Corrigé - exercitations mathématique appliquée 12, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé - exercitations mathématique appliquée 12, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 12 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la solution du système, les variations de la fonction.
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TS-Polynesie_juin_2012Goualard.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2012 \

Exercice 1 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère les points B (100 ; 100) et C

(

50 ; 50 p e

)

et la droite (D) d’équation y = x.

On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est donnée en annexe. On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que :

• pour tout x réel, f (x)= xeax+b .

• les points B et C appartiennent à la courbe Γ.

1. a. Montrer que le couple (a ; b) est solution du système :

{

100a+b = 0

50a+b =− 1

2

b. En déduire que, pour tout x réel, f (x)= xe0,01x−1.

2. Déterminer la limite de f en +∞ .

3. a. Montrer que pour tout x réel, f (x)= 100

e ×0,01xe0,01x

b. En déduire la limite de f en −∞.

4. Étudier les variations de la fonction f .On donnera le tableau de variations complet.

5. Étudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D).

6. a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale ∫100

0 f (t) dt .

b. On désigne par A l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par les droites d’équations x = 0 et x = 100 , la droite (D) et la courbe Γ.

Calculer A.

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on considère les points A, B et C d’affixes respectives

a =−2+2i, b =−3−6 texti et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A′ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13

2 − 3

2 i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. On construit de la même manière C’ l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B

par la rotation de centre C et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1

2 + 5

2 i et p = 2−5i.

a. Démontrer que sq

pa =−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans

l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Polynésie Page 1/4 juin 2012

Exercice 3 5 points

Partie A

On considère l’algorithme suivant : Les variables sont le réelU et les entiers naturels k et N .

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul N .

Traitement

Affecter àU la valeur 0 Pour k allant de 0 à N −1

Affecter àU la valeur 3U −2k+3 Fin pour

Sortie

AfficherU

Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

Partie B

On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un −2n+3.

1. Calculer u1 et u2.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un Ê n.

b. En déduire la limite de la suite (un ).

3. Démontrer que la suite (un ) est croissante.

4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn =un n+1.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3 n +n−1.

5. Soit p un entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe aumoins un entier n0 tel que, pour tout n Ên0, un Ê 10 p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.

b. Justifier que n0 É 3p.

c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.

d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n Ên0, on ait un Ê 10

p .

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40% ont leurs faces marquées d’un cercle, 20% ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont

leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20% ont leurs faces marquées d’un cercle, x% ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont

leurs faces marquées d’une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x.

2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile.

Polynésie Page 2/4 juin 2012

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50.

Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne. Les résultats seront arrondis aumillième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cubemarqué d’un cercle ?

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x−108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel.

Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

2. a. On suppose que a n’est pas un multiple de 7.

Démontrer que a6 ≡ 1 [7] puis que a108 ≡ 1 [7].

En déduire que (

a25 )g

a [7].

b. On suppose que a est un multiple de 7.

Démontrer que (

a25 )g

a [7].

c. On admet que pour tout entier naturel a, (

a25 )g

a [19].

Démontrer que (

a25 )g

a [133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturels a tels que : 1É a É 26. Un message, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l’entier r tel que a25 ≡ r [133] avec 0É r < 133. La phase de décodage consiste à associer à r , l’entier r1 tel que r

13 ≡ r1 [133] avec 0É r1 < 133.

1. Justifier que r1 ≡ a [133].

2. Unmessage codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Polynésie Page 3/4 juin 2012

Annexe de l’exercice 1

20

40

60

80

100

120

140

160

−20

20 40 60 80 100 120−20−40−60−80−100−120−140

b

b B

C

Γ

Annexe de l’exercice 2

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11−12

bA

b

B

b C

b

b

A’

S

b C’

b Q

b

b B’

P

Polynésie Page 4/4 juin 2012

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