Exercice - Math - les entiers naturels, Exercices de Génie Mathématiques avancée

Exercice - Math - les entiers naturels, Exercices de Génie Mathématiques avancée

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Exercices de math sur les entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature de S, la définition de la continuité d’une fonction.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1974 Rennes \

EXERCICE 1

Déterminer tous les entiers naturels n tels que 3+10n soit divisible par 7.

EXERCICE 2

P est unplan affine euclidienorienté rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit I et J les points de P tels que −→ OI =

−→ ı et

−→ OJ =

−→ . On désigne par RI et RJ les

rotations de centres respectifs I et J et d’angle + π

2 (mesuré en radians), et par T la

translation de vecteur −→ IJ . Soit S la transformation :

S =RJ ◦T RI.

1. Déterminer la nature de S.

2. Achever la caractérisation de S.

PROBLÈME

N. B. - Les parties B et C, sauf une partie de B - 2. sont indépendantes de A. Les questions C -1. et C - 2. peuvent être traitées sans qu’une base

(

ϕ0, ϕ1, ϕ2 )

ait

été trouvée en B 3.

Partie A

Soit f une fonction continue sur [−1 ; +1] et telle que, pour tout x élément de [−1 ; +1],

f (x)> 0.

On sait qu’alors

+1

−1 f (x)dx> 0.

On suppose, en outre, qu’il existe un nombre x0 de l’intervalle [−1 ; +1] tel que

f (x0) 6= 0, c’est-à-dire que f n’est pas la fonction nulle sur [−1 ; +1].

1. Montrer, en utilisant la définition de la continuité d’une fonction, qu’il existe au moins un intervalle [a ; b] inclus dans [−1 ; +1] avec a 6= b et tel que :

x ∈ [a ; b], ∣

f (x)− f (x0) ∣

∣6 f (x0)

2 .

2. Endéduire que, pour tout x appartenant à cet intervalle [a ; b] : f (x)> 1

2 f (x0),

puis que

b

a f (x)dx > 0.

3. Montrer alors que ∫+1

−1 f (x)dx > 0

Partie B

Soit E l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels, définies sur R et de

degré inférieur ou égal à 2.

1. Montrer brièvement que E est un espace vectoriel sur R. Quelle est la dimen- sion de E ?

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Montrer que l’application de E × E dans R définie par :

( f ; g ) 7−→

∫+1

−1 f (x)g (x)dx

est un produit scalaire sur E.

(Onpourra utiliser A pour démontrer l’une des propriétés du produit scalaire).

On posera

∫+1

−1 f (x)g (x)dx =< f , g > et

< f , g >= ‖ f ‖.

3. Vérifier que les fonctions polynômes P0 et P1 définies, pour tout x réels, par : P0(x)= 1 et P1(x)= x, sont orthogonales pour ce produit scalaire, c’est-à-dire

que <P0, P1 >= 0.

Déterminer une fonction polynôme P2 de degré 2 orthogonale à la fois à P0 et

P1.

Calculer ‖P0‖, ‖P1‖, ‖P2‖.

En déduire une base orthonormée (

ϕ0, ϕ1, ϕ2 )

de E.

Partie C

Pour toute fonction polynôme P , élément de E, c’est-à-dire à coefficients réels, dé-

finie sur R et de degré inférieur ou égal à 2, on pose

I (P )=

∫+1

−1

[

ex P (x) ]

dx.

On se propose de déterminer un polynôme P de degré inférieur ou égal à 2 tel que :

P ∈ E, I (Pm)6 I (P ) (1)

et de calculer I (Pm).

Pour cela, on pose P =α0ϕ0+α1ϕ1+α2ϕ2 où (

ϕ0, ϕ1, ϕ2 )

désigne la base orthonor-

mée trouvée en B 3. et α0, α1, α2 trois nombres réels.

1. Déterminer, sans calcul, ∫+1

−1 [P (x)]dx en fonction de α0, α1 et α2 ?

2. On suppose connues les intégrales :

ai =

∫+1

−1 e(x)dx, pour i ∈ {0, 1, 2}

Démontrer que :

I (P )=

∫+1

−1 e2x dx+ (α0−a0)

2 + (α1−a1)

2 + (α2−a2)

2

Comment faut-il choisir α0, α1 et α2 pour que I (P ) soit le plus petit possible ?

En déduire qu’il existe un polynôme P de E et un seul satisfaisant à (1).

3. Calculer ∫+1

−1 ex dx,

∫+1

−1 xex dx,

∫+1

−1

(

3x2−1 )

ex dx.

En déduire :

a. a0, a1, a2.

b. I (Pm ).

c. L’expression explicite de Pm(x) sous la forme a + bx + cx2, avec a, b, c réels.

Rennes 2 septembre 1974

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