Exercice - Math - la fonction numérique de la variable réelle, Exercices de Génie Mathématiques avancée. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de math sur la fonction numérique de la variable réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation à coefficients complexes, le vecteur.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Poitiers \

EXERCICE 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie par :

{ f (x) = xe−1/|x| pour x 6= 0 f (0) = 0

1. f est-elle continue sur R ?

2. f est-elle dérivable sur R ? f ′ est-elle continue sur R ?

EXERCICE 2

On donne l’équation à coefficients complexes :

(E ) z3(i−1)− z2(5i−11)− z(43+ i)+9+37i= 0.

1. Vérifier que i est solution de l’équation (E ).

2. Résoudre (E ).

PROBLÈME

Partie A

On considère l’ensemble F des endomorphismes f d’un plan vectoriel V vérifiant :

f f = H−1 où H−1 désigne l’homothétie vectorielle de rapport (−1), on désignera par I l’application identique dans V .

1. Montrer que f est bijectif. f peut-il être involutif ?

2. Soit f 2 = f f , f 3 = f f f , f 4 = f f f f . Montrer que l’ensemble Φ =

{ f , f 2, f 3, f 4

} , muni de la loi ◦, est un groupe

commutatif.

Montrer que f −1 est un élément de F. I est-elle un élément de F ?

F, muni de la loi ◦, est-il un groupe ?

3. Soit −→ u un vecteur non nul de V . Montrer que

(−→ u , f

(−→ u

)) est une base de V .

Quelle est la matrice de f par rapport à cette base ?

4. Soit (−→ ı ,

−→

) une base de V . On pose f

(−→ ı

) = a−→ı +b−→. Montrer qu’on a né-

cessairement : b 6= 0 et former la matrice de f par rapport à la base (−→ ı ,

−→

) . En

déduire celle de f −1.

Partie B

V est un plan vectoriel euclidien orienté et (−→ ı ,

−→

) une base orthonormée directe.

1. Quelles sont les transformations orthogonales de F ? Déterminer les valeurs

des couples (a ; b) correspondantes.

2. Lorsque f n’est pas une transformation orthogonale de F, soit −→ u un vecteur

unitaire de V . On désigne par α une mesure de l’angle á(−→ ı ,

−→ u

) .

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Montrer qu’il existe des valeurs de α pour lesquelles −→ u et f

(−→ u

) sont or-

thogonaux.

b. −→ u étant l’un des vecteurs définis en a. on considère la base orthonormée

directe (−→ u ,

−→ v

) . On pose f

(−→ u

) =λ

−→ v .

Quelle est la matrice de f par rapport à la base (−→ u ,

−→ v

) ? Peut-on avoir

|λ| = 1 ? c. Soit E un plan affine associé à V et O un point de E. On considère l’appli-

cation affine g admettant O comme point invariant et f comme endo-

morphisme associé. (x ; y) étant le couple des coordonnées d’un point

M de E, par rapport au repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) , calculer les coordonnées x′ et

y ′ deM ′ = g (M) par rapport aumême repère. Former l’équation de l’image Γ′ du cercle Γ de centre O et de rayon 1 par g . Quelle est la nature de Γ′ ?

d. On prend a = 2 p 3

3 et b = 1. Calculer les valeurs de α pour lesquelles

−→ u

et f (−→ u

) sont orthogonaux, puis calculer λ et dessiner Γ′.

Poitiers 2 septembre 1974

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