Corrigé – exercices de géométrie – 18, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 18, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Corrigé des exercices de géométrie 18. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La droite d’équation, Le plan complexe.
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PondicheryS2006.dvi

[ Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo- sées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirma- tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea )b = e (

ab )

.

Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : eab = ea

eb .

Affirmation 1. c La droite d’équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Affirmation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Affirmation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction

h 7→ f (a+h)− f (a)

h admet une limite finie en 0.

3. On considère deux suites (un ) et (vn) définies surN.

Affirmation 3. a Si limun =+∞ et si limvn =−∞ alors lim(un + vn)= 0.

Affirmation 3. b Si (un ) converge vers un réel non nul et si limvn =+∞,

alors la suite (

un, × vn )

ne converge pas.

Affirmation 3. c Si (un ) converge vers un réel nonnul, si (vn) est positive

et si limvn = 0, alors la suite (

un

vn

)

ne converge pas.

Affirmation 3. d Si (un ) et (vn) convergent alors la suite

(

un

vn

)

converge.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra

pour unité graphique 5 cm.

On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 1+ i 2

zn . On note An le point du

plan d’affixe zn .

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.

Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Justifier que la suite (un ) est une suite géométriquepuis établir que, pour tout entier naturel n,

un = 2 (

1 p 2

)n

.

3. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a. Établir que, pour tout entier naturel n, zn+1− zn

zn+1 = i.

En déduire la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée A0A1A2 . . . An−1An .

On a ainsi : ℓn = A0A1+ A1A2+ . . .+ An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EXERCICE 2 4 points

Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra

5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z

définie par :

z ′ = (

1

2 + 1

2 i

)

z+1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’af- fixeω), le rapport k et l’angle θ.

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f (An). a. Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0 , A1, A2

et A3.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn . Justifier que la suite (un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

un = p 2

(

1 p 2

)n

.

c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centreΩ et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangleΩA0A1 ?

En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangleΩAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée

A0A1A2 . . . An−1An . On a ainsi : ℓn = A0A1+A1A2+. . .+An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

Partie A

(cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Pondichéry 2 3 avril 2006

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Soit P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0. On considère le point I de coordonnées

(

xI , yI , zI )

et le vecteur −→ n de coordonnées

(a, b, c). Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à ∣

axI +byI +czI +d

p a2+b2+c2

.

1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P .

Déterminer, en fonction de a, b, c, xI , yI et zI , un système d’équations pa- ramétriques de ∆.

2. On note H le point d’intersection de ∆ et P .

a. Justifier qu’il existe un réel k tel que −−→ IH = k

−→ n .

b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d , xI , yI et zI .

c. En déduire que IH = ∣

axI +byI +czI +d

p a2+b2+c2

.

Partie B

Le plan Q d’équation xy+z−11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées (1, −1, 3).

1. Déterminer le rayon de la sphère S .

2. Déterminer un systèmed’équations paramétriques de la droite∆passant par Ω et orthogonale au plan Q

3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphèreS et du plan Q.

EXERCICE 4 7 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effec- tif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement posi- tive sur [0 ; +∞[, et satisfait l’équation différentielle :

(E) y ′ =− 1

20 y(3− ln y).

1. Démontrer l’équivalence suivante : Une fonction f , dérivable, strictement

positive sur [0 ; +∞[, vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[, f ′(t) = − 1

20 f (t)[3−

ln (

f (t) )

] si et seulement si la fonction g = ln( f ) vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[,

g ′(t)= 1

20 g (t)−

3

20 .

2. Donner la solution générale de l’équation différentielle :

(H) z ′ = 1

20 z

3

20 .

Pondichéry 3 3 avril 2006

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

3. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; +∞[

f (t)= exp [

3+Cexp (

t

20

)]

.

(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x 7→ ex ). 4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :

f (t)= exp [

3−3exp (

t

20

)]

.

a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞[. c. Résoudre dans [0 ; +∞[ l’inéquation f (t)< 0,02.

Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Partie B

En 2005, ce laboratoire de recherchemet au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La popu- lation testée comporte 50% d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas ».

On note M l’évènement « l’animal est malade »,M l’évènement contraire et T l’évè- nement « le test est positif ».

1. Déterminer P (M), PM (T ), PM (T ).

2. En déduire P (T ).

3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

Pondichéry 4 3 avril 2006

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