Exercice - Math - la transformation, Exercices de Génie Mathématiques avancée

Exercice - Math - la transformation, Exercices de Génie Mathématiques avancée

PDF (31.2 KB)
2 pages
327Numéro de visites
Description
Exercices de math sur la transformation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le complexe conjugué de z, la bijection.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ToulouseCjuin1974*.dvi

[ Baccalauréat C Toulouse juin 1974 \

EXERCICE 1

On considère l’application f de l’ensemble N des entiers naturels vers l’ensemble Z/7Z définie par : f (n)= 5n . (

5n désignant la classe d’équivalence de5n (mod 7) )

1. Déterminer f (n) pour n appartenant à l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6}

2. Montrer que f est périodique et a pour période 6.

3. Déterminer f (n) suivant les valeurs de n.

4. En déduire, suivant les valeurs de n, le reste de la division par 7 du nombre 12192n .

EXERCICE 2

Dans le plan complexe orienté, muni du repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

orthonormé direct, on

considère la transformation T qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par :

z ′ = 2(1− i)z + 7

2 i.

(z désigne le complexe conjugué de z). Démontrer que T est la composée d’une symétrie orthogonale et d’une homothétie dont le centreω appartient à l’axe ∆ de la symétrie. Déterminer ∆, ω, et le rapport de l’homothétie.

PROBLÈME

À tout entier naturel n, on associe le polynôme Pn défini par :

Pn(x)= 1+ x + x2

2! +

x3

3! + . . .+

xn

n! =

n

i=0

xi

i !

(On rappelle : 0!= 1) Soit fn la fonction définie par :

f0(x) = ex −1 fn (x) = ex Pn (x)

1. Étudier et représenter graphiquement les fonctions f0 et f1.

2. a. Montrer que la fonction Fn définie par : Fn(x)= fn(x)+ fn (−x) est paire. Montrer que la fonction Gn définie par : Gn(x) = fn (x)− fn(−x) est im- paire.

b. Étudier et représenter graphiquement les fonctions F0 et G0.

c. Démontrer que, quel que soit le réel positif λ, la restriction de F0 à l’in- tervalle [0 ; λ] est une bijection de [0 ; λ] sur [F0(0) : F0(λ)], et que la restriction de G0 à tout intervalle [a ; b] est une bijection de [a ; b] sur [G0(a) ; G0(b)].

d. Démontrer que la fonction réciproquede la restriction deF0 à l’intervalle [0 ; +∞[ est définie sur [0 ; +∞[ par :

x 7−→ Log x +2+

p x2+4x

2

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

et que la fonction réciproque de G0 est définie sur ]−∞ ; +∞[ par :

x 7−→ Log x +

p x2+4 2

3. a. Montrer que, pour tout x réel : fn (x)= f n+1(x) et que : fn (0)= 0. b. Montrer :

f1(x)> 0 si x 6= 0 f2(x)> 0 si x > 0 f2(x)< 0 si x < 0

Plus généralement, discuter le signe de fn (x) en fonction du signe du réel non nul x et de la parité de l’entier naturel n.

c. Montrer pour x < 0 : 1+ x < ex < 1+ x + x2

2 .

En déduire un encadrement de e−0,1.

Comment pourrait-on obtenir un encadrement plus précis ?

Toulouse 2 juin 1974

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome