Soient A etB deux évènements indépendants d’unemême universΩ tels que

p(A)= 0,3 et p(AB)= 0,65. La probabilité de l’évènement B est :

a. 0,5 b. 0,35 c. 0,46 d. 0,7

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

1. On considère l’équation (E) : 11x−7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs. a. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs

(u ; v) tels que 11u−7v = 1. Trouver un tel couple. b. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

Antilles-Guyane 27 20 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

c. Résoudre l’équation (E).

d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) , on considère

la droiteD d’équation cartésienne 11x−7y−5 = 0. On note C l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que 06 x6 50 et 06 y 6 50.

Déterminer le nombre de points de la droiteD appartenant à l’ensemble C et dont les coordonnées sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) : 11x2−7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. a. Démontrer que si le couple (x ; y) est solutionde (F), alors x2 ≡ 2y2 (mod 5). b. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux

suivants :

Modulo 5, x est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x2 est congru à

Modulo 5, y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 2y2 est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2

et de 2y2 par 5 ?

c. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la droite D passant par le point A de coordonnées (3 ; −4 ; 1) et dont un vecteur directeur est

−→ u (1 ; −3 ; 1).

On considère la droiteD ′ dont une représentation paramétrique est :

  

x = −1− t y = 2+ t (t ∈R) z = 1− t

On admet qu’il existe une unique droite ∆ perpendiculaire aux droites D et D ′. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite ∆ et de calculer la distance entre les droites D et D ′, distance qui sera définie à la question 5. On note H le point d’intersection des droites D et ∆, H ′ le point d’intersection des droites D ′ et ∆. On appelle P le plan contenant la droite D et la droite ∆. On admet que le plan P et la droiteD ′ sont sécants en H ′. Une figure est donnée en annexe 2.

1. On considère le vecteur −→ w de coordonnées (1 ; 0 ; −1). Démontrer que−→w est

une vecteur directeur de la droite ∆.

2. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).

a. Démontrer que le vecteur −→ n est normal au plan P .

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est 3x+2y +3z−4 = 0. 3. a. Démontrer que le point H ′ a pour coordonnées (−1 ; 2 ; 1).

b. En déduire une représentation paramétrique de la droite∆.

4. a. Déterminer les coordonnées du point H .

Antilles-Guyane 28 20 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

b. Calculer la longueur HH ′.

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M apparte- nant àD et tout point M ′ appartenant à D ′, MM ′ >HH ′.

a. Montrer que −−−−→ MM ′ peut s’écrire comme la sommede

−−−→ HH ′ et d’un vecteur

orthogonal à −−−→ HH ′ .

b. En déduire que ∣∣∣ ∣∣∣ −−−−→ MM

∣∣∣ ∣∣∣ 2 >

∣∣∣ ∣∣∣ −−−→ HH

∣∣∣ ∣∣∣ 2 et conclure.

La longueur HH réalise donc le minimum des distances entre une point de D et une point de D . On l’appelle distance entre les droites D et D ′.

Annexe 1, exercice 2

1

2

3

4

5

6

7

−1 1 2 3 4 5−1

C

Γ ×

M

×N

Annexe 2, exercice 4 (non spé)

D

H

H

D

×

A

P

Antilles-Guyane 29 20 juin 2011

[ Baccalauréat S Asie 21 juin 2011\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Étude d’une fonction f On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx

x .

On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. OnnoteC f la courbe représentative de la fonction f dans le repère

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

La courbe C f est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f .

c. En déduire les variations de la fonction f .

2. Étude d’une fonction g

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g (x)= (lnx)2

x .

OnnoteCg la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

a. Déterminer la limite de g en 0, puis en +∞.

Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation : (lnx)2

x = 4

( ln

p x

p x

)2 .

b. Calculer la dérivée g ′ de la fonction g .

c. Dresser le tableau de variation de la fonction g .

3. a. Démontrer que les courbes C f et Cg possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées.

b. Étudier la position relative des courbes C f et Cg .

c. Tracer sur le graphique de l’annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe C , g .

4. On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan dé- limitée, d’une part par les courbes C f et Cg , et d’autre part par les droites d’équations respectives x = 1 et x = e. En exprimant l’aire A comme différence de deux aires que l’on précisera, calculer l’aire A .

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2.

1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle π

2 .En dé-

duire que le point J a pour affixe −7+2i. On admettra que l’affixe du point K est - 2 - 6i.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur.

3. a. Calculer les affixes des points S et T.

b. Déterminer l’affixe du point U.

c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.

4. Déterminer une mesure de l’angle (−→ JC ,

−−→ AU

) .

5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d’affixe v =−0,752+0,864i. a. Établir que les points A, V et U sont alignés.

b. Que représente la droite (AU) pour l’angle BVC ?

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1. On note I le point d’inter-

section de la droite (EC) et du plan (AFH).

1. On se place dans le repère ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) .

Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées :

A(1 ; 0 ; 0)B(1 ; 1 ; 0)C(0 ; 1 ; 0)D(0 ;0 ; 0)E(1 ;0 ; 1)F(1 ; 1 ; 1)C(0 ; 1 ; 1)H(0 ;0 ; 1)

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).

c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH).

d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à

p 3

3 .

e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AFH?

2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Définitions :

• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; • il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ; • il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2. Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Asie 31 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponen- tielle de paramètre λ (λ strictement positif), c’est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année t (t positif) s’exprime par :

F (t)= p(X 6 t)= p([0 ; t ])= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Restitution organisée de connaissances

Pré-requis :

a. pB (A)= p(AB) p(B)

(où A et B sont deux évènements tels que p(B) 6= 0) ;

b. p ( A ) = 1−p(A) (où A est un évènement) ;

c. p([a ; b])= F (b)−F (a) (où a et b sont des nombres réels positifs tels que a6 b).

Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on a :

p[t ; +∞]([t ; t + s])= F (t + s)−F (t)

1−F (t) ,

et que p[t ; +∞]([t ; t + s]) est indépendant du nombre réel t .

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2. 2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours

des deux premières années est égale à e−0,4.

3. Sachant que le capteur n’est pas tombé en panne au cours des deux pre- mières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu’il soit en- core en état de marche au bout de six ans ?

4. On considère un lot de 10 capteurs, fonctionnant de manière indépendante.

Dans cette question, les probabilités seront arrondies à la sixième décimale.

a. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux cap- teurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années.

b. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait aumoins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années.

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.

Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposition).

2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.

Partie B

Dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les surfaces Γ etC d’équa-

tions respectives : Γ : z = xy et C : x2+ z2 = 1.

Asie 32 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. Donner la nature de la surfaceC et déterminer ses éléments caractéristiques.

2. Points d’intersection à coordonnées entières des surfaces Γ et C

a. Démontrer que les coordonnées (x ; y ; z) des points d’intersection de Γ et deC sont telles que :

x2 ( 1+ y2

) = 1.

b. En déduire que Γ et C ont deux points d’intersection dont les coordon- nées sont des nombres entiers relatifs.

3. Points d’intersection à coordonnées entières de Γ et d’un plan

Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d’équa- tion z =n4+4. a. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P1 dont

les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Pour la suite de l’exercice, on suppose n> 2.

b. Vérifier que : ( n2−2n+2

) ( n2+2n+2

) =n4+4.

c. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n > 2, n4+4 n’est pas premier.

d. Endéduire que le nombre de points d’intersection deΓ et du planPn dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.

e. Déterminer les points d’intersection de Γ et du plan P5 dont les coordon- nées sont des nombres entiers relatifs.

Asie 33 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Annexe 1 (exercice 1)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

−0,1

−0,2

−0,3

−0,4

5 10 15 20

C f

O

Asie 34 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Annexe 2 (exercice 2)

A

B

C

I

J

K L

M

N

S

T

U

b

b

b

Asie 35 21 juin 2011

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Centres étrangers 16 juin 2011\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On considère une droite D munie d’un repère ( O ;

−→ ı ) .

Soit (An) la suite de points de la droite D ainsi définie : • A0 est le point O ; • A1 est le point d’abscisse 1 ; • pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [AnAn+1].

1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6.

On prendra 10 cm comme unité graphique.

b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An .

Calculer a2, a3, a4 a5 et a6.

c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : an+2 = an +an+1

2 .

2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, an+1 =− 1

2 an +1.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par

vn = an − 2

3 .

Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 1

2 .

4. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse,

en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i, b = 3i, c = (p

3+ 1

2

) + i

(p 3

2 +2

) .

Affirmation

Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

la transformation f dont une écriture complexe est : z ′ = (

2i p 3+ i

) z.

Affirmation

La transformation f est la rotation de centre O et d’angle π

3 .

Question 3

On considère le nombre complexe a = ( − p 3+ i

)2011 .

Affirmation

Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évènement (X 6 t) s’exprime par P (X 6 t)= 1−e−λt . Affirmation

Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation

La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse,

en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification complète sera valorisée.

Question 1 On considère l’équation (E) : 2x+11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation

Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k−2 ; −4k+1), avec k appar- tenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

Question 2 On considère l’entier N = 112011. Affirmation

L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 3i ; c = ( 1−2

p 2 ) + i

( 1−

p 2 ) .

Affirmation

Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport p 2

et d’angle − π

2 .

Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 2− i.

Soit f la similitude d’écriture complexe : z ′ = ( − 3

5 − 4

5 i

) z+

( 12

5 + 6

5 i

) .

Affirmation

La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S dont une équation est : z = 4xy . Affirmation

Centres étrangers 37 16 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

La section de la surfaceS par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit M un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l’exercice, on se place dans le

repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

A

B C

D

E

F G

H

M

I

J

1. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.

b. Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point M soient (1− t ; 1− t ; t).

2. a. Démontrer que les points C et E appartiennent au planmédiateur du seg- ment [IJ].

b. En déduire que le triangleMIJ est un triangle isocèle enM .

c. Exprimer IM2 en fonction de t .

3. Le but de cette question est de déterminer la position du point M sur le seg- ment [CE] pour laquelle la mesure de l’angle ÎMJ est maximale.

On désigne par θ la mesure en radian de l’angle ÎMJ.

a. En admettant que la mesure θ appartient à l’intervalle [0 ; π], démontrer

que la mesure θ est maximale lorsque sin

( θ

2

) est maximal.

b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est mini- male.

c. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f (t)= 3t2− t + 1

4 .

d. En déduire qu’il existe une unique positionM0 du pointM sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle ÎMJ soit maximale.

e. Démontrer que le point M0 est le projeté orthogonal du point I sur le seg- ment [EC].

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble R des nombres réels par :

f (x)= xe1−x et g (x)= x2e1−x .

Les courbes représentatives des fonctions f et g dansun repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ )

sont respectivement notées C et C ′. leur tracé est donné en annexe.

Centres étrangers 38 16 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. Étude des fonctions f et g

a. Déterminer les limites des fonctions f et g en −∞. b. Justifier le fait que fonctions f et g ont pour limite 0 en +∞. c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser

leurs tableaux de variations respectifs.

2. Calcul d’intégrales

Pour tout entier naturel n, on définit l’intégrale In par :

I0 = ∫1

0 e1−x dx et , si n> 1, In =

∫1

0 xne1−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de I0.

b. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier na- turel n :

In+1 =−1+ (n+1)In .

c. En déduire la valeur exacte de I1, puis celle de I2.

3. Calcul d’une aire plane

a. Étudier la position relative des courbes C et C ′.

b. On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’unepart entre les courbesC etC ′, d’autre part entre les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1. En exprimant A comme différence de deux aires que l’on précisera, dé- montrer l’égalité :

A = 3−e.

