Exercice - Math - l’ensemble des nombres réels, Exercices de Génie Mathématiques avancée

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Exercices de math sur l’ensemble des nombres réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les courbes représentatives de f et g, l'espace vectoriel euclidien, le vecteur directeur.
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[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1974 \

EXERCICE 1

Soit k un nombre réel compris entre 0 et 1 : k ∈]0 ; 1[.

Soit f la fonction x 7−→ kx+1−k de l’ensemble des nombres réels positifs R+ dans

l’ensemble des nombres réels R, et g la fonction de R+ dans R définie par :

{

g (0) = 0

g (x) = xk , si x > 0

On rappelle que xk = ekLogx .

Comparer suivant les valeurs de x, f ′(x) et g ′(x). En déduire que :

x ∈R⋆+,

x

1 f ′(t)dt >

x

1 g ′(t)dt .

puis que ∀x ∈R⋆+, f (x)> g (x).

Que signifie cette inégalité pour les courbes représentatives de f et g ?

EXERCICE 2

1. Démontrer par récurrence que, quel que soit l’entier naturel n, non nul, 2 n-l

1+2i+3i+ . . .+nin−1 = −(n+1)in+1−nin + i

2

2. En déduire que, quel que soit l’entier naturel k, non nul,

1−3+5−7+ . . .+ (2k+1)(−1)k = (k+1)(−1)k

et 2−4+6− . . .+2k(−1)k−1 = 1− (2k+1)(−1)k

2

PROBLÈME

Partie A

Soit (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

une base orthonormée d’un espace vectoriel euclidien V3 de dimen-

sion 3.

On désigne par ϕ l’endomorphisme de V3 défini par :

ϕ (

−→ ı )

= −→ ı , ϕ

(

−→ )

= −→ , ϕ (k)=

1

2

−→ ı +

1

2

−→

1. Soit X , Y , Z les coordonnées d’un vecteur −→ u de V3.

Exprimer les coordonnées X1, Y1, Z1 du vecteur −→ u1 transformé de

−→ u par ϕ en

fonction de X , Y et Z .

2. Déterminer le noyau et l’image de ϕ. Reconnaître ϕ.

3. On donne a, b, c réels, Quelle est l’image par ϕ du plan vectoriel d’équation aX +bY +cZ = 0 ? Discuter.

N. B. La suite du problème est indépendante de cette dernière question A 3.

Partie B

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

Soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormé d’un espace affine euclidien E3 associé à

V3. On désigne par f l’application affine de E3 dont l’endomorphisme associé est ϕ

et telle que f (O) = 0.

1. Montrer que l’image du point M de coordonnées x, y, z est le point M1 de coordonnées x1, y1, z1 telles que :

x1 = x+ 1

2 z

y1 = y + 1

2 z

z1 = 0

2. Ondésigne par A1, B1, C1, D1 les images respectives de A(1 ; 0 ; 1), B(−1 ; 0 ; 1), C(−1 ; 0 ; −1), D(1 ; 0 ; −1).

Quelle est l’image par f du segment AB ?

Quelle est la figure géométrique A1B1C1D1 ?

3. On considère le plan dont un repère est (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Soit Γ le cercle de ce plan, de centre O et de rayon 1. Ce cercle a donc pour

équations :

y = 0 et x2+ z2 = 1

Soit Γ1 l’image de Γ par f . Montrer que Γ1 a pour équations

z1 = 0 et x 2 1 +5y

2 1 −2x1y1 = 1.

Partie C

On se propose, dans cette partie, de déterminer la nature de Γ1. On oriente le plan

dont un repère est (

O, −→ ı ,

−→ )

en choisissant (

O, −→ ı ,

−→ )

comme repère direct, Soit (

O, −→ i ′ ,

−→ j ′ )

le repère se déduisant de (

O, −→ ı ,

−→ )

par la rotation plane de centre 0 et

d’angle de détermination α (a ∈ [0 ; 2π[).

Soit M1 le point de coordonnées x1 et y1 dans (

O, −→ ı ,

−→ )

et de coordonnées x′ et y

dans (

O, −→ i ′ ,

−→ j ′ )

. On admettra que :

{

x1 = x ′ cosαy ′ sinα

y1 = x ′ sinα+ y ′ cosα

1. Quelle est l’équation de Γ1 dans (

O, −→ i ′ ,

−→ j ′ )

?

2. Montrer qu’il existe une valeur et une seule α1 de α, strictement comprise

entre 0 et π

2 telle que l’équation de Γ1 dans le repère

(

O, −→ i ′ ,

−→ j ′ )

soit de la

forme : kx′2+ℓy ′2 = 1. (

On pourra montrer que α1 vérifie l’équation tg2α= 1

2

)

.

3. Montrer alors que Γ1 est une ellipse dont on déterminera le grand axe et le petit axe.

Partie D

1. Montrer que si −→ w désigne un vecteur directeur de la tangente en M à Γ, alors

ϕ (

−→ w

)

est un vecteur directeur de la tangente en M1 = f (M) à Γ1. (On pourra

exprimer les coordonnées deM en fonction d’un paramètre t).

2. En déduire que Γ1 est tangente aux quatre côtés du quadrilatère A1B1C1D1 en des points que l’on précisera.

Strasbourg 2 juin 1974

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