Exercices - algèbre - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - algèbre - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur l'algèbre - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Equation homogène, Courbes, Trigonométrie, Angles de vecteurs, Coordonnées polaires.
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Première S 9 F. Laroche

Exercices ALgèbre http://laroche.lycee.free.fr

ce qui donne 1 0, 0, 0, 0, 1                d’où on tire

1, 1, 1, 1                  que l’on remplace :   5 4 3 21 1 1x x x x x x       .

On a donc     5 4 3 2 5 4 3 2( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1P x ax x x x x x x x ax x x x x               .

3. Pour que   2

1x  vienne en facteur dans P, il faut pouvoir factoriser 1x  encore une fois, il faut donc

que −1 soit racine du deuxième facteur :

          5 4 3 2

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 5a a a                     ,

et on a 1 6b a   .

Finalement    6 5 5 4 3 2 2 4 3 2( ) 5 6 1 ( 1) 5 1 ( 1) 5 4 3 2 1P x x x x x x x x x x x x x x                . La dernière factorisation est à vérifier.

3-9 : Equation homogène

Soit l’inéquation 4 3 23 7 8 7 3 0.x x x x     En faisant le changement de variable 1

X x x

  , montrer

que cette inéquation est équivalente à l’inéquation 2 2( 2 1)(3 3) 0x x x x     . Résoudre.

3-10 : Scooters

Une entreprise fabrique 2000 scooters par an en 1999. A la suite d’un marché conclu avec une chaîne de supermarchés elle doit fournir 7000 scooters au total sur 3 ans. Quelle doit-être l ‘augmentation annuelle de la production (en %) pour tenir ses objectifs ?

Dans un autre contrat, l’entreprise aurait du livrer au moins 10 000 scooters en 4 ans. Quelle inéquation doit on résoudre pour trouver le taux de croissance minimal annuel de la production ? (ne pas la résoudre…)

3-11 : Aires

ABCD est un rectangle tel que 5AB cm et 3BC cm .

I, J, K et L sont quatre points respectivement sur les

segments  AB ,  BC ,

 CD et  DA tels que AI BJ CK DL x    .

On appelle  f x l’aire du quadrilatère IJKL.

1. Justifier緟昪缗㻬 봿ኵappartient à l’intervalle 枫

.

2. Démontrer que pour tout x de  0 ; 3 , on a

  22 8 15f x x x   .

3. En déduire l'aire minimale et la valeur en laquelle elle est atteinte.

A B

CD

I

J

K

L

Première S 10 F. Laroche

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3-12 : Courbes

0 1

1

x

y

㹯Ci-contre, fC et gC sont les courbes des fonctions f et g

définies par   2 2f x x x   塍   2

4 2

x g x x    .

Ci-contre, fC et gC sont les courbes des fonctions f et g définies par   2

2f x x x   塍

  2

4 2

x g x x    .

1. Colorier en vert fC . Justifier !

2. Déterminer le signe de    f x g x .

3. En déduire la position relative des courbes fC et gC en précisant les abscisses des points

d’intersection.

4. Déterminer la fonction du second degré dont la représentation graphique coupe l'axe des abscisses

aux points d'abscisses 2 et 3 et l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 9 .

4. Trigonométrie

4-1 : Cercle trigo, angles, formules

1. Les réels 117

5

  et

533

5

 repèrent-ils un même point sur le cercle trigonométrique ? Si oui, placer

ce réel sur le cercle.

2. Déterminer les lignes trigonométriques des réels 65

6

 et

44

3

  .

3. Sachant que 4

tan 3

x  et 3

; 2 2

x  

   

, déterminer les valeurs exactes de cos x et sin x .

4. Soit x un réel différent de 2

k

 , k , montrer que

1 1 1 tan 1 tan 2 tan

cos cos x x x

x x

           

    .

5. On considère deux vecteurs non nuls u