4. Étude de l’égalité de deux aires

Soit a un réel strictement supérieur à 1.

On désigne par S(a) l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan com- prise d’unepart entre les courbesC etC ′, d’autre part entre les droites d’équa- tions respectives x = 1 et x = a. On admet que S(a) s’exprime par :

S(a)= 3−e1−a ( a2+a+1

) .

L’objectif de cette question est de prouver qu’il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S(a) sont égales.

a. Démontrer que l’équation S(a)=A est équivalente à l’équation : ea = a2+a+1.

b. Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Conclure, quant à l’existence et l’unicité du réel a, solution du problème posé.

Centres étrangers 39 16 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Annexe

(Courbes de l’exercice 4)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

4

4O

C

C ′

Centres étrangers 40 16 juin 2011

[ Baccalauréat S La Réunion 22 juin 2011\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

L’espace est rapporté au repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On désigne par P le plan d’équation 2x +3y z +4 = 0 et, par A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 2 ; −4) et (−3 ; 4 ; 1).

1. Soit D la droite ayant pour représentation paramétrique :  

x = −8+2t y = 7− t z = 6+ t

t ∈R.

• Le plan P et la droite D sont sécants. • Le plan P et la droite D n’ont aucun point en commun. • La droite D est incluse dans le plan P . • Aucune des trois affirmations précédentes n’est vraie.

2. On note P ′ le plan d’équation x+4y −3z+4 = 0. • Les plans P et P ′ sont parallèles et distincts. • Les plans P et P ′ sont confondus. • Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur

−−→ı +−→+2 −→ k .

• Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur −−→ı +−→+

−→ k .

3. L’ensemble des points M de l’espace qui sont équidistants des points A et B est :

• une droite passant par le point C de coordonnées ( −1 ; 3 ; −

1

2

) ,

• une sphère de rayon 3 p 5

2 .

• le plan d’équation −4x+2y +5z− 5

2 = 0,

• le plan d’équation −4x+2y +5z+ 5

2 = 0.

4. L’ensemble des points M de l’espace tels que ∥∥∥−−→MA −3−−→MB

∥∥∥= 5 est :

• une sphère dont le centre a pour coordonnées ( −5 ; 5 ;

7

2

) ,

• une sphère dont le centre a pour coordonnées ( 5 ; −5 ; −

7

2

) ,

• le plan d’équation −4x+2y +5z−5 = 0,

• le plan d’équation −4x+2y +5z+ 5

3 = 0.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Les trois questions peuvent être traitées de façon indépendante

Un candidat participe à un jeu télévisé qui comporte deux épreuves. La première consiste à répondre à une question tirée au hasard parmi celles que l’assistante a prélevées dans une urne.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Dans la seconde, il doit répondre à une série de 10 questions sur un thème qu’il choisit.

1. L’urne contient dix bulletins indiscernables au toucher comportant chacun une question.

Toutes les questions sont différentes, quatre portent sur l’histoire, quatre portent sur la littérature et deux sur le sport.

En début d’émission, l’assistante tire au hasard et simultanément 4 bulletins de l’urne.

OnnoteA l’évènement « les quatre questions portent sur l’histoire » et B l’évè- nement « l’une au moins des quatre questions porte sur le sport ».

Déterminer la probabilité des évènements A et B.

2. L’animateur annonce les thèmes sur lesquels portent les questions des quatre bulletins choisis par l’assistante. Il y a une question d’histoire, deux de litté- rature et une sur le sport.

Le candidat tire au hasard l’un de ces quatre bulletins.

On admet que la probabilité que sa réponse soit correcte est 0,7 s’il s’agit d’une question d’histoire, 0,6 s’il s’agit d’une question de littérature et 0,5 pour une question sur le sport.

On considère les évènements suivants :

H : « la question posée au candidat porte sur l’histoire » L : « la question posée au candidat porte sur la littérature » S : « la question posée au candidat porte sur le sport » C : « le candidat répond correctement à la question posée »

a. Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à cette pre- mière épreuve.

b. Calculer la probabilité de l’évènement C.

c. Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité que la question posée ait porté sur le sport ?

3. Le candidat a réussi cette première épreuve et choisit l’histoire comme thème pour la seconde épreuve. Les dix questions qu’on lui pose sont indépen- dantes et on suppose toujours que la probabilité qu’il réponde correctement à chaque question est égale à 0,7.

On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de bonnes réponses données par le candidat.

a. Soit k un entier compris entre 0 et 10.

Quelle est l’expression de la probabilité de l’évènement {X = k} en fonc- tion de k ? On justifiera la réponse.

b. Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins neuf bonnes réponses. On arrondira le résultat à 10−2.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= 1− 4ex

e2x +1 .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe C . Elle coupe l’axe des abscisses aux points A et B.

La Réunion 42 22 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

−→ ı

−→

AB O

C

Partie A

L’objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction f que l’on peut conjecturer à partir du graphique.

1. La fonction f semble croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

a. Vérifier que pour tout réel x, f ′(x)= 4ex

( e2x −1

) ( e2x +1

)2 .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. La droite d’équation x = 0 semble être un axe de symétrie de la courbe C .

Démontrer que cette conjecture est vraie.

3. On désigne par a l’abscisse du point A et on pose c = ea . a. Démontrer que le réel c est une solution de l’équation x2−4x+1= 0.

En déduire la valeur exacte de a.

b. Donner le signe de f (x) selon les valeurs de x.

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier quelques propriétés de la fonction F définie sur R par :

F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

1. Déterminer les variations de la fonction F sur R.

2. Interpréter géométriquement le réel F (a). En déduire que −a6 F (a)6 0. 3. On cherche la limite éventuelle de F en +∞.

a. Démontrer que pour tout réel positif t , f (t)> 1−4e−t . b. En déduire que pour tout réel positif x, F (x)> x−4 et déterminer la limite

de F (x) lorsque x tend vers +∞. 4. Dans cette question. toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète,

sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la limite de F (x) lorsque x tend vers −∞.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient A,B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle que :

* (−→ u ,

−−→ AB

) = arg(ba)+2k ∈Z.

La Réunion 43 22 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

* L’image du point B par la rotation de centre A et d’angle θ est le pointC défini par :

AC = AB et siA 6= B, (−−→ AB ,

−−→ AC

) = θ+2k ∈Z.

Exprimer l’affixe c du point C en fonction de a, b et θ.

Partie B

1. Résoudre dans C l’équation 2z2−6z+9= 0. Dans la suite de l’exercice, on désigne par P, Q et R les points d’affixes respec- tives

zP = 3

2 (1+ i), zQ =

3

2 (1− i) et zR =−2i

p 3.

2. Placer les points P, Q, R sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure de la résolution de l’exercice.

3. On note S le symétrique du point R par rapport au point Q.

Vérifier que l’affixe zS du point S est 3+ i ( 2 p 3−3

) .

4. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer les affixes zA et zC des points A etC, images respectives des points R et S par la rotation r .

5. On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la transla-

tion de vecteur 3 −→ v .

Calculer les affixes zB et zD des points B et D.

6. a. Démontrer que zC− zP zB− zP

= i.

b. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient A,B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle que :

* (−→ u ,

−−→ AB

) = arg(ba)+2n ∈Z.

* L’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport k(k > 0) et d’angle θ est le point C défini par :

AC = kAB et si A 6=B, (−−→ AB ,

−−→ AC

) = θ+2n ∈Z.

Exprimer l’affixe c du point C en fonction de a, b, θ et k.

Partie B

On considère l’équation (E) : 3x−2y = 1.

1. a. Montrer que le couple (−1 ; −2) est une solution de (E). b. Déterminer tous les couples (x ; y) d’entiers relatifs vérifiant l’équation

(E).

2. Soient d et d ′ les droites d’équations respectives y = 2x+4 et 3x−2y = 1.

La Réunion 44 22 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

a. Vérifier que pour tout entier relatif k, le point Ak de coordonnées (k − 3 ; 2k−2) appartient à la droite d . On admettra que ce sont les seuls points de d à coordonnées entières.

b. Montrer que les seuls points de d ′ à coordonnées entières sont les points Bk ′ de coordonnées (2k

′−1 ; 3k ′−2) où k ′ ∈Z. 3. a. Existe-t-il deux entiers relatifs k et k ′ tels que Ak =Bk ′ ?

b. Déterminer les entiers relatifs k et k ′ tels que le segment [AkBk ′ ] soit pa- rallèle à l’axe des abscisses.

c. Trouver l’entier q tel que −−−−−−→ A3qB2q = 4

−→ u .

4. Soit Ω un point quelconque du plan dont l’affixe est notée ω. On note H le milieu du segment [A6B4].

On désigne par f la similitude directe de centre Ω, de rapport 1

2 et d’angle

π

2 .

a. Donner l’écriture complexe de la similitude f .

b. Déterminer l’affixe du point Ω pour que l’image du point H soit l’origine O du repère.

La Réunion 45 22 juin 2011

[ Baccalauréat SMétropole 21 juin 2011\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4. Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : — La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99

(sensibilité du test). — La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de

0,97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T .

1. a. Préciser les valeurs des probabilités P (V ), PV (T ), PV (T ).

Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

b. En déduire la probabilité de l’évènement V T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.

3. a. Justifier par un calcul la phrase :

« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la per- sonne soit contaminée ».

b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’il y ait aumoins deuxpersonnes contaminées parmi les 10.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat

indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse

exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est en-

levé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectives zA = 1, zB = i, zC =−1, zD = −i.

1. L’image E du point D par la rotation de centre A et d’angle π

3 a pour affixe :

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

z = 1+

p 3

2 (1+ i),

z = 1+

p 3

2 (1− i),

z = 1−

p 3

2 (1− i),

z = 1−

p 3

2 (1+ i),

2. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z+ i| = |z−1| est : • la médiatrice du segment [BC], • le milieu du segment [BC], • le cercle de centre O et de rayon 1, • la médiatrice du segment [AD].

3. L’ensemble des points d’affixe z telle que z+ i z+1

soit un imaginaire pur est :

• la droite (CD) privée du point C, • le cercle de diamètre [CD] privé du point C, • le cercle de diamètre [BD] privé du point C, • la médiatrice du segment [AB].

4. L’ensemble des points d’affixe z telle que arg(zi )=− π

2 +2k ∈Z est :

• le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, • la droite (BD), • la demi-droite ]BD) d’origine B passant par D privée de B, • le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.

EXERCICE 3 7 points Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par :

fn (x)= xne−x .

On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) du plan.

PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck k est un entier natu- rel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C3·

La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées

( 4

5 ; 0

) .

x

y

O −→ ı

−→

A

Ck

C3

Tk

Métropole 47 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. a. Déterminer les limites de la fonction f1 en −∞ et en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations

de f1.

c. À l’aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.

2. a. Démontrer que pour n > 1, toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.

b. Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x,

f n (x)= xn−1(nx)e−x .

3. Sur le graphique, la fonction f3 semble admettre un maximum atteint pour x = 3. Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

4. a. Démontrer que la droite Tk coupe l’axe des abscisses au point de coor-

données

( k−2 k−1

; 0

) .

b. En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entier k.

PARTIE B

On désigne par (In ) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par

In = ∫1

0 xne−x dx.

1. Calculer I1.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C1,C2,

C3, C10, C20, C30 comprises dans la bande définie par 06 x 6 1.

0,5

1 x

y

O

C1 C2 C3 C10

C20

C30

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en décri- vant sa démarche.

b. Démontrer cette conjecture.

c. En déduire que la suite (In ) est convergente.

d. Déterminer lim n→+∞

(In ).

Métropole 48 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A – Restitution organisée de connaissances

On désigne par P le plan d’équation ax +by + cz +d = 0 et par M0 le point de co- ordonnées

( x0 ; y0 ; z0

) . On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan

P .

On suppose connue la propriété suivante :

Propriété : Le vecteur −→ n = a

−→ ı +b

−→ +c

−→ k est un vecteur normal au plan P .

Le but de cette partie est de démontrer que la distance d (M0,P ) du point M0 au plan P , c’est-à-dire la distance M0H , est telle que

d (M0,P )= ∣∣ax0+by0+cz0+d

∣∣ p a2+b2+c2

.

1. Justifier que ∣∣∣−→n ·−−−−→M0H

∣∣∣=M0H p a2+b2+c2.

2. Démontrer que −→ n ·−−−−→M0H =−ax0−by0−cz0−d .

3. Conclure.

Partie B

Ondésignepar A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6), (−7 ; 0 ; 4).

1. a. Démontrer que les points A, B, C définissent un plan P et que ce plan a pour équation cartésienne x+2y z−1= 0.

b. Déterminer la distance d du point F au plan P .

2. Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode.

On appelle ∆ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P .

c. Retrouver le résultat de la question 1. b.

3. Soit S la sphère de centre F et de rayon 6.

a. Justifier que le point B appartient à la sphère S .

b. Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle C , intersection de la sphère S et du plan P .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs vérifiant au+bv = 1.

Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Métropole 49 21 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.

2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le sys- tème :

{ n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5]

1. Recherche d’un élément de S .

On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u+5v = 1. a. Justifier l’existence d’un tel couple (u ; v).

b. On pose n0 = 3×17u+9×5v . Démontrer que n0 appartient à S .

c. Donner un exemple d’entier n0 appartenant à S .

2. Caractérisation des éléments de S .

a. Soit n un entier relatif appartenant à S .

Démontrer que nn0 ≡ 0 [85]. b. En déduire qu’un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut

s’écrire sous la forme n = 43+85k k est un entier relatif. 3. Application

Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?

Métropole 50 21 juin 2011

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane\ septembre 2011

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x lnx−1.

Partie A : Étude d’une fonction

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Soit f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f ′(x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note α cette solution. Déterminer un encadrement de α à la précision 10−2.

4. Déterminer le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +∞[.

5. Montrer que lnα= 1

α .

Partie B : Calcul d’une intégrale

On donne en annexe la courbe C , représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère l’intégrale suivante :

I = ∫4

α f (x)dx.

1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale

J = ∫4

α x lnx dx.

3. Montrer l’égalité : I = α2

4 + α

2 +16ln2−8.

En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur −→ n

 

1 1

−3

  est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Soit P le plan d’équation : xy + z−4= 0. a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une repré- sentation paramétrique de la droiteD.

3. On considère la sphère S de centreΩ(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1). On admet que la droiteD a pour représen- tation paramétrique :

  

x = 1+ t y = −3+2t z = t ,

t ∈R.

a. Montrer que le point I appartient à la droiteD.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droiteD coupe la sphère S en un deuxième point.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère l’ensemble P des points M(x ; y ; z) de l’espace tels que :

z = x2+ y2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. a. Montrer que l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équa- tion y = 1.

2. On considère la sphère S de centre O et de rayon p 6.

a. Donner une équation de la sphère S.

b. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’en- semble P , dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x+2y = 1 et vérifiant z6 25. a. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) :−3x+2y =

1.

b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Déterminer les points de l’ensemble P dont les coordon- nées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :

−3x+2y = 1 et z6 25.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) d’unité graphique

4 cm.

Partie A :

Antilles-Guyane 52 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On note P le point d’affixe p = − 1

2 + i

p 3

2 , Q le point d’affixe q = −

1

2 − i

p 3

2 , et K le

point d’affixe −1.

1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que |z| = |z+1|. Re- présenter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensemble D et du cercle Γ.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a,b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

On suppose que l’origine O du repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) est à la fois le centre de gravité et le

centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a. Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que ∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣ c a

∣∣∣= 1.

b. Montrer que a+b+c = 0.

c. Montrer que

∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣∣ b

a +1

∣∣∣∣= 1.

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

a = p ou

b

a = q .

2. Dans cette question, on admet que b

a = p et

c

a = q .

a. Montrer que q−1 p−1

= ei π 3 .

b. Montrer que q−1 p−1

= ca ba

.

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A :

Pour un premier jeu : • si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante

est égale à 2

5 .

• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à

4

5 .

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note pn la probabilité de l’évènement Gn . L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

Antilles-Guyane 53 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Gnpn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

Gn1−pn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 1

5 pn +

1

5 .

3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn − 1

4 .

a. Montrer que (un )n∈N est une suite géométrique de raison 1

5 et de premier

terme u1 à préciser.

b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = 3

4 × ( 1

5

)n−1 + 1

4 .

c. Déterminer la limite de pn .

Partie B :

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1

4 .

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.

b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le ré- sultat sera arrondi à 10−2 près.

c. Déterminer l’espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30 ( pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8(.

a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40( ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près.

Antilles-Guyane 54 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

Commun à tous les candidats

À rendre avec la copie

Exercice 1

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2 x

y

O

C

Antilles-Guyane 55 septembre 2011

[ Baccalauréat SMétropole–La Réunion\ 16 septembre 2011

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Unmagasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12. Tous les résultats seront arrondis à 10−3

Partie A

Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre demoteurs vendus dans cemagasin est suffisamment im- portant pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utilisation ?

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?

Partie B

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre λ λ, est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout réel positif t , p(Y 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10−3.

1. Exprimer p(Y 6 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,128 . 2. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ?

