Exerccies de mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exerccies de mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Inégalité et information, exercice de 1 à 6, le modèle régulier.
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Master de Mathématiques G11 : STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

Université de Rennes I

T.D. 5 et 6. Inégalités et information

Exercice 1 Evaluer l’information de Fisher I(θ) dans les cas suivants :

1. Lois binomiales B(N, p) avec N fixé et le paramètre 0 < p < 1.

2. Lois géométriques : f(p, k) = (1− p)k−1p, k = 1, 2, 3, . . . et avec le paramètre 0 < p < 1. 3. Lois gaussiennes N(0, σ2), avec comme paramètre i) θ = σ ; ii) θ = σ2.

Exercice 2 On reprend le modèle de l’Exercice 4 du TD 4, formé des lois uniformes sur [0, θ] avec le paramètre θ > 0.

1. Vérifier que Eθ(θ̂) = (nθ)/(n+ 1) où θ̂ désigne l’estimateur du maximum de vraisemblance.

2. En déduire un estimateur T , proportionnel à θ̂ et sans biais de θ.

3. La variance VarθT est de l’ordre de 1/n2, plus petite (n assez grand) que la borne inférieure in- diquée par l’inegalité d’information. Expliquer pourquoi l’inégalité d’information ne s’applique pas ici.

Exercice 3 (Fonction Gamma et calcul des lois)1. La fonction Γ est définie sur ]0,∞[ par

Γ(u) =

∫ ∞

0

tu−1e−tdt .

1. Vérifier la convergence de l’intégrale dans la définition.

2. Par une intégration par partie, établir la relation de récurrence : Γ(u+ 1) = uΓ(u), u > 0.

3. Combient vaut Γ(n) pour n ∈ N∗ ? 4. On appelle loi Gamma de paramètre de forme a > 0, notée γ(a), la loi sur R de densité (par

rapport à la mesure de Lebesgue)

f(x) = 1

Γ(a) xa−1e−x1IR+(x) .

Calculer l’espérance et la variance de cette loi.

5. On appelle loi Gamma de paramètre de forme a > 0 et de paramètre d’échelle b > 0, notée γ(a, b), la loi de la variable X = bZ où Z a la loi γ(a). Déterminer sa fonction de densité. Calculer E[X], Var(X) et Var(X2).

6. A l’aide de l’identité ∫

R

1√ 2π

e− 1

2 x2 = 1, déduire la valeur de Γ(1/2). Que vaut Γ(3/2) ?

7. Soit X une variable gaussienne réduite (moyenne 0 et variance 1).

(a) Montrer que X a les moments de tout ordre, et que pour p ∈ N, EX2p+1 = 0 et EX2p = (2p − 1)!!.

(b) On applle loi de khi-deux à un degré de liberté, notée χ21, celle de Y = X 2. Montrer que

VarY = 2.

Exercice 4 On considère le modèle formé des lois exponentielles de paramètre c > 0 et densités fc(x) =

1

c e −x/c1I{x≥0}. Pour n observations i.i.d., montrer que X := (X1 + · · · + Xn)/n est un

estimateur sans biais de c et il est efficace (UMV, atteignant la borne inférieure de l’inégalité d’infor- mation).

Exercice 5 Supposons que la même famille des lois exponentielles est paramètrée par λ = 1/c, de sorte que les densités s’écrivent hλ(x) = λe−λx1I{x≥0}. On cherche à estimer λ, en d’autre termes, λ = g(c) = 1/c dans le modèle de l’exercice précédent.

1http ://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction Gamma d’Euler et Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York.

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1. Montrer que si n = 1, il n’existe pas d’estimateur sans biais de λ.

2. On admettra que si sous Pλ=1, la loi de la somme Sn := X1 + · · · + Xn est une loi gamma γ(n) de densité

φn(x) = 1

(n− 1)!x n−1e−x1I{x≥0}.

En déduire la loi de X sous Pλ pour λ quelconque. Montrer que T = (n− 1)/(nX) est un estimateur sans biais de λ. Comparere sa variance avec la borne inférieure de l’inégalité d’information.

Exercice 6 On considère le modèle paramétrique {Pθ} avec Pθ la loi γ(a, b) (voir l’exercice précédent) de

paramètre θ = (a, b), a > 0, b > 0 et de densité

f(θ, x) = 1

b (x/b)a−1e−x/b1IR+(x) .

On admettra que ce modèle est régulier.

1. Déterminer la matrice d’information de Fisher du modèle au point θ = (a, b).

2. On souhaite estimer g(θ) = Eθ(X2) = b2(a + a2). Déterminer la borne FDCR de l’inegalité d’information pour ce problème d’estimation.

3. Est-ce que l’estimateur T = X2 est un estimateur efficace ? Que se passe-t-il, si au lieu d’une observation, on dispose de n observations i.i.d. de modèle statistique {P⊗nθ } ?

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