Exerccies de mathématique sur les fiches OMP, Exercices de Mathématiques Appliqués. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exerccies de mathématique sur les fiches OMP, Exercices de Mathématiques Appliqués. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Exercices de mathématiques sur les fiches OMP. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: 12 fiches et exercices correspondants.
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FichesOMP

Université d’Artois Faculté Jean Perrin LENS

Licence Sciences et Technologie

Premier Semestre

OMP

Année 2006-2007

docsity.com

Université d’Artois. Faculté Jean Perrin LENS Licence Sciences et Technologie Semestre 1 TD de OMP. Année 2006-2007

Fiche 1 Exercice 1: 1) Soit 2( , )a b ∈ . Montrer que :

sh( ) sh .ch sh .ch sh( ) sh .ch sh .ch

ch( ) ch .ch sh .sh ch( ) ch .ch sh .sh

th th th th th( ) th( )

1 th .th 1 th .th

a b a b b a a b a b b a

a b a b b a a b a b b a

a ab a ab a b a b

a b a b

+ = + − = − + = + − = −

+ −+ = − = + −

2) Soit 2( , )x y ∈ . Montrer que :

sh sh 2.sh .ch sh sh 2.sh .ch 2 2 2 2

ch ch 2.ch .ch ch ch 2.sh .sh 2 2 2 2

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

+ − − +       + = − =               

+ − + −       + = − =               

Exercice 2: 1) Démontrer (ch sh ) ch sh pour .

(ch sh ) ch sh

n

n

x x nx nx x

x x nx nx

+ = + ∈ − = −



2) Exprimer ch 3 x en fonction de ch x. Exprimer sh 3 x en fonction de sh x.

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Fiche 2 Exercice 1: Déterminer

( )

1 1) sin 0 2) sin1 3) sin

2

3 1 4) sin 5) sin 6) cos 0

2 2

1 7) cos1 8) cos 1 9) cos

2

1 3 1 10) cos 11) cos 12) cos

2 22

13) cos cos

Arc Arc Arc

Arc Arc Arc

Arc Arc Arc

Arc Arc Arc

Arc

−     

      

 −    

 − −               

5 2 14) sin sin 15) cos cos

4 3 4

1 16) tan 0 17) tan1 18) tan

3

Arc Ar

Arc Arc Arc

π π π                 

−     

Exercice 2:

En utilisant un calcul de dérivée, démontrer : [ ]1 , 1 sin cos 2x Arc x Arc x π∀ ∈ − + =

Exercice 3:

En utilisant un calcul de dérivée, démontrer : ] [

] [

si 0, 1 2tan tan

si , 0 2

x Arc x Arc

x x

π

π

 ∈ + ∞+ = − ∈ −∞ 

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Fiche 3 Exercice 2: Soient f x x g x x( ) ( ) ( ).= = −2 2 12Argch et Argch Déterminer les domaines de définition, les ensembles de dérivabilité et calculer f '(x) et g '(x). Que peut-on en déduire ? Exercice 3:

Démontrer Argth Argth 2

1 2

2

x

x x

+ = .

Exercice 3: En utilisant un calcul de dérivée, démontrer :

[ ]∀ ∈ = −x Arc x Arc x0 1 1 2 , cos sin Exercice 4: En utilisant un calcul de dérivée, démontrer :

[ ] 21 ,0 sin 1 cosx Arc x Arc xπ∀ ∈ − − = −

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Fiche 4 Calculer

7 3

1 3

1 2

0 1

2 3 4 2

2 4

5 62 1 0

7 3

1) I = 2) I =

3) I = cos 4) I = 1

5) I = 6) I = tan 3 1

7) I = (1 ln )

b b

a a

b

a

dx x dx

x

dx x dx

x

x dx x dx

x

dx

x x

π

+

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

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Fiche 5

Calculer

4 3 3 1 2 2

3 42 2

1 2

5 62 0 1

1)I = ( 1) 2)I = 1

( 1) 3)I = 4)I =

2 1 4 5

ln 5)I = 6)I =

3

x

x

e x x dx dx

e

x dx dx

x x x x

dx x dx

x x

+ +

− − − + +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

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Fiche 6

Calculer

2

4 3 3 1 2

1

3 3 4

3 4

0

1)I = ln 2)I = sin cos

3)I = cos cos3 4)I = sin cos

b

a

b

a

x x dx x x dx

x x dx x xdx

π

∫ ∫

∫ ∫

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Fiche 7

Exercice 1 : Calculer

1 2

1 2 2 0

3

3

4

cos 1) I = ( 1) 2) I =

(2 sin )

3) I = cos

b x

a

t x x e dx dx

t

dx

x

π

π

−+ + +∫ ∫

Exercice 2 :

1) Montrer que : 2

2 1 72 2 4

x x x  − + = − +   

2) En déduire la valeur de : 1

2 1 2

. 2

dx

x x− +∫

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Fiche 8 Exercice 1 :

1) Chercher deux réels a et b vérifiant, pour tout [ ]1, 2x ∈ ,

2

1

5 6 2 3

a b

x x x x = +

+ + + + .