3. Quelle est la probabilité qu’unmoteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?

4. Onadmet que la durée de viemoyennedm de cesmoteurs est égale à lim t→+∞

F (t)

F est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par F (t)= ∫t

0 λxe−λx dx.

a. Calculer F (t) en fonction de t .

b. En déduire la valeur de dm . On arrondira à 10−1.

EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats

Partie A - Étude du signe d’une fonction

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= x2+4lnx.

1. Déterminer le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites de f en 0 et en +∞.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution α et une seule dans l’intervalle ]0 ; +∞[.

3. En déduire le signe de f (x) selon les valeurs du réel strictement positif x.

Partie B - Une valeur approchée du réelα défini dans la partie A

Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative (C ) de la fonction g définie sur R par :

g (x)= e− 1 4 x

2

On définit la suite (un ) par :

{ u0 = 0,5 un+1 = g (un ) pour tout n ∈N.

1. Vérifier que α est l’unique solution de l’équation g (x)= x. 2. Au moyen de la courbe (C ) et de la droite d’équation y = x, représenter les

termes u1, u2 et u3 de la suite (un ) sur l’axe des abscisses.

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un ) ?

3. On admet que pour tout entier naturel n, u2n 6α6 u2n+1.

En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier n pour lequel les trois premières décimales de un et un+1 sont identiques.

En déduire que 0,838 est une valeur approchée de α à 10−3 près.

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6−0,2 O

(C )

Partie C - Un problème de distance

On appelle (Γ) la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction ϕ définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

ϕ(x)= 2lnx.

L’objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe (Γ), il y en a un et un seul qui est plus proche de l’origine O que tous les autres.

1. Soient M un point de la courbe (Γ) et x son abscisse. Exprimer OM en fonc- tion de x.

Métropole–La Réunion 57 16 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. a. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

h(x)= x2+4(lnx)2.

Étudier les variations de la fonction h. On pourra utiliser la partie A.

b. En déduire qu’il existe un unique point A de la courbe (Γ) tel que pour tout point M de (Γ), distinct de A, on ait OM >OA.

3. Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente TA à la courbe (Γ) au point A.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur −→ n = a−→ı + b−→+ c

−→ k soit

différent du vecteur nul. On appelle P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0. Démontrer que le vecteur

−→ n est un vecteur normal au plan P , c’est-à-dire que le

vecteur −→ n est orthogonal à tout vecteur

−−→ AB où A et B sont deux points quelconques

du plan P .

Partie B - Questionnaire à choixmultiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat

portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la

réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.

Il est attribué 1 point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de

réponse fausse.

On désigne par P le plan d’équation cartésienne 2xy+3z = 0 et par A et B les deux points du plan P de coordonnées respectives (1 ; 2 ; 0) et (0 ; 3 ; 1).

1. Soient C, D, E les points de coordonnées respectives (1 ; 1 ; −1), (−1 ; 4 ; 2), (1 ; 5 ; 1).

a. Les points A, B, C définissent le plan P .

b. Les points A, B, D définissent le plan P .

c. Les points A, B, E définissent le plan P .

2. LadroiteD est définie par la représentationparamétrique :

  

x = 1− t y = t , z = 2+ t

t

R.

a. La droiteD est perpendiculaire au plan P .

b. La droiteD est strictement parallèle au plan P .

c. La droiteD est incluse dans le plan P .

3. Soit S la sphère de centre Ω, de coordonnées (2 ; 5 ; 1), et de rayon 1

2 . L’en-

semble des points communs à la sphère S et au plan P est :

a. vide,

b. constitué d’un seul point,

c. un cercle.

Métropole–La Réunion 58 16 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A le point d’affixe i et par f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z, distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z− i z+ i

.

1. Calculer l’affixe du point B′, image du point B d’affixe 2− i par l’application f .

Placer les points B et B′ sur une figure que l’on fera sur la copie.

2. Démontrer que l’application f n’admet pas de point invariant. On rappelle qu’un point invariant est un point confondu avec son image.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z− i= z+ i. b. Démontrer que OM ′ = 1 et interpréter géométriquement ce résultat. c. Démontrer que pour tout point M distinct de A,

(−→ u ;

−−−→ OM

) = 2

(−→ u ;

−−→ AM

) +2k est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l’image M ′ d’un point quel- conque M distinct de A.

4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le

vecteur −→ w d’affixe ei

π 6 .

a. Dessiner la droite (d).

b. Déterminer l’image par l’application f de la droite (d) privée du point A.

EXERCICE 4 5 points Enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (6 ; 1). Pour tout point M de coordonnées (x ; y), on note M ′ l’image du point M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et

( x′ ; y

) ses coordonnées.

1. a. Justifier l’existence de deux nombres complexes a et b tels que, pour tout point M d’affixe z, l’affixe z ′ du point M ′ est donnée par

z ′ = az+b.

b. En utilisant les points A et B, démontrer que

{ 1 = a+b 6+ i = a(6− i)+b

c. En déduire que, pour tout nombre complexe z :

z ′ = 1

13 (12+5i)z+

1

13 (1−5i).

d. Établir que, pour tout point M de coordonnées (x ; y), les coordonnées( x′ ; y

) du point M ′ sont telles que :

x′ = 1

13 (12x+5y +1) et y ′ =

1

13 (5x−12y −5).

2. On désigne par E l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers relatifs et tels que le point M ′ associé appartienne à l’axe des abs- cisses.

Métropole–La Réunion 59 16 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Justifier que M(x ; y) appartient à E si et seulement si 5(x−1)= 12y . b. En déduire que E est l’ensemble des points de coordonnées (1+12k ; 5k)

k est un entier relatif.

3. Dans cette question, on suppose que les coordonnées de M sont des entiers relatifs et que l’abscisse deM ′ est un entier relatif.

a. Démontrer que x ≡ 5y +1 [13]. b. Endéduire que 5x−12y−5 ≡ 0 [13] et que l’ordonnée deM ′ est un entier

relatif.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer les points M de la droite d’équation x = 2 tels que les coordon- nées du point M ′ soient des entiers relatifs.

