Exercice - Math - la transformation, Exercices de Génie Mathématiques avancée

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Exercices de math sur la transformation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le complexe conjugué de z, la bijection.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1974 \

EXERCICE 1

On considère l’application f de l’ensemble N des entiers naturels vers l’ensemble Z/7Z définie par : f (n)= 5n . (

5n désignant la classe d’équivalence de5n (mod 7) )

1. Déterminer f (n) pour n appartenant à l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6}

2. Montrer que f est périodique et a pour période 6.

3. Déterminer f (n) suivant les valeurs de n.

4. En déduire, suivant les valeurs de n, le reste de la division par 7 du nombre 12192n .

EXERCICE 2

Dans le plan complexe orienté, muni du repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

orthonormé direct, on

considère la transformation T qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par :

z ′ = 2(1− i)z + 7

2 i.

(z désigne le complexe conjugué de z). Démontrer que T est la composée d’une symétrie orthogonale et d’une homothétie dont le centreω appartient à l’axe ∆ de la symétrie. Déterminer ∆, ω, et le rapport de l’homothétie.

PROBLÈME

À tout entier naturel n, on associe le polynôme Pn défini par :

Pn(x)= 1+ x + x2

2! +

x3

3! + . . .+

xn

n! =

n

i=0

xi

i !

(On rappelle : 0!= 1) Soit fn la fonction définie par :

f0(x) = ex −1 fn (x) = ex Pn (x)

1. Étudier et représenter graphiquement les fonctions f0 et f1.

2. a. Montrer que la fonction Fn définie par : Fn(x)= fn(x)+ fn (−x) est paire. Montrer que la fonction Gn définie par : Gn(x) = fn (x)− fn(−x) est im- paire.

b. Étudier et représenter graphiquement les fonctions F0 et G0.

c. Démontrer que, quel que soit le réel positif λ, la restriction de F0 à l’in- tervalle [0 ; λ] est une bijection de [0 ; λ] sur [F0(0) : F0(λ)], et que la restriction de G0 à tout intervalle [a ; b] est une bijection de [a ; b] sur [G0(a) ; G0(b)].

d. Démontrer que la fonction réciproquede la restriction deF0 à l’intervalle [0 ; +∞[ est définie sur [0 ; +∞[ par :

x 7−→ Log x +2+

p x2+4x

2

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

et que la fonction réciproque de G0 est définie sur ]−∞ ; +∞[ par :

x 7−→ Log x +

p x2+4 2

3. a. Montrer que, pour tout x réel : fn (x)= f n+1(x) et que : fn (0)= 0. b. Montrer :

f1(x)> 0 si x 6= 0 f2(x)> 0 si x > 0 f2(x)< 0 si x < 0

Plus généralement, discuter le signe de fn (x) en fonction du signe du réel non nul x et de la parité de l’entier naturel n.

c. Montrer pour x < 0 : 1+ x < ex < 1+ x + x2

2 .

En déduire un encadrement de e−0,1.

Comment pourrait-on obtenir un encadrement plus précis ?

Toulouse 2 juin 1974

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