Exercice - Math - l’ensemble des classes d’entiers, Exercices de Génie Mathématiques avancée

Exercice - Math - l’ensemble des classes d’entiers, Exercices de Génie Mathématiques avancée

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Exercices de math sur l’ensemble des classes d’entiers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie, représentation graphique.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1974 \

EXERCICE 1

Soit Z/10Z l’ensemble des classes d’entiers modulo 10.

1. Résoudre, dans Z/10Z l’équation 2̇x = 0̇.

2. Résoudre, dans Z/10Z×Z/10Z le système

{ 5̇x + 2̇y = 1̇ 3̇x + 2̇y = 5̇

EXERCICE 2

1. Soit ϕ la fonction définie sur R+ par :

ϕ(u)= u− (1+u)Log (1+u)

Montrer, en étudiant le sens de variation de ϕ, que, pour u > 0, ϕ(u)< 0.

2. Soit f la fonction définie sur R par :

 

f (x) =

Log ( 1+ x2

)

x2 pour x 6= 0

f (0) = 1

Montrer que f est une fonction continue sur R.

3. À l’aide de la fonction ϕ de la question 1. étudier le sens de variation de f .

4. Étudier la limite de f (x) quand x tend vers +∞.

On ne demande pas de représentation graphique.

PROBLÈME

Les questions B - 1, et B - 2, sont indépendantes entre elles et indépendantes de la partie A.

C désigne l’ensemble des nombres complexes,.

Partie A

On désigne par P0 un plan vectoriel euclidien orienté et par ( −→ u ,

−→ v ) une base ortho-

normée directe de P0. À tout vecteur −→ V = x

−→ u + y

−→ v on associe le nombre complexe

z = x + iy , appelé affixe de −→ V .

On pose j = cos 2π

3 + isin

2π

3 .

j désigne le nombre complexe conjugué de j,. α, β, γ désignent trois nombres réels.

1. Calculer j +j. Vérifier que j2 = j.

Montrer que ( j, j

) est une base de C, considéré comme espace vectoriel sur R.

Quelles sont, dans cette base, les coordonnées de α+βj+γj ?

Quel est l’ensemble des éléments α, β, γ de R3 tels que α+βj+γj= 0 ?

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

2. Onpose z ′ = ( α+βj+γj

) z, et on désigne parϕ l’application qui à tout vecteur

−→ V de P0 d’affixe z, associe le vecteur

−→ V′ d’affixe z ′.

a. Montrer que ϕ est involutive si et seulement si ϕ est l’application iden- tique ou l’homothétie vectorielle de rapport −1.

Montrer que ces deux cas correspondant respectivement aux hypothèses β= γ=α−1 et β= γ=α+1.

b. Soit r la rotation vectorielle dont l’angle a pour mesure en radians θ.

Quelles sont les coordonnées, dans la base ( j, j

) de C, du nombre com-

plexe cosθ+ isinθ ?

Peut-on choisir α, β, γ pour que l’application ϕ coincide avec r ?

Partie B

E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base

orthonormée directe ( −→ I ,

−→ J ,

−→ K

) .

Soit Id l’application identique de E et f l’application linéaire de E dans E, telle que :

f ( −→ I )=

−→ K , f (

−→ J )=−

−→ I , f (

−→ K )=−

−→ J

On rappelle que f 2 = f f .

1. Montrer que f et f 2 sont des rotations vectorielles de même axe D engendré

par −→ I

−→ J +

−→ K .

Montrer que l’angle θ̂ de chacune des rotations vectorielles f et f 2 vérifie

θ̂+ θ̂+ θ̂ = 0̂

(0̂ désignant l’angle nul).

P désignant le plan vectoriel orthogonal à D, en déduire qu’on peut orienter

le plan de façon qu’une mesure en radians de l’angle de f soit 2π

3 .

2. α, β, γ étant un élément de R3, on définit l’application Φ(α,β,γ) de E dans E par :

Φ(α,β,γ) =αId+β f +γ f 2.

On rappelle que, f étant une application linéaire de E dans E, et λ un nombre réel, λ f désigne l’application de E dans E définie par :

∀ −→ V ∈E, ∀λ ∈R : (λ f )

( −→ V ) =λ f

( −→ V ) .

L (E) désignant l’ensemble des applications linéaires deEdansE, on admettra que l’additiondansE et lamultiplication par un réel définie ci-dessus donnent à L (E) une structure d’espace vectoriel sur R.

On désigne par F l’ensemble desΦ(α,β,γ) avec (α, β, γ) élément de R 3.

Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de L (E).

Quelle est la dimension de F ? (On pourra calculer Φ(α,β,γ) ( −→ I ) .

3. D désigne toujours l’axe des rotations vectorielles f et f 2, et P le plan vectoriel orthogonal à D.

a. Montrer que : ∀ −→ V ∈ D, Φ(α,β,γ)

( −→ V ) = (α+β+γ)

−→ V .

et ∀ −→ V ∈P, Φ(α,β,γ)

( −→ V ) ∈ P.

Rennes 2 juin 1974

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

b. Le plan P étant orienté de façon à ce qu’unemesure en radians de l’angle

de f soit 2π

3 , on convient désormais de l’identifier au plan P0 orienté de

la partie A.

Montrer que la restriction de Φ(α,β,γ) à P est l’application ϕ définie dans A - 2.

4. Quel est l’ensemble des éléments (α, β, γ) de R3 tels que Φ(α,β,γ) soit : a’fJ’-Y

a. involutive ? Préciser dans chaque cas la nature de l’application et l’en- semble des vecteurs invariants.

b. une rotation vectorielle ?

On pourra dans a. et b. considérer les restrictions deΦ(α,β,γ) à D et à P.

Rennes 3 juin 1974

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