On pourra montrer que l’ordonnée y d’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

Métropole–La Réunion 60 16 septembre 2011

[ Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie\ septembre 2011

EXERCICE 1 5 points

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

• « À quel niveau est votre bureau ? » • « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »

Voici les réponses : • 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau,

75 vont au 2e niveau et 100 vont au 3e niveau. • Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e

niveau, les autres vont au 1er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants :

— N1 : « La personne va au premier niveau. » — N2 : « La personne va au deuxième niveau. » — N3 : « La personne va au troisième niveau. » — E : « La personne emprunte l’escalier. »

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier

est égale à 1

12 .

b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.

c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e niveau.

3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2e niveau.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Déterminer, à 10−4 près, la probabilité que 5personnes exactement aillent au 2e niveau.

c. Enmoyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2e niveau ?

4. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais n personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement «aumoins un personne va au 2e niveau»soit supérieure ou égale à 0,99.

EXERCICE 2 4 points

Partie A

On rappelle que pour tous les points E et F de l’espace, EF2 =−→EF 2 =−→EF ·−→EF . Soient A et B deux points distincts de l’espace et I le milieu de [AB].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, on a :

MA2+MB2 = 2MI2+ 1

2 AB2.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que

MA2+MB2 = AB2.

Partie B

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives : 3x+4y + z−1 = 0 et x − 2y z + 5 = 0 et les points A et B de coordonnées respectives (−1 ; 0 ; 4) et (3 ; −4 ; 2).

1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.

On nomme (∆) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

a. Montrer que le point A appartient à la droite (∆).

b. Montrer que −→ u (1 ; −2 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (∆).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (∆).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (E) l’ensemble des points M de l’espace tels que MA2+MB2 = AB2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de (E) et de la droite (∆). On précisera les coordonnées de ces points.

EXERCICE 3 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité

graphique est 1 cm. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives zA = 2−3i, zB = i et zC = 6− i. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

Partie A

1. Calculer zB− zA zC− zA

.

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = i(z−2+3i)

z− i 1. Soit D le point d’affixe zD = 1− i. Déterminer l’affixe du point D′ image du

point D par f .

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E, dont l’image par l’applica- tion f est le point d’affixe 2i.

b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout point M distinct du point B, OM ′ = AM

BM .

4. Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B, on a l’égalité :

(−→ u ,

−−−→ OM

) = (−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 à2πprès.

Polynésie (enseignement obligatoire) 62 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5. Démontrer que si le pointM appartient à lamédiatrice du segment [AB] alors le point M ′ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point M ′ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point M appartient à la droite (AB).

EXERCICE 4 6 points

Partie A Question de cours

Soit I un intervalle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions déri- vées u′ et v ′ soient continues sur I. Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.

Partie B

On considère les fonctions f et g définies sur R par :

f (x)= (x−1)2e−x et g (x)= 3

2 (x−1)2.

On note respectivement C1 et C2 les courbes représentatives de f de g dans le plan

muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Les courbes sont tracées en annexe.

1. a. Déterminer les coordonnées des points communs à C1 et C2.

b. Donner les positions relatives de C1 et C2 sur R.

2. a. À l’aide dedeux intégrations par parties successives, déterminer ∫1

0 f (x)dx.

b. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C1,C2 et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = ∫1

0 (x−1)2ne−x dx.

1. a. Démontrer que, pour tout x de [0 ; 1] et pour tout entier natureln non nul,

06 (x−1)2ne−x 6 (x−1)2n .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a :

06 un 6 1

2n+1 .

2. En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.

Polynésie (enseignement obligatoire) 63 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

EXERCICE 4

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6−1−2

C1

C2

O

Polynésie (enseignement obligatoire) 64 septembre 2011

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ 10 novembre 2011

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2−2z+2= 0. 2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC−3 zA−3

. En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation de

centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image de C′

par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln ( 1+

1

x

) − x.

a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. c. Montrer qu’il existe un unique réel α appartenant à ]0 ; +∞[ tel que

f (α)= 0. Déterminer une valeur approchée de α à 10−3 près.

2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g (x)= ln ( 1+

1

x

) .

La suite (un )n∈N est définie par u0 = 1,5 et pour tout entier naturel n :

un+1 = g (un )= ln ( 1+

1

un

) .

On a représenté en annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe C représen- tative de la fonction g et la droite d’équation y = x. a. Construire sur l’axe des abscisses, en laissant les traits de construction

apparents, les cinq premiers termes de la suite (un )n∈N b. Le graphique permet-il d’émettre les conjectures suivantes ?

On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON.

Aucune justification n’est demandée.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

• Conjecture no 1 : « la suite (un )n∈N est monotone. » • Conjecture no 2 : « la suite (un )n∈N est minorée par 0,5. » • Conjecture no 3 : « la suite (un )n∈N converge vers 1. »

c. On admet que la suite (un )n∈N est convergente vers une limite stricte- ment positive.

Montrer que ln

( 1+

1

) = .

d. Montrer que =α.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera ap- pelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonc- tionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un réel strictement positif.

On rappelle que, pour tout réel t > 0, P (X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 102 près .

2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonction- nement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.

3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.

4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

5. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indé- pendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspon- dant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.

a. Quelle est la loi suivie par Y ?

b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures

c. Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche).

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a. Vérifier qu’une équation du plan (ABC) est : 2x+ y +2z = 4. b. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

2. a. Déterminer une équationduplanP passant par A et orthogonal à la droite (BC).

Nouvelle-Calédonie 66 10 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit ∆ la droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC?

3. a. Soit ∆′ la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu’une équation paramétrique de ∆′ dans le triangle ABC est :

  

x = t y = 4−4t , z = t

t ∈R.

b. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d’intersection des droites ∆ et ∆′. Montrer que le point H a

pour coordonnées

( 8

9 ; 4

9 ; 8

9

) .

Que représente le point H pour le triangle ABC?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S d’équation : x2+ y2− z2 = 4.

1. a. Montrer que si le point M(x ; y ; z) appartient à S alors le point

M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ? b. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On

admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans (xOz) et (yOz).

2. a. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy).

Préciser ses éléments caractéristiques.

b. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéris- tiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2.

4. On considère les points A ( 2 p 2 ; 0 ; 2

) et B

( 0 ; 2

p 2 ; −2

) .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la ré- ponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5. a. Montrer qu’un point M(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(xz)(x+ z)=−21 et y = 5. b. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont

des entiers relatifs.

Nouvelle-Calédonie 67 10 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE 1

Commun à tous les candidats

(À rendre avec la copie) Exercice 2

1

1 2

D

x

y

O

C

Nouvelle-Calédonie 68 10 novembre 2011

B accalau

réatS A .P.M

.E .P.

ANNEXE 2

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Exercice 5

N o u velle-C

aléd o n ie

69 10

n ovem

b re

2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

0 0

x

y

z

0 0

x

y

z

0 0

x

y

z

Fi gu

re 1

Fi gu

re 2

Fi gu

re 3

Nouvelle-Calédonie 70 10 novembre 2011

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ 16 novembre 2011

Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

f (x)= 3− 4

x+1 .

On considère la suite définie pour tout n ∈N par : {

u0 = 4 un+1 = f (un)

1. On a tracé, en annexe 1, la courbe C représentative de la fonction f sur l’in- tervalle [0 ; +∞[ et la droite D d’équation y = x. a. Sur le graphique en annexe 1, placer sur l’axe des abscisses, u0, u1, u2 et

u3. Faire apparaître les traits de construction.

b. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (un ) ?

2. Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b.

a. Démontrer par un raisonnement par récurrence que un > 1 pour tout n ∈N.

b. Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : un+1 6un .

c. Déduire des questions précédentes que la suite (un ) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l’urne et on le lance. On note :

V l’évènement : « le dé tiré est vert » — R l’évènement : « le dé tiré est rouge » — S1 l’évènement : « on obtient 6 au lancer du dé ».

1. On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.

a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

V. . .

S1. . .

S1. . .

R . . .

S1. . .

S1. . .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Calculer la probabilité P (S1).

2. On tire au hasard un dé de l’urne. On lance ensuite ce dé n fois de suite. On note Sn l’évènement : « on obtient 6 à chacun des n lancers ».

a. Démontrer que :

P (Sn)= 2

3 × ( 1

6

)n + 1

3 × ( 2

3

)n .

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d’avoir tiré le dé rouge, sachant qu’on a obtenu le numéro 6 à chacun des n lancers.

Démontrer que :

pn = 1

2× ( 1 4

)n +1 .

c. Déterminer le plus petit entier n0 tel que pn > 0,999 pour tout n> n0.

Exercice 3 4 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

g (x)= x2(1− lnx).

Partie A Étude de la fonction g

1. Déterminer la limite de g en +∞. 2. Déterminer la limite de g en 0.

3. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 4. En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction g sur l’in-

tervalle ]0 ; +∞[.

Partie B Représentation graphique et aire sous la courbe

Soit C la courbe représentative de la fonction g .

1. Tracer C dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 5 cm et donné en annexe 2.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1. La tracer sur le graphique.

3. Calculer l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbeC , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1 et x = e.

Exercice 4 3 points

Commun à tous les candidats

1. Résoudre dans C l’équation

z2−2z+5= 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA,zB,zC et zD où :

zA = 1+2i, zB = zA, zC = 1+ p 3+ i, zD = zC.

Amérique du Sud 72 16 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Placer les points A et B dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

b. Calculer zB− zC zA− zC

et donner le résultat sous forme algébrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à unmême cercleΓ dont on précisera le centre et le rayon.

4. Construire les points C et D dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) . Expliquer la construc-

tion proposée.

Exercice 5 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun

point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même

non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère le point

A de coordonnées (−1 ; −1 ; 1) et les droites D et D′ de représentations paramé- triques :

D

  

x = 2t −1 y = −3t +2 z = t

t ∈R D′   

x = 3t y = t ′+2 z = 3t ′−2

t ′ ∈R

Proposition 1 : « Le point A appartient à la droite D ». Proposition 2 : « Le plan perpendiculaire à la droite D passant par le point O a pour équation : 2x−3y + z = 0 ». Proposition 3 : « Les droites D et D′ sont orthogonales ». Proposition 4 : « Les droites D et D′ sont coplanaires ».

Proposition 5 : « La distance du point A au plan d’équation 2x−3y + z = 0 est p 14

7 .

Exercice 5 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun

point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même

non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 20112011 par 7 est 2 ».

• Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Proposition 2 : « S’il existe un couple de nombres entiers relatifs (u, v) tel que ua+ vb = 3, alors PGCD(a, b)= 3 ».

• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. Proposition 3 : « L’entier n2−3n−10 n’est jamais un nombre premier ». L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

• On considère le cône Γ d’équation x2+ y2 = 5z2. Soit A le point de coordonnées (−2 ; −1 ; γ). Proposition 4 : « Il existe un unique réel γ tel que le point A appartient au cône Γ ».

Amérique du Sud 73 16 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

• On coupe le cône Γ d’équation x2+ y2 = 5z2 par le plan Pa d’équation x = a a ∈R. Proposition 5 : « Cette intersection peut être la réunion de deux droites ».

Amérique du Sud 74 16 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE 1

(À rendre avec la copie)

1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5−1 O −→ı

−→

D

C

Amérique du Sud 75 16 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Amérique du Sud 76 16 novembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12

− 1

1 2

3 O

−→ ı

−→

ANNEXE 2

À rendre avec la copie

Amérique du Sud 77 16 novembre 2011

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