Corrigé – exercices de géométrie – 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

PDF (51.8 KB)
4 pages
208Numéro de visites
Description
Corrigé des exercices de géométrie 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormal de l’espace, le graphique, l’application f de P.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
MetropoleSjuin2006.dvi

[ Baccalauréat S Métropole 15 juin 2006 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace.

On considère les points

A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2),E(3 ; 2 ; −1),I

(

3

5 ; 4 ; −

9

5

)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou

si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte

et zéro sinon.

1. Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y z−11 = 0.

2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

(CD)

x = −1+2t y = −1+ t z = 1− t

(t ∈R).

5. Le point I est sur la droite (AB).

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x2e1−x .

OndésigneparC sa courbe représentative dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité graphique 2 cm.

a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ ; quelle conséquence gra- phique pour C peut-on en tirer ?

b. Justifier que f est dérivable sur R. Déterminer sa fonction dérivée f ′.

c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C .

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale In définie par

In =

∫1

0 xne1−x dx.

a. Établir une relation entre In+1 et In .

b. Calculer I1, puis I2.

c. Donner une interprétation graphique du nombre I2. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c.

3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier na- turel n non nul, on a l’inégalité suivante :

xn 6 xne1−x 6 xne.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers +∞.

EXERCICE 3 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Onconsidère le plan complexeP rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Dans tout l’exercice, P \{O} désigne le plan P privé du point origine O.

1. Question de cours

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

— Si z et z ′ sont deux nombres complexes nonnuls, alors : arg(zz ′)= arg(z)+ arg(z ′) à 2près, avec k entier relatif

— Pour tout vecteur −→ w non nul d’affixe z on a : arg(z)=

(

−→ u ;

−→ w

)

à 2près,

avec k entier relatif

a. Soit z et z ′ des nombres complexes non nuls, démontrer que

arg ( z

z

)

= arg(z)−arg(z ′) à 2près, avec k entier relatif.

b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts,

d’affixes respectives a, b, c, on a : arg ( ca

ba

)

=

(

−−→ AB ,

−−→ AC

)

à 2près, avec

k entier relatif.

2. On considère l’application f de P \{O} dans P \{O} qui, au point M du plan

d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par : z ′ = 1

z . On appelle U et

V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pour z 6= 0, on a arg (

z ′ )

= arg(z) à 2près, avec k entier relatif.

En déduire que, pour tout point M de P \{O} les points M et M ′ = f (M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.

b. Déterminer l’ensemble des points M de P \{O} tels que f (M)=M .

c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet queM ′ est aussi distinct de O, U et V.

Établir l’égalité z ′−1

z ′− i =

1

i

(

z−1

z+ i

)

=−i

(

z−1

z− i

)

.

En déduire une relation entre arg

(

z ′−1

z ′− i

)

et arg

(

z−1

z− i

)

3. a. Soit z un nombre complexe tel que z 6= 1 et z 6= i et soit M le point d’af- fixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et

seulement si z−1

z− i est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

EXERCICE 3 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

Il s’agit de résoudre dans Z le système

(S)

{

n ≡ 13 (19) n ≡ 6 (12)

Métropole 2 15 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v = 1.

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13× 12v + 6× 19u est une solution de (S).

2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à

{

n n0 (19) n n0 (12)

b. Démontrer que le système

{

n n0 (19) n n0 (12)

équivaut à

n n0 (12×19).

3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u+12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lors- qu’on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228= 12×19. Quel est le reste r de cette division ?

EXERCICE 4 5 points

Commun à tous les candidats

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.

a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?

b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?

c. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,99 ?

2. Ce tireur participe au jeu suivant :

Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.

Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équi- libré ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

Face k 1 2 3 4 Nombre de sorties de la face k 58 49 52 41

a. Calculer les fréquences de sorties fk observées pour chacune des faces.

b. On pose d2 =Σ4 k=1

(

fk − 1

4

)2

. Calculer d2.

Métropole 3 15 juin 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. On effectue maintenant 1000 simulations des 200 lancers d’un dé tétra- édrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d2. On obtient pour la série statistique des 1000 valeurs de d2 les résul- tats suivants :

Minimum D1 Q1 Médiane Q3 D9 Maximum 0,00124 0,00192 0,00235 0,00281 0,00345 0,00452 0,01015

Au risque de 10%, peut-on considérer que ce dé est pipé 7

Métropole 4 15 juin 2006

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome