Corrigé – exercices de géométrie – 16, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 16, Exercices de Géométrie analytique et calcul

PDF (41.8 KB)
3 pages
258Numéro de visites
Description
Corrigé des exercices de géométrie 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal direct, l’écriture complexe de la rotation r, les valeurs prises par X.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
PolynesieSsept2006.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2006 \

EXERCICE 1 4 points

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On pose a = 3, b = 5− 2i et c = 5+ 2i. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B.

a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.

b. Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre com-

plexe z−3

z−5+2i .

c. Déterminer alors l’ensemble des pointsM d’affixe z tels que z−3

z−5+2i soit

un nombre réel strictement négatif.

2. Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC etΩ le point d’affixe 2− i.

a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centreΩ et d’angle − π

2 .

b. Déterminer l’image Γ′ de Γ par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de Γ′.

EXERCICE 2 4 points

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Calculer P (X = 0).

c. On se propose de déterminer maintenant P (X = 1).

— Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue

au second tirage est égale à 8

45 .

— En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P (X = 1).

2. On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.

On effectuemaintenantn tirages successifs auhasard d’uneboule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne.

Soit k un entier compris entre 1 et n.

Soit N l’évènement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ».

Soit A l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième ».

Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (nk) derniers tirages ».

Calculer P (A), PA(B) et P (N).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 7 points

1. Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (

2x3−4x2 )

e−x .

a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞.

b. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x)= 2x (

x2+5x−4 )

e−x .

c. Dresser le tableau de variations de f .

d. Tracer la courbe (C ) représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 1 cm).

2. Pour n ∈N∗, on pose

In =

∫1

0 xne−x dx.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

b. On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, In =nIn−1− 1

e .

Déterminer 12 et 13.

c. Soit A l’aire, exprimée en cm2, du domaine délimité par l’axe des abs- cisses, la courbe (C ) et les droites d’équation x = 0 et x = 1. Calculer A .

3. Soit u une fonction définie et dérivable sur R.

On définit la fonction v sur ]0 ; +∞[ par v(x)=u

(

1

x

)

.

a. On suppose que u est croissante sur l’intervalle [a ; b] (où 0< a < b).

Déterminer le sens de variation de v sur

[

1

b ; 1

a

]

.

b. On définit maintenant la fonction g par g (x) = f

(

1

x

)

sur ]0 ; +∞[, où f

est la fonction définie dans la question 1.

Déterminer les limites de g en 0 et en +∞,

c. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

EXERCICE 4 5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

Soit (P1) le plan d’équation cartésienne −2x+ y+ z−6= 0 et (P2) le plan d’équation cartésienne x−2y +4z−9 = 0.

1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires.

On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vec- teur normal non nul à l’un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l’autre.

2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2).

Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :

x = −7+2t y = −8+3t z = t

(t ∈ R).

3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coor- données (−9 ; −4 ; −1).

a. Vérifier que A n’appartient ni à (P1), ni à (P2).

Polynésie (épreuve obligatoire) 2 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Exprimer AM2 en fonction de t .

c. Soit f la fonction définie sur R par f (t)= 2t2−2t +3.

• Étudier les variations de f . • Pour quel point M , la distance AM est-elle minimale ?

Dans la suite, on désignera ce point par I. • Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.

a. Déterminer une équation de (Q).

b. Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).

Polynésie (épreuve obligatoire) 3 septembre 2006

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome