Exercices - algèbre 2, Exercices de Algèbre linéaire

Exercices - algèbre 2, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (35.5 KB)
2 pages
108Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique - algèbre 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la la base des logarithmes népériens, le plan affine euclidien.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
MontpellierCsept1977*.dvi

[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit l’équation :

ex −2e−x =m (m ∈R)

(e est la base des logarithmes népériens)

1. Exprimer x en fonction dem.

2. Pourm = 1

2 , calculer la valeur approchée de x avec la précision donnée par la

table de logarithmes.

EXERCICE 2 5 POINTS

P est le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. On consi-

dère les applications :

f ′ : P →P

M 7−→ M f ′′ :

P →P

M 7−→ M ′"

M , M ′ et M ′′ ont respectivement pour affixes z, z ′ et z ′′ avec :

z ′ = (2−2i)z+1 z" = (2+2i)z+1

1. Reconnaître f ′ et f ′′ et trouver leurs éléments canoniques.

2. Calculer z ′ ; comparer z ′ et z ′′, en déduire que f ′′ = sf ′ où s désigne la symé-

trie orthogonale ayant pour axe la droite de repère (

O, −→ ı

)

.

3. a. Construire la courbe (Γ) d’équation 4x2−4y2 = 1.

b. Déterminer les équations cartésiennes de f ′(Γ) et f ′′(Γ).

PROBLÈME 12 POINTS

Soit la fonction f :

R → R

x 7−→ x2+3x+6

2x−4 1. Montrer qu’existent a, b, c réels tels que, pour tout x différent de 2 :

f (x)= ax+b+ c

2x−4 .

2. Étudier la fonction f , construire la courbe représentative C dans un plan rap-

porté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Montrer que C admet une asymp-

tote oblique et un centre de symétrie ω.

3. Déterminer l’équation Y = F (X ) de la courbeC dans le repère (

ω, −→ ı ,

−→ ı

)

.

a. Montrer que le produit XY des coordonnées d’un point deC par rapport

au repère (

ω, −→ ı ,

−→ ı

)

, est strictement supérieur à 8.

b. Discuter, selon les valeurs du paramètre t , l’intersection de la droite Dt d’équation Y = tX et de la courbeC . Exprimer en fonction de t les coor- données (X ; Y ) des points d’intersection quand ils existent.

Retrouver en étudiant les variations de la fonction t 7−→ XY le résultat du a.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

4. H désigne la courbe qui a pour équation y = 8

x−2 dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit vn l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équations x = 6, x = 6+n (n N⋆) et les courbesC et H .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. Montrer que la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls est égale

n(n+1)(2n+1)

6

En déduire la somme Sn = v1+ v2+ . . .+ vn en fonction de n.

c. Montrer que le plus petit entier naturel n satisfaisant à la condition

sn > 100 est 6.

5. On considère maintenant la suite (un ) définie par :

u0 = 10, u1 = 4

5 f (u0) , . . . , un =

4

5 f (un−1) .

Calculer u1.

a. Exprimer un −2 en fonction de un−1.

Montrer que (un −2)(un−1−2) est positif quel que soit n et en déduire que un −2 est positif quel que soit n.

Calculer un −6 et montrer que un −6 est positif quel que soit n.

b. Démontrer l’inégalité : 2

un −6< (un−1−6)2

10

[On pourra chercher le signe de la différence (un−1−6)2

10 − (un −6)].

c. En raisonnant par récurrence prouver que :

un −6< 10 ·

(

2

5

)2n

.

En déduire que la suite (un ) converge et calculer lim n→+∞

un .

Montpellier 2 septembre 1977

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome