Exercices - algèbre 1, Exercices de Algèbre linéaire. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique - algèbre 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le vecteur directeur de la tangente, l’equation, la représentation graphique.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1977 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit EUn plan affinemuni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

. On appelle (x ; y)les coordonnées

d’un point M dans ce repère. Soit P =

{

M ∈E/x2−2y = 0 }

.

1. Vérifier que −→ T =

−→ ı +λ

−→ est un vecteur directeur de la tangente à P au point

Ω d’abscisse λ ?

Montrer que pour tout λ, (−→ T ,

−→ )

forme un système libre.

2. Déterminer, en fonction de λ et des coordonnées x, y d’un point M les co- ordonnées x′, y ′ du point M ′ image de M par la symétrie oblique d’axe

D

(

Ω, −→ )

et de direction −→ T .

3. Montrer que (P )=P .

EXERCICE 2 3 POINTS

Résoudre dans Z :

1. l’equation 3x ≡ 1 (mod 5)

2. l’équation 5x ≡ 2 (mod 7)

3. le système formé par les deux équations précédentes.

PROBLÈME 12 POINTS

(le 3. peut être traité indépendamment des autres questions).

1. Soit la fonction f : R → R

x 7−→ ex +e−x

2 Étudier f et tracer sa représentation graphique C dans un plan P rapporté à

un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Vérifier que pour tout x de R :

f (x)+ f ′(x)= ex

[ f (x)]2− [ f ′(x)]2 = 1

2. Soit M un point deC d’abscisse x0. (x0 ∈R′+).

Soit m le point de coordonnées (x0 ; 0) et P la projection orthogonale de m sur la droite ∆ tangente en M àC .

Déterminer en fonction de x0 les coordonnées de P et vérifier que ces coor- données peuvent s’écrire :

X = x0− f ′ (x0)

f (x0)

Y = 1

f (x0)

Calculer ∥

−−→ mP

∥.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

3. Soit la fonction

F : R → R

x 7−→ Log

[

1+ p 1− x2

x

]

− p 1− x2

a. Déterminer l’ensemble de définition de F et montrer que :

F ′(x)=−

p 1− x2

x

b. Étudier F et tracer la représentation graphique Γ de F dans le plan P rap- porté au même repère.

Montrer que F admet une fonction réciproque F−1 définie sur R+ (on ne demande pas de déterminer F−1).

Construire la représentation graphique T de F−1 sur la même figure.

4. a. Montrer que le point P est sur la courbe T . (on pourra utiliser le 1.).

b. Montrer quem appartient à la tangente en P à la courbe T .

Montpellier 2 juin 1977

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