Exercice - Math - l’ensemble des matrices carrées, Exercices de Génie Mathématiques avancée

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Exercices de math sur l’ensemble des matrices carrées Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres réels, le plan affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1974 \

EXERCICE 1

Démontrer que pour tout entier naturel n :

32n+1+2n+2 est divisible par 7.

EXERCICE 2

Soit E l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 de la forme :

A =

(

a b

3b a

)

a et b étant deux nombres réels.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel sur R de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Donner une base de E et la dimension de E.

2. Dans le plan vectoriel réel P, on choisit une base (

−→

ı , −→

ı )

et on considère l’en-

domorphisme ϕ de P dont la matrice dans la base (

−→

ı , −→

ı )

est A.

Pour quelles valeurs de a et b, ϕ est-il une bijection de P sur P ?

Déterminer suivant les valeurs de a et b le noyau de ϕ et l’image de P par ϕ.

PROBLÈME

1. Étudier la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f (x)= 1

2

x2+2x−3 ∣

Dans le plan affine euclidien P, rapporté au repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

(unité : 2 cm), tracer la courbe représentative (C1) de f , dont on déduira la courbe représentative (C2) de (− f ). On montrera que la réunion de (C1) et (C2) est composée d’une ellipse (E ) et d’une hyperbole (H) dont on précisera les éléments remarquables : sommets, asymptotes.

2. On définit dans P la symétrie oblique s dont l’ensemble des points invariants est la droite (d1) d’équation : 2y x−1 = 0 et dont la direction est donnée par la droite (d2) d’équation : 2y + x+1= 0.

a. Former la matrice dans la base 0.j) de l’application linéaire S associée à s .

b. Calculer en fonctionde (x ; y), coordonnées deM , les coordonnées (

x′ ; y ′ )

deM ′ = s(M).

c. Montrer que l’ellipse (E ) est globalement invariante par s. Quels sont les transformés des axes de symétrie de (E ) ?

3. Soit un point mobile P, dont les coordonnées par rapport au repère (

O, −→

ı , −→

)

sont, à l’instant t , définies par les relations :

{

x(t) = et +e−t −1

y(t) = 1

2

(

et −e−t )

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

a. Montrer que la trajectoire de P est une partie de l’hyperbole (H) que l’on ne demande pas de préciser.

b. Quelles sont les composantes du vecteur-vitesse −−−→

V(t) de P à l’instant t ?

Déterminer t pour que −−→

OP et −−−→

V(t) soient colinéaires.

En déduire l’équation des tangentes à la trajectoire de P passant par O.

c. Quelles sont les composantes du vecteur accélération −−−→

Γ(t) de P à l’ins- tant t ?

Montrer que l’ensemble des points R tels que −−→

OR = −−→

Γ(t) se déduit de la trajectoire de P par une transformation simple que l’on précisera. En

déduire une construction de −→

PS = −−−→

Γ(t) .

Calculer le produit scalaire −−−→

V(t) · −−−→

Γ(t) et étudier son signe.

Que peut-on en déduire pour le mouvement de P sur sa trajectoire ?

Rouen 2 juin 1974

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