Corrigé - exercitations mathématique appliquée 7, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé - exercitations mathématique appliquée 7, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (182.5 KB)
6 pages
211Numéro de visites
Description
Algèbre – correction des exercices 7 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les probabilités des évènements, les propositions.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 6
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
PondicheryS18avril2012.dvi

[ Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012 \

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Unmême coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?

2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

— « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]

— l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.

Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b =

c) ou (b = d) ou (b = e) ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que

a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50)

Fin du tant que Sortie Afficher a,b,c,d ,e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :

L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2 = {8,17,41,34,6};

L3 = {12,17,23,17,50};L4 = {45,19,43,21,18} ?

b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 parti- cipants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. Onnote X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses pa- ramètres.

b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous formedécimale arrondie audix-millième, les probabilités des évènements suivants :

— il a été contrôlé 5 fois exactement ; — il n’a pas été contrôlé ; — il a été contrôlé aumoins une fois.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même

non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T )= 0,05. On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

— si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; — si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P (D).

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de l’espace, on considère :

— les plans P et P ′ d’équations :

P : xy z−2= 0 et P ′ : x+ y +3z = 0.

— la droite D ayant pour représentation paramétrique :

x = −3−2t y = 2t z = 1+2t

t ∈R.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et jus- tifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite ∆ dont une représentation paramé- trique est :

x = 1− t

y = −1−2t

z = t t ′ ∈R.

Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

On considère les suites (In ) et (Jn ) définies pour tout entier naturel n par :

In =

∫1

0

e−nx

1+ x dx et Jn =

∫1

0

e−nx

(1+ x)2 dx.

Pondichéry 2 18 avril 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Sont représentées ci-dessous les fonctions fn définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

fn(x)= e−nx

1+ x

pour différentes valeurs de n :

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

f0

f1

f2

f3

O

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en expli- quant la démarche.

b. Démontrer cette conjecture.

2. a. Montrer que pour tout entier n > 0 et pour tout nombre réel x de l’inter- valle [0 ; 1] :

06 e−nx

(1+ x)2 6

e−nx

1+ x 6 e−nx .

b. Montrer que les suites (In ) et (Jn) sont convergentes et déterminer leur limite.

3. a. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier n> 1 :

In = 1

n

(

1− e−n

2 − Jn

)

.

b. En déduire lim n→+∞

nIn .

Pondichéry 3 18 avril 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on dé-

signe par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout pointM d’affixe z 6= 1, associe le pointM

d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z

z−1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i.

a. Calculer l’affixe zC′ du point C ′ image de C par la transformation f , et

placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout pointM distinct de A, le pointM ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z 6= 1, z ′−1

z−1 est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A,M et M ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23 modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x−26y = 1,

x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ).

2. Résoudre alors l’équation (E ).

3. En déduire un entier a tel que 06 a6 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Pondichéry 4 18 avril 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre dumot et x2 correspond à la deuxième lettre dumot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

(

y1 ; y2 )

tel que :

(S1)

{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26)

avec06 y1 6 25 et 06 y2 6 25.

Étape 3 (

y1 ; y2 )

est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l’étape 1.

Exemple : TE ︸︷︷︸

mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape2 =⇒ (13,19)

étape3 =⇒ NT

︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST.

2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

a. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2)

{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)

b. À l’aide de la partie B,montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équa- tions du système (S2), vérifie les équations du système

(S3)

{ x1 ≡ 16y1+ y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)

c. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

d. Décoder le mot YJ.

Pondichéry 5 18 avril 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

Ob D

Pondichéry 6 18 avril 2012

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome