Corrigé - exercitations mathématique appliquée 5, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé - exercitations mathématique appliquée 5, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (375.9 KB)
6 pages
169Numéro de visites
Description
Algèbre – correction des exercices 5 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le polynôme.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 6
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
NlleCaledonieSoblimars2012.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ Série obligatoire mars 2012

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z)= z3− (

2+ i p 2 )

z2+2 (

1+ i p 2 )

z−2i p 2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i p 2 est solutionde l’équationP (z) = 0.

2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z)= (

z− i p 2 )(

z2+az+b )

.

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z)= 0.

Partie B :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra

2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i p 2 et zK = e

3iπ 4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et àmesure de l’exercice.

2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à −

p 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont nu- mérotées de 1 à 6. L’urneU1 contient trois boules rouges et une boule noire. L’urneU2 contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urneU1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2. On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3

8 .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir ob- tenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléa- toire égale au nombre de parties gagnées.

a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi aumillième.

b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le ré- sultat arrondi aumillième.

c. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (X < k) 0,009 1 0,063 7 0,211 0 0,446 7 0,694 3 0,872 5 0,961 6 0,992 2 0,999 0 0,999 9

Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne aumoins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle

inférieure à 1

10 ?

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

VRAI ou FAUX ?

Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie

ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.

1. Énoncé 1 : Soit (an)n∈N une suite non constante de réels.

Pour tout entier n, on pose un = sin(an).

Proposition 1 : « On peut choisir la suite (an)n∈N telle que la suite (un )n∈N

converge vers

p 2

2 . »

2. Énoncé 2 : Dans le plan complexe d’origine O, on considère, pour tout entier

naturel non nul n, les points Mn d’affixe zn = e 2i3 .

Proposition 2 : « Les points O, M1 et M20 sont alignés. »

3. Énoncé 3 :On considère une fonction f , sa dérivée f ′ et son unique primitive F s’annulant en x = 0. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous.

Proposition 3 : « La courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de f ».

2

4

−2

−4

Courbe 1

π2 π

2 π0

Nouvelle-Calédonie 2 mars 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2

−2

Courbe 2

π2 π

2 π0

0,5

1,0

−0,5

−1,0

Courbe 3

π/2 π/2 π0

4. Énoncé 4 : On considère, dans un repère orthonormé de l’espace, le point A(0 ; 0 ; 3) et le plan P d’équation 2xy + z = 0.

Proposition 4 : « La sphère de centre A et de rayon 2 et le plan P sont sécants. »

5. Énoncé 5 : On considère l’équation différentielle (E) : y ′+2y = 4. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l’une représente la solution de (E) vérifiant

y(0)= 0.

Proposition 5 : «La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant y(0)= 0 est la courbe C4. »

Nouvelle-Calédonie 3 mars 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7

C2

C3

C4

C1

0 x

y

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x)= xex . On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère or-

thogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. Sur la courbeC , tracée en annexe, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbeC . On a placé les points A′(a ; 0) et B′(1 ; 0). Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale.

PARTIE A :

1. Montrer que ∫1

0 xex dx = 1.

2. a. Donner l’aire du triangle OAA′ et montrer que l’aire du trapèze ABB′A′ est

égale à 1

2

(

a2ea +aea ae+e )

.

b. Endéduire que l’ aire de la partie duplanhachurée est égale à 1

2 (aea ae+e−2).

PARTIE B :

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= x (

ex −e )

+e−2.

1. Soit g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ′(x) pour tout réel x de [0 ; +∞[.

Vérifier que la fonction dérivée seconde g ′′ est définie sur [0 ; +∞[ par

g ′′(x)= (2+ x)ex .

2. En déduire les variations de la fonction g ′ sur [0 ; +∞[.

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Établir que l’équation g ′(x)= 0 admet une solution uniqueα dans l’intervalle [0 ; +∞[.

Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près.

4. En déduire les variations de la fonction g sur [0 ; +∞[.

5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B,montrer qu’il existe une valeur de a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est mini- male. Donner cette valeur de a.

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

CETTE PAGE N’EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

A

B

O

C

A′ B′ x

y

Nouvelle-Calédonie 6 mars 2012

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome