Exercice sur l'analyse fonctionnelle, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercice sur l'analyse fonctionnelle, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques sur l'analyse fonctionnelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Convergence faible et faible - dualité, exercice 1 Convergence faible, non forte : perte de masse à l'infini, exer...
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Analyse fonctionnelle Premier semestre - 2012

Feuille de TD 2. Espaces de Baire

Définition. Soit E un espace topologique.

• Une partie A est dite rare si son adhérence Ā est d’intérieur vide.

• Une partie A est dite maigre (ou de première catégorie) si elle est réunion dénombrable de parties rares.

• L’espace E est dit de Baire si l’une des deux assertions équivalentes est vérifiée :

(B1) toute réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide;

(B2) tout intersection dénombrable d’ouverts denses dans E est dense dans E.

Exercices d’application du cours

Exercice 1. Montrer que Q (muni de la topologie induite par celle de R) n’est pas un espace de Baire.

Exercice 2. Parties maigres

1. Montrer que L2([0, 1]) est maigre dans X = L1([0, 1]). Indication : on pourra montrer que l’ensemble

Fn =

{ f ∈ L1([0, 1]),

∫ 1 0

|f(x)|2dx ≤ n }

est un fermé de X, d’intérieur vide.

2. Donner un exemple de partie de R qui est d’intérieur vide mais qui n’est pas rare.

Exercice 3. Soit E un espace vectoriel normé de dimension infinie, admettant une base algébrique dénombrable (en)n∈N, c’est à dire :

∀x ∈ E, x = ∑ finie

λiei.

Justifier que E est réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels de dimension finie. En déduire que E n’est pas complet.

Exercice 4. On note C0(R+) l’ensemble des fonctions continues sur R+ valeurs dans R tendant vers 0 l’infini.

1. Montrer que C0(R+) muni de la norme ‖f‖ = sup x≥0 |f(x)| est un espace de Banach.

2. Soient (xn) ∈ RN+, (yn) ∈ RN. On veut montrer qu’il existe f ∈ C0(R+) telle que f(xn) 6= yn pour tout n.

(a) Montrer que Fn = {f ∈ C0(R+) | f(xn) = yn} est un fermé d’intérieur vide.

(b) En déduire que ⋃ n∈N Fn est d’intérieur vide. Conclure.

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Exercices pour aller plus loin

Exercice 5. Théorème de la limite simple de Baire Soit X un espace métrique complet, soit Y un espace métrique, et (fn)n≥1 une suite de fonctions continues de X dans Y convergeant simplement vers la fonction f .

Pour x0 ∈ X, on introduit l’oscillation de f en x0 :

ω(f, x0) = inf V ∈V(x0)

sup {d(f(x), f(x′)) | x, x′ ∈ V }

où V(x0) désigne l’ensemble des voisinages de x0.

1. Montrer que

(i) ω(f, x0) = 0⇐⇒ f est continue en x0. (ii) L’ensemble des points de continuité de f est donné par C(f) =

⋂ p>0 Ω 1p .

(iii) Pour tout ε > 0, l’ensemble Ωε = {x ∈ X | ω(x) < ε} est ouvert.

2. On pose, pour ε′ > 0, Gn = {x ∈ X | d(fn(x), f(x)) ≤ ε′}. Montrer en utilisant { x ∈ X | ∀m ≥ n, (.fm(x), fn(x)) ≤ ε

′ }

qu’il existe x0 ∈ X et δ > 0 tels que B(x0, δ) ⊂ Gn.

3. En déduire que ω(f, x0) ≤ 6ε′ et que pour tout ε > 0, Ωε est non vide.

4. Montrer que tout ouvert Ω de X est de Baire.

5. En déduire que pour tout ε > 0 et tout Ω de X, Ω ∩ Ωε 6= ∅ (Indication : utiliser la suite ( fn|Ω

) n≥1).

6. En conclure que C(f) est dense dans X.

Exercice 6. Densité des fonctions continues nulle part dérivables On va montrer que l’ensemble A des fonctions continues sur [0, 1] qui ne sont dérivables en aucun point de [0, 1] est dense dans C 0([0, 1]).

On pose pour tout n ∈ N∗,

Fn = { f ∈ C 0([0, 1]) | ∃x ∈ [0, 1], ∀y ∈ [0, 1], |f(y)− f(x)| ≤ n|x− y|

} .

1. Vérifier que Ac est inclus dans ⋃

n≥1 Fn.

2. Montrer que Fn est fermé pour tout n ∈ N∗. Soient n ∈ N∗, ε > 0 et f ∈ Fn.

3. Justifier qu’il existe un polynôme réel P tel que ‖f − P‖∞ < ε/2. 4. Construire une fonction g0 continue sur [0, 1] telle que

∀x ∈ [0, 1], ∃y ∈ [0, 1], |g0(y)− g0(x)| > ‖P ′‖+ n+ 1 et ‖g0‖ ≤ ε/4.

5. En utilisant la fonction g = g0 + P , montrer que Fn est d’intérieur vide.

6. Conclure.

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