Exercice - Math - le nombre complexe, Exercices de Génie mathématiques

Exercice - Math - le nombre complexe, Exercices de Génie mathématiques

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Exercices de math sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le domaine de définition de f, le repère orthonormé.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Rouen \

EXERCICE 1

On considère le nombre complexe :

z = 1

2 [sinϕ+ i(1+cosϕ)]

ϕdésigneunnombre réel variable, différent deπ, appartenant à l’intervalle [0 ; 2π] .

1. Calculer en fonction de ϕ le module et l’argument de chacun des nombres z

et z ′ =− 1

z .

2. On désigne par M et M ′ les images respectives de z et z ′ construites dans le

plan euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

; déterminer l’en-

semble (Γ) des points M et l’ensemble (

Γ ′ )

des points M ′ lorsque ϕ varie.

EXERCICE 2

1. On pose f (t)= Log

t

t +1

.

Quel est le domaine de définition de f ?

Quel est la dérivée de f ?

2. Pour tout nombre réel x, strictement positif, on pose

g (x)= ∫x

1

Log t

(1+ t)2 dt .

Calculer g (x) au moyen d’une intégration par parties

3. Étudier lim x→+∞

g (x), lim x→+0+

g (x).

PROBLÈME

Le plan euclidien est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a et k sont deux réels (a 6= 1). Ta, k est l’application affine du plan dans lui-même qui au point M(x ; y) fait cor- respondreM1

(

x1 ; y1 )

tel que

x1 = ka

1−a x+

1−k

1−a y

y1 = a(k−1)

1−a x+

1−ak

1−a y

Partie A

1. Déterminer suivant les valeurs de a et k l’ensemble des points invariants par Ta, k .

2. Étudier pour Ta, k la possibilité d’être bijective et montrer que lorsque Ta, k n’est pas une bijection, elle est une projection que l’on précisera.

Terminale C A. P. M. E. P.

3. L’application Ta, k peut-elle être involutive ? Préciser alors sa nature et la défi- nir géométriquement.

Partie B

On considère dans cette partie les applications Ta, k pour lesquelles on a : a = k. L’application Tk , k sera notée plus brièvement Tk ? On pose M2 = Tk (M) et plus généralement, pour tout entier n supérieur à 1 : Mn = Tk (Mn−1).

1. Montrer par récurrence que Mn a pour coordonnées :

{

xn = y + (

kn−1+kn−2+ . . .+k )

(y x) yn = y +

(

kn +kn−1+ . . .+k )

(y x)

Dans quels cas le pointMn admet-il une position limite N quand n augmente indéfiniment ?

Quel est l’ensemble des points N ?

2. Soit k =− 1

2 . On considère les trois points

A(−1 ;+2), B(+4 ; +2) et C(+3 ; −1)

et on désigne par M le centre de gravité du triangle ABC.

Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle A1B1C1.

Que peut-on dire du centre de gravité Mn du triangle AnBnCn quand n aug- mente indéfiniment ?

3. L’application Tk peut-elle être une symétrie orthogonale par rapport à une droite ?

Rouen 2 septembre 1974

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