Exercice de mathématiques, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercice de mathématiques, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Révisions sur les corps finis, exercices, démonstrations.
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Université de Rennes 1 Master M1 de mathématiques Année 2006-2007 H04. Théorie algébrique des nombres

Feuille de TD 1

Révisions sur les corps nis

Exercice 1

1. Montrer queX2+X+1 est l'unique polynôme irréductible de degré 2 sur F2. F2[X]/(X2+X+1) est donc un corps de cardinal 4. Écrire sa table d'addition et de multiplication dans la base (cl(1), cl(X)). Déterminer l'ordre multiplicatif de chacun de ses éléments non nuls, et exhiber un générateur du groupe multiplicatif. Expliciter les automorphismes de ce corps.

2. Déterminer les polynômes irréductibles unitaires de degré d à coe- cients dans Fp lorsque (p, d) = (2, 3) et (3, 2). Si P est un tel polynôme, Fp[X]/(P ) est un corps de cardinal pd ; vérier que les corps obtenus sont deux à deux isomorphes et exhiber un générateur de leur groupe multiplicatif.

Exercice 2

1. Rappeler la dénition de la caractéristique d'un corps (voire d'un an- neau). Montrer que la caractéristique d'un corps est zéro ou un nombre premier.

2. Soit k un corps ni. Montrer que la caractéristique de k est un nombre premier p, et que le cardinal de k est une puissance de p.

3. Montrer que tout sous-groupe ni du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique (on pourra utiliser le théorème de structure des groupes abéliens nis). En particulier, le groupe multiplicatif d'un corps ni est cyclique.

4. Soit p un nombre premier et k un corps de caractéristique p. Montrer que l'application ϕp : k → k dénie par x 7→ xp est un endomorphisme de corps. Montrer que ϕp est un automorphisme si k est ni ou si k est algébriquement clos.

5. Soit p un nombre premier, et n > 1 un entier. Soit k une extension de Fp sur laquelle le polynôme Xp

n−X est scindé. Montrer que l'ensemble des racines de Xp

n − X dans k est un sous-corps de k à pn éléments.

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En déduire que toute extension de décomposition sur Fp du polynôme Xp

n − X est un corps ni à pn éléments (en particulier, il existe des corps nis à pn éléments).

6. Montrer que tout corps ni à pn éléments est une extension de décom- position sur Fp du polynôme Xp

n − X (en particulier, tous les corps nis à pn éléments sont isomorphes).

7. Soit p un nombre premier et k une extension algébriquement close de Fp. Soit n > 1 un entier. Montrer que k contient un unique sous-corps à pn éléments, qui est le sous-corps de k xé par ϕnp . On le note Fpn . Montrer qu'on a l'inclusion Fpd ⊂ Fpn si et seulement si d divise n. Si d divise n, montrer que le groupe des automorphismes du corps Fpn xant le sous-corps Fpd est cylique d'ordre n/d, engendré par ϕdp. Montrer que la réunion des Fpn pour n > 1 est la clôture algébrique de Fp dans k.

8. Soit k un corps ni de cardinal q. Pour n > 1, soit I(k, n) l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré n à coecients dans k. Montrer les relations

Xq n −X =

∏ d|n

∏ P∈I(k,d)

P

et qn =

∑ d|n

d#I(k, d).

Combien y a-t-il de polynômes irréductibles de degré 17 (respective- ment 172) sur F2 ?

9. Soit k un corps ni de cardinal q et P un polynôme de degré n à coecients dans k. Montrer que P est irréductible sur k si et seulement si le pgcd de P etXq

d−X vaut 1 pour tout entier d strictement inférieur à n.

10. Soit P un polynôme irréductible à coecients dans un corps ni k. Montrer que tout corps de rupture de P sur k est un corps de décom- position de P .

Exercice 3

1. Soit n > 1 et Φn ∈ C[X] le polynôme unitaire dont les racines sont simples et données par les racines primitives n-èmes de l'unité (c'est-à- dire les éléments de C∗ d'ordre n). Montrer l'égalité

∀n > 1, Xn − 1 = ∏ d|n

Φd.

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2. Pour tout nombre premier p, calculer Φp. Calculer Φ15. Pour tout nombre premier p et tout entier n > 1, montrer la relation

Φpn = Φp

( Xp

n−1 ) .

3. (a) (Division euclidienne dans Z[X]) Soit A et B deux éléments de Z[X], B étant supposé unitaire. Montrer qu'il existe un unique couple (Q,R) d'éléments de Z[X] vérant

i. R = 0 ou deg(R) < deg(B)

ii. A = BQ+R.

(b) Soit A et B deux éléments de Z[X], B étant supposé unitaire. On suppose que B divise A dans C[X]. Montrer que B divise A dans Z[X].

(c) En raisonnant par récurrence sur n, en déduire qu'on a Φn ∈ Z[X] pour tout n. Pour tout corps k, on peut donc considérer le poly- nôme Φn comme un polynôme à coecients dans k (en prenant les images dans k des coecients de Φn par l'unique morphisme d'anneau Z→ k).

