Exercice - Math - l'ensemble des nombres complexes, Exercices de Génie Mathématiques avancée

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Exercices de math sur l'ensemble des nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les suites géométriques, les équations.
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[ Baccalauréat C Reims juin 1974 \

EXERCICE 1

Soit f l’application de C, ensemble des nombres complexes, dans lui-même définie par :

f (z)= z3+ (1−5i)z2−2(5+ i)z+8i

1. Calculer f (2i). En déduire que f (z) peut s’exprimer comme produit d’un po- lynôme de degré un par un polynôme de degré deux de la variable z.

2. Résoudre dans C l’équation f (z)= 0 (1).

Calculer le module et l’argument de chacune des solutions.

3. On désignera par z1, z2, z3 les racines de l’équation (1), z2 étant la seule racine

d’argument π

2 [2π].

Établir que (z1, z2, z3) et (z3, z2, z1) sont des suites géométriques dont on dé- terminera la raison.

EXERCICE 2

On considère la fonction numérique de la variable réelle x :

x 7−→ f (x)= sinxLog (cosx)

1. Étudier les variations de cette fonction lorsque x décrit le segment [

0 ; π

4

]

; on

aura à utiliser le signe de Log (cosx).

2. Calculer

π

4

0 sinxLog (cosx)dx

(On pourra utiliser une intégration par parties).

En déduire, dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , l’aire de la partie de ce plan comprise entre l’axe x′Ox, les droites d’équations x = 0 et x = π4 et la courbe représentative de la fonction f .

PROBLÈME

Partie A

Il est rappelé que l’ensemble M2×2 des matrices carrées d’ordre deux à coefficients réels est un espace vectoriel sur R et que ce même ensemble muni de l’addition et de la multiplication des matrices est un anneau unitaire, la matrice unité étant

I =

(

1 0 0 1

)

.

On donne la matrice A =

(

5 4 −4 −3

)

.

Soit E l’ensemble desmatricesM de la formeM = aA+bI où a et b sont des nombres réels arbitraires.

1. a. Établir que E est un espace vectoriel sur R de dimension deux.

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

b. Démontrer la relation : A2−2A+ I= 0 où 0 désigne la matrice nulle.

En déduire que E est une partie stable de M2×2 pour la multiplication et que E est muni d’une structure d’anneau commutatif unitaire.

Établir que A est une matrice inversible et que la matrice inverse A−1

appartient à E . Toute matrice M est-elle inversible ?

2. a. Résoudre dans E l’équation de la variableM : M2 =M .

b. Établir que si M n’est pas inversible, M2= 0.

3. a. On pose A0 = I, A1 = A et pour tout n entier, n> 2, An = An−1× A.

Calculer A2, A3, A4 en fonction de A et de I.

b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

An = anA+bn I

an et bn sont deux entiers relatifs que l’on déterminera.

c. À l’entier naturel non nul n on associe la matrice

Bn = i=n

i=1 Ai = A+ A2+ . . .+ Aı+ . . .+ An

Donner en fonction de n, les coordonnées de Bn dans la base (A, I) de E .

Partie A

Soit P un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée B = (

−→

ı , −→

)

.

On considère la matrice A =

(

5 4 −4 −3

)

et l’on désigne par fa, b l’endomorphisme de

P dematriceM = aA+bI dans la base B.

1. a. Comment faut-il choisir a et b pour que fa, b ne soit pas bijective ?

b. Démontrer que toutes les applications fa, b non bijectives, distinctes de f0, 0 admettent le même noyau K et le même ensemble image Im. Déter- miner K et Im ; que remarque-t-on pour ces deux ensembles ?

2. Soit −→

u = −→

ı + −→

et −→

v = −→

ı − −→

deux vecteurs de P.

a. Montrer que (

−→

u , −→

v )

est une base de P.

b. On considère l’application f 1 8 , −

1 8 . Déterminer la matrice de cette appli-

cation linéaire dans la base B′ = (

−→

u , −→

v )

.

c. Soit s et p les endomorphismesdeP suivants : s est la symétrie vectorielle

orthogonale par rapport à la droiteD de base −→

ı ; p est la projection vec-

torielle sur la droite D ′ de base −→

v dans la direction de la droite D ′′ de base

−→

u .

Établir que : f 1 8 , −

1 8 = p s.

(◦ désignant la loi de composition des applications).

Reims 2 juin 1974

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