2) Calculer l’intégrale 2

2 1 5 6

dx

x x+ +∫ .

Exercice 2 :

1) Chercher trois réels a, b et c vérifiant

2

( 1)( 2) 1 2

x a b c

x x x x x x

+ = + + + − + −

.

2) Calculer l’intégrale ( 2)

( 1)( 2)

x dx

x x x

+ + −∫

.

Exercice 3 :

1) Chercher trois réels a , b et c vérifiant, pour tout [ ]0,1x ∈ ,

2 2

5

(2 1)( 1) 2 1 1

a bx c

x x x x

+= + + + + +

.

2) Calculer l’intégrale 1

2 0

5

(2 1)( 1) dx

x x+ +∫

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Fiche 9

Exercice 1 :

1) Chercher trois réels a, b et c vérifiant

3 2

7 1

1 1 1

x a bx c

x x x x

+ += + + + − +

.

2) Calculer l’intégrale 3

7 1

1

x dx

x

+ +∫

.

Exercice 2 :

1) Chercher trois réels a, b et c vérifiant 3 2

3 2 2 3 2 2 2 2

1

( 1) ( 1) 1

x x A B C Dx E Fx G

x x x x x x x

+ + + += + + + + + + +

.

2) Calculer l’intégrale 3 2

3 2 2

1

( 1)

x x dx

x x

+ + +∫

.

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Fiche 10

Exercice 1 : Les coordonnées polaires et les coordonnées rectangulaires sont liées par les relations :

cosx r θ= , siny r θ= , rctan yA x

θ = , 2 2 2r x y= + .

Etablir

a) en considérant x et y fonctions de r et θ , que :

cos x

r θ∂ =

∂ , sin

y

r θ∂ =

∂ , sin

x r θ

θ ∂ = − ∂

, cos y

r θ θ

∂ = ∂

b) inversement, en considérant r et θ comme fonctions de x et de y , que :

cos r x

x r θ∂ = =

∂ , sin

r

y θ∂ =

∂ ,

sin

x r

θ θ∂ = − ∂

, cos

y r

θ θ∂ = ∂

.

Exercice 2 :

On considère la fonction 1

U r

= , avec 2 2 2r x y z= + + .

1) Etablir que : r x

x r

∂ = ∂

, r y

y r

∂ = ∂

, r z

z r

∂ = ∂

.

2) Montrer que : 2

U x

x r

∂ −= ∂

, 2

U y

y r

∂ −= ∂

, 2

U z

z r

∂ −= ∂

.

3) En déduire que U est solution de l’équation de Laplace : 2 2 2

2 2 2 0

U U U

x y z

∂ ∂ ∂+ + = ∂ ∂ ∂

.

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Fiche 11 Exercice 1 :

Soit : * , ( , ) arctan x

f x y y

  × →  

     a

1) Déterminer ( , )a bdf et (1, 2)df − .

2) Calculer 2

( , ) f

x y x y

∂ ∂ ∂

, 2

2 ( , )

f x y

x

∂ ∂

, 2

2 ( , )

f x y

y

∂ ∂

.

Exercice 2 : Soit 3 2: , ( , , ) ln(1 ) arctan f x y z x y z→ + +  a . Calculer les dérivées partielles de f au

point ( , , )x y z , puis calculer 2

( , , ) f

x y z x y

∂ ∂ ∂

, 2

2 ( , , )

f x y z

x

∂ ∂

, 2

( , , ) f

x y z x z

∂ ∂ ∂

.

Exercice 3 : Soit 3: , ( , , ) .f x y z xy xz yz→ + +  a Déterminer (0,0,0)df , puis (1,2,3)df .

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Fiche 12 Exercice 1 : Soit 2:f →  une fonction ayant des dérivées partielles continues. Déterminer f sachant

que : 2

2

1 (0,0) 0, ( , ) , ( , ) .

2 1

f f x f x y xy x y

x y y

∂ ∂= = = + ∂ ∂ +

Exercice 2 : Soit { }31 ( , , ) / ( , , ) 1S x y z f x y z= ∈ = la surface de niveau 1 de 2: ( , , )f x y z x yza et

1

1 1, 2,

2 A S  ∈   

. Déterminer une équation du plan tangent à 1S en A .

Exercice 3 : Soit le paraboloïde de révolution 2 22z x y= + .

Déterminer l’équation de son plan tangent au point ( 1 , 1 , 1 )

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