4. Soit p un nombre premier premier et k un corps de caractéristique p. Montrer que pour tout entier n > 1 on a dans k[X] l'égalité Φp n = Φpn. Montrer que si n est premier à p, Φn est sans facteur multiple dans k[X].

5. Soit k un corps. Montrer que les racines de Φn dans une clôture algé- brique K de k sont les générateurs du groupe des racines n-èmes de l'unité dans K.

6. Soit k un corps ni de cardinal q, K une extension algébriquement close de k et n un entier premier à la caractéristique de k. Montrer que l'extension de k engendré par une racine de Φn dans K est l'extension de décomposition de Φn dans K. En déduire que tous les facteurs ir- réductibles de Φn dans k[X] ont le même degré. Montrer que ce degré est l'ordre de q dans le groupe multiplicatif (Z/nZ)∗.

7. Un polynôme irréductible à coecients dans un corps ni est dit pri- mitif si le groupe multiplicatif de son corps de rupture est engendré par l'une de ses racines. Parmi les polynômes irréductibles exhibés à l'exercice 1, lesquels sont primitifs ? Combien y a-t-il de polynômes ir- réductibles primitifs de degré 5 sur F2 ? Montrer qu'un polynôme à coecient dans un corps ni k irréductible de degré n est primitif si et seulement s'il divise Φpn−1 dans k[X].

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8. Montrer par au moins deux méthodes diérentes que le polynôme X4+ X + 1 est irréductible sur F2. Factoriser X16 − X sur F2. En déduire tous les polynômes irréductibles de degré 4 sur F2. Lesquels d'entre eux sont-ils primitifs ? Construire la table d'addition et de multiplication du corps à 16 éléments.

Exercice 4

1. Combien y a-t-il de carrés dans un corps ni ? En déduire que dans un corps ni tout élément est somme de deux carrés.

2. Soit p un nombre premier impair. Pour x ∈ F∗p, soit Ax l'ensemble {x,−x, x−1,−x1}. Soit R la relation binaire sur F∗p dénie par : xRy si et seulement si y ∈ Ax. Montrer que c'est une relation d'équivalence sur F∗p. Déterminer le cardinal des classes d'équivalences et en déduire que −1 est un carré dans Fp si et seulement si p ≡ 1 [4].

3. Soit p un nombre premier impair. Montrer les équivalences :

p ≡ 1 [3] ⇔ F∗p possède un élément d'ordre 3 ⇔ X2 +X + 1 possède une racine dans Fp ⇔ − 3 est un carré dans Fp.

Ceci montre un cas particulier de la loi de réciprocité quadratique.

Exercice 5

Soit G un groupe cyclique d'ordre n, noté multiplicativement. 1. Soit α un générateur de G. Pour tout entier d, montrer que αd est un

générateur de G si et seulement si d et n sont premiers entre eux.

2. Soit α ∈ G. On suppose que pour tout facteur premier ` de n on a α

n ` 6= 1. Montrer que α est un générateur de G.

3. On suppose que pour tout facteur premier ` de n, il existe un élément α` tel que (α`)

n ` 6= 1. Soit n` le plus grand facteur de n premier à `.

Montrer que l'élément α = ∏

` α n` ` est un générateur de G.

4. Trouver les générateurs du groupe multiplicatif de Fp pour

p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 43, 71, 139, 313.

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Exercice 6

Montrer que le polynôme X4 + 1 est réductible sur Fp pour tout p pre- mier. Montrer qu'il est irréductible sur Z.

Exercice 7

1. Soit P un polynôme à coecients dans Z et n > 2 un entier. On note P le polynôme obtenu en réduisant les coecients de P mo- dulo n. Construire un isomorphisme d'anneaux entre Z[X]/(n, P ) et (Z/nZ)[X]/(P ).

2. L'idéal de Z[X] engendré par 2 et X2 + 3X − 5 est-il maximal ? 3. Soit p un nombre premier. Montrer que Z[i]/pZ[i] est isomorphe à

Fp[X]/X 2 + 1. Donner un énoncé analogue pour Z[j]/pZ[j]. À quelle

condition pZ[j] est-il un idéal premier de Z[j] ?

4. Montrer que X2+3X−5 est irréductible sur Z. On note x l'image de X dans Z[X]/(X2 + 3X − 5). Montrer que tout élément de Z[X]/(X2 + 3X − 5) s'écrit de manière unique a + bx avec (a, b) ∈ Z2. Montrer que tout idéal non nul de Z[X]/(X2 + 3X − 5) contient un entier non nul (on montrera que si (a, b) ∈ Z2 et (a, b) 6= (0, 0) alors le produit (a + bx) (a − b(3 + x)) est un entier non nul). Déterminer les idéaux maximaux de Z[X]/(X2 + 3X − 5).

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