Corrigé – exercices de géométrie – 15, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 15, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Corrigé des exercices de géométrie 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les points invariants de f, le point P appartient au cercle (C).
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PolynesieSjuin2006.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2006 \

Exercice 1 5 points

Leplan complexe estmuni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; unité graphique

2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait cor- respondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z−1 z+1

On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

1. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels que M = f (M).

2. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, (

z ′−1 )

(z+1)=−2. b. En déduire une relation entre

z ′−1 ∣

∣ et |z+1| , puis entre arg (z ′−1) et arg (z+1), pour tout nombre complexe z différent de −1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M

appartient au cercle (C′) de centre A et de rayon 1.

4. Soit le point P d’affixe p =−2+ i p 3.

a. Déterminer la forme exponentielle de (p+1). b. Montrer que le point P appartient au cercle (C).

c. SoitQ le point d’affixe q =−p p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P′ et Q sont alignés.

d. Enutilisant les questions précédentes, proposer une constructionde l’image P′ du point P par l’application f .

Exercice 2 5 points

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne les points

A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l’isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

Proposition 1 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que −−→ AM · −−→BC = 0 est le

plan (AIO) ». Proposition 2 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que ∥

−−→ MB +−−→MC

∥= ∥

−−→ MB −−−→MC

∥ est la sphère de diamètre [BC] ».

Proposition 3 : « le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 ». Proposition 4 : « le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+ y+2z = 4 et le point

H a pour coordonnées

(

8

9 ; 4

9 ; 8

9

)

.

Proposition 5 : « la droite (AG) admet pour représentation paramétrique 

x = t y = 2t z = 2−2t

(t ∈R) ».

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1 : « pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n −1 ». Proposition 2 : «Si un entier relatif x est solutionde l’équation x2+x ≡ 0 (modulo 6) alors x ≡ 0 (modulo 3) ». Proposition 3 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équa- tion 12x−5y = 3 est l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k ∈Z ». Proposition 4 : « il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a, b)−PGCD(a, b)= 1 ». Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix. Proposition 5 : « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M N est aussi divi- sible par 27 ».

Exercice 3 4 points

On a posé à 1000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous ar- rivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? ». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant :

Retards le 2emois Retards le 1er mois

0 1 2 ou plus Total

0 262 212 73 547 1 250 73 23 346

2 ou plus 60 33 14 107 Total 572 318 110 1000

1. On choisit au hasard un individu de cette population.

a. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le pre- mier mois,

b. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu aumoins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas eu le premier mois.

2. On souhaite faire une étude de l’évolution dunombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul). On fait les hypothèses sui- vantes :

— si l’individu n’a pas eu de retard lemoisn, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46.

— si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,66.

— si l’individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est encore 0,66.

On note An , l’évènement « l’individu n’a eu aucun retard le mois n,

Bn , l’évènement « l’individu a eu exactement un retard le mois n »,

Cn , l’évènement « l’individu a eu deux retards ou plus le mois n ».

Les probabilités des évènements An , Bn , Cn sont notées respectivement pn , qn et rn .

a. Pour le premier mois (n = 1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p1,q1 et r1.

b. Exprimer pn+1 en fonction de pn , qn , et rn . On pourra s’aider d’un arbre.

Polynésie 2 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 =−0,2pn +0,66. d. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par

un = pn − 0,55. Démontrer que (un ) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

e. Déterminer lim n→+∞

un . En déduire lim n→+∞

pn .

Exercice 4 6 points

Partie A

On donne le tableau de variations d’une fonction f dérivable sur R :

x −∞ 0 2 +∞

f

+∞

0

4e−2

0

On définit la fonction F sur R par

F (x)= ∫x

2 f (t)dt .

1. Déterminer les variations de la fonction F sur R.

2. Montrer que 06 F (3)6 4e−2.

Partie B

La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur R par

f (x)= x2e−x .

On appelle g la fonction définie sur R par g (x)= e−x . On désigne par (C ) et (Γ) les courbes représentant respectivement les fonctions f et

g dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Les courbes sont tracées en annexe.

1. a. Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites.

b. Étudier les positions relatives des courbes (C ) et (Γ).

2. Soit h la fonction définie sur R par h(x)= (

x2−1 )

e−x .

a. Montrer que la fonction H définie sur R par H(x) = (

x2−2x−1 )

e−x est une primitive de la fonction h sur R.

b. Soit un réel α supérieur ou égal à 1.

On considère la partie du plan limitée par les courbes (C ) et (Γ) et les droites d’équations x = 1 et x =α. Déterminer l’aire A (a), exprimée en unité d’aire, de cette partie du plan.

c. Déterminer la limite de A (a) lorsque a tend vers +∞. 3. Onadmet que, pour tout réelm strictement supérieur à 4e−2, la droite d’équa-

tion y =m coupe la courbe (C ) au point P (xP ; m) et la courbe (Γ) au point Q (

xQ ; m )

.

L’objectif de cette question est demontrer qu’il existe une seule valeur de xP , appartenant à l’intervalle ]−∞ ; −1] telle que la distance PQ soit égale à 1.

Polynésie 3 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P etQ tels que xP ∈]−∞ ; −1] et PQ = 1.

b. Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ . Justifier l’égalité f (xP )= g

(

xQ )

.

c. Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.

Polynésie 4 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 4

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4−1−2−3-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Polynésie 5 juin 2006

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