Corrigé – exercices de géométrie – 16, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 16, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Corrigé des exercices de géométrie 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal direct, l’écriture complexe de la rotation r, les valeurs prises par X.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2006 \

EXERCICE 1 4 points

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On pose a = 3, b = 5− 2i et c = 5+ 2i. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B.

a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.

b. Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre com-

plexe z−3

z−5+2i .

c. Déterminer alors l’ensemble des pointsM d’affixe z tels que z−3

z−5+2i soit

un nombre réel strictement négatif.

2. Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC etΩ le point d’affixe 2− i.

a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centreΩ et d’angle − π

2 .

b. Déterminer l’image Γ′ de Γ par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de Γ′.

EXERCICE 2 4 points

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Calculer P (X = 0).

c. On se propose de déterminer maintenant P (X = 1).

— Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue

au second tirage est égale à 8

45 .

— En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P (X = 1).

2. On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.

On effectuemaintenantn tirages successifs auhasard d’uneboule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne.

Soit k un entier compris entre 1 et n.

Soit N l’évènement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ».

Soit A l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième ».

Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (nk) derniers tirages ».

Calculer P (A), PA(B) et P (N).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 7 points

1. Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (

2x3−4x2 )

e−x .

a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞.

b. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x)= 2x (

x2+5x−4 )

e−x .

c. Dresser le tableau de variations de f .

d. Tracer la courbe (C ) représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 1 cm).

2. Pour n ∈N∗, on pose

In =

∫1

0 xne−x dx.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

b. On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, In =nIn−1− 1

e .

Déterminer 12 et 13.

c. Soit A l’aire, exprimée en cm2, du domaine délimité par l’axe des abs- cisses, la courbe (C ) et les droites d’équation x = 0 et x = 1. Calculer A .

3. Soit u une fonction définie et dérivable sur R.

On définit la fonction v sur ]0 ; +∞[ par v(x)=u

(

1

x

)

.

a. On suppose que u est croissante sur l’intervalle [a ; b] (où 0< a < b).

Déterminer le sens de variation de v sur

[

1

b ; 1

a

]

.

b. On définit maintenant la fonction g par g (x) = f

(

1

x

)

sur ]0 ; +∞[, où f

est la fonction définie dans la question 1.

Déterminer les limites de g en 0 et en +∞,

c. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

EXERCICE 4 5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

Soit (P1) le plan d’équation cartésienne −2x+ y+ z−6= 0 et (P2) le plan d’équation cartésienne x−2y +4z−9 = 0.

1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires.

On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vec- teur normal non nul à l’un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l’autre.

2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2).

Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :

x = −7+2t y = −8+3t z = t

(t ∈ R).

3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coor- données (−9 ; −4 ; −1).

a. Vérifier que A n’appartient ni à (P1), ni à (P2).

Polynésie (épreuve obligatoire) 2 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Exprimer AM2 en fonction de t .

c. Soit f la fonction définie sur R par f (t)= 2t2−2t +3.

• Étudier les variations de f . • Pour quel point M , la distance AM est-elle minimale ?

Dans la suite, on désignera ce point par I. • Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.

a. Déterminer une équation de (Q).

b. Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).

Polynésie (épreuve obligatoire) 3 septembre 2006

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