Corrigé - exercitations mathématique appliquée 10, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé - exercitations mathématique appliquée 10, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: dans le repère orthonormal, la représentation paramétrique de la droite, les droites (IJ) et (KL).
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[ Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2012\

EXERCICE 1 4 points

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal (

A ; −→ AB ;

−→ AD ;

−→ AE

)

.

On considère les points I

(

1 ; 1

3 ; 0

)

, J

(

0 ; 2

3 ; 1

)

, K

(

3

4 ; 0 ; 1

)

et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à

l’intervalle [0 ; 1].

B C

D A

F G

HE

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique 

x = 3

4 + t

(

a− 3

4

)

y = t

z = 1− t ′ , t ′ ∈R

3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = 1

4 .

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on pose a = 1

4 .

Le point L a donc pour coordonnées

(

1

4 ; 1 ; 0

)

.

1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

On désigne parM le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

B C

D A

F G

HE

b

b

b

b

b

b

I

K

J

M

N

L

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.

a. Prouver que le vecteur −→n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).

b. En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+9y +5z−11= 0.

c. En déduire les coordonnées des points M et N

EXERCICE 2 5 points

On considère la suite (In) définie pour n entier naturel non nul par :

In = ∫1

0 xnex

2 dx.

1. a. Soit g la fonction définie par g (x)= xex 2 .

Démontrer que la fonctionG définie sur R parG(x)= 1

2 ex

2 est une primitive sur R de la fonction g .

b. En déduire la valeur de I1.

c. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a :

In+2 = 1

2 e−

n+1

2 In .

d. Calculer I3 et I5.

2. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation Affecter à n la valeur 1

Affecter à u la valeur 1

2 e−

1

2 Tant que n < 21

Affecter à u la valeur 1

2 e−

n+1

2 u

Affecter à n la valeur n+2 Sortie Afficher u

Quel terme de la suite (In) obtient-on en sortie de cet algorithme ?

Centres étrangers Page 2/?? 13 juin 2012

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In Ê 0.

b. Montrer que la suite (In) est décroissante.

c. En déduire que la suite (In) est convergente. On note sa limite.

4. Dans cette question toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la valeur de .

EXERCICE 3 6 points

On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : ex = 3 (

x2+x3 )

.

Partie A : Conjecture graphique

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur R par f (x)= 3

(

x2+x3 )

telles que les affiche une calculatrice dans unmême repère orthogonal.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7

À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique

1. a. Étudier selon les valeurs de x, le signe de x2+x3.

b. En déduire que l’équation (E)n’a pas de solution sur l’intervalle ]−∞ ; −1].

c. Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).

Centres étrangers Page 3/?? 13 juin 2012

2. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ]−1 ; 0[∪]0 ; +∞[ par :

h(x)= ln3+ ln (

x2 )

+ ln(1+x)−x.

Montrer que, sur ]−1 ; 0[∪ ]0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à h(x)= 0.

3. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]−1 ; 0[∪ ]0 ; +∞[, on a :

h′(x)= −x2+2x+2

x(x+1) .

b. Déterminer les variations de la fonction h.

c. Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner une valeur arrondie au cen- tième de chaque solution.

d. Conclure quant à la conjecture de la partie A.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’arbre de probabilités suivant :

b

b

A

0,2

b B0,68

b B

b

A b B

b B0,4 Affirmation : la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 0,32.

2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire simultanément deux boules dans l’urne.

Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs

différentes est égale à 9

22 .

3. Dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère la transformation t d’écri-

ture complexe

z ′ =−iz+5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle− π

2 .

4. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’inconnue z :

z2− zz−1= 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

Centres étrangers Page 4/?? 13 juin 2012

5. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère les points A, B et C d’af-

fixes respectives a =−1, b = i et c = p 3+ i(1−

p 3).

Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont unemesure est égale à 60 °.

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’équation (E) : 3x−2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.

Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9+ 2k ; 13+ 3k), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 3n+1 et b = 2n+3.

Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.

3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 2n2+7n+21 et b = 2n+2.

Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n+2 et n+17.

4. Dans le planmuni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3+4i.

On note s la similitude directe s de centre A, de rapport p 2 et d’angle

π

4 .

Affirmation : la similitude directe réciproque s−1 a pour écriture complexe :

z ′ = 1− i

2 z+

−1+7i

2 .

5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respec- tives a = 1+2i, b = 4− i, c = 1−2

p 3+ i(3+

p 3) et d = 4+

p 3+4i

p 3.

Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π

3 .

Centres étrangers Page 5/?? 13 juin 2012

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