Corrigé - exercitations mathématique appliquée 2, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé - exercitations mathématique appliquée 2, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le tableau de variations, l’axe des ordonnées, l'équation différentielle.
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MetropoleSsept2012.dvi

[ Baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012 \

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction dérivable surR dont le tableau de variations est donné ci-dessous où a et b désignent deux réels.

x −∞ a +∞

−∞

f (x)

b

−∞

1. Déterminer le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

, on a tracé deux courbes C1 et C1.

Elles coupent l’axe des ordonnées aux points A et B d’ordonnées −2 et 1

2 respectivement.

L’une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivée f ′ de f et l’autre la courbe représentative d’une primitive F de la fonction f sur R.

A

B

O

C2

C1

−→ ı

−→

a. Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction f . Justifier la réponse.

b. À l’aide des courbes C1 et C1, prouver que 1< a < 2 et b > 0.

3. Dans cette question, on admet que la fonction f est telle que, pour tout réel x,

f (x)−2 f ′(x)= x.

a. Déterminer une fonction affine g telle que pour tout réel x, g (x)−2g ′(x)= x.

b. Démontrer que la fonction f g est une solution de l’équation différentielle y ′ = 1

2 y .

c. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’existence d’un réel k tel que pour tout

réel x, f (x)= ke 1 2 x + x+2.

d. En utilisant les coordonnées des points A et B , déterminer les fonctions f et F ainsi que les réels a et b.

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

Les questions 1 et 2 sont indépendantes

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher.

On prélève au hasard une boule de l’urne.

Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on prélève au hasard une seconde boule.

Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l’urne sans remettre la boule tirée.

a. Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ?

b. Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.

Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Une urne contient quatre boules rouges et n boules noires indiscernables au toucher.

Onprélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée après chaque tirage.

La variable aléatoire X donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale de paramètres 4 et p.

a. Donner l’expression de p en fonction de n.

b. Démontrer que la probabilité qn que l’une au moins des quatre boules tirées soit noire est

telle que qn = 1− (

4

n+4

)4

.

c. Quel est le plus petit entier naturel n pour lequel la probabilité qn est supérieure ou égale à 0,9999 ?

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un ) définie sur N par

u0 = 3 et pour tout entier natureln, un+1 = 1

2

(

un + 7

un

)

(⋆)

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, un > 0.

1. On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1

2

(

x+ 7

x

)

.

Démontrer que la fonction f admet un minimum.

En déduire que pour tout entier naturel n, un > p 7.

2. a. Soit n un entier naturel quelconque.

Étudier le signe de un+1−un . b. Pourquoi peut-on en déduire que la suite (un ) est convergente ?

c. On déduit de la relation (⋆) que la limite de cette suite est telle que = 1

2

(

+ 7

)

.

Déterminer .

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1− p 7=

1

2

(

un − p 7 )2

un .

4. On définit la suite (dn ) par :

d0 = 1 et pour tout entier natureln, dn+1 = 1

2 d2n .

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

un − p 76 dn .

Métropole 2 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Voici un algorithme :

Variables : n et p sont des entiers naturels d est un réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de p. Initialisations : Affecter à d la valeur 1.

Affecter à n la valeur 0 Traitement : Tant que d > 10−p .

Affecter à d la valeur 0,5d2

Affecter à n la valeur n+1. Sortie : Afficher n.

En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.

Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5 ?

Justifier que u5 est une valeur approchée de p 7 à 10−9 près.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justi-

fiant la réponse.

Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une

réponse non justifiée.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. L’ensemble des points M d’affixe z telle que |z−1+2i| = |z+3−4i| est une droite passant par le point H d’affixe 5+5i.

2. On note A, B etC les points d’affixes respectives 2− i, 1+ i et 3−2i. L’image du point B par l’homothétie de centre A et de rapport −2 est le point C .

3. Soit f la transformation complexe qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =− p 2

2 (1− i)z.

L’image d’une droite d du plan par la transformation f est une droite qui est perpendiculaire à la droite d .

Pour les questions suivantes, l’espace est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

4. Soit P le plan d’équation 3x+ y −7 = 0 et D la droite dont une représentation paramétrique est 

x = 2− t y = 1+3t z = t

, t ∈R.

La droite D est parallèle au plan P .

5. Soient P le plan d’équation x+3y −4z+1 = 0 et A le point de coordonnées (1 ; 4 ; −1). La sphère S de centre A et de rayon 4 est sécante au plan P .

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justi-

fiant la réponse.

Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une

réponse non justifiée.

Métropole 3 13 septembre 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Soit (E ) 5x+6y = 3, où x et y sont des entiers relatifs. Les seuls couples qui sont solutions de l’équation (E ) sont les couples (18k+3, −15k−2) où k est un entier relatif.

2. Le reste de la division euclidienne de 32012 par 7 est égal à 6.

Pour les questions suivantes, le plan est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On note A le point d’affixe 2− i et B l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Le point C est le milieu du segment [AB].

3. Le point C est l’image du point O par la similitude directe de centre A, de rapport p 2 et d’angle

π

2 .

4. Soit f la similitude directe qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = (−1+ i)z. La transformation composée f f transforme la droite (AB) en une droite qui est perpendiculaire à (AB).

5. La transformation complexe qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = (1− i)z+3− i, est la similitude directe de centre A, de rapport p 2 et d’angle −

π

4 .

Métropole 4 13 septembre 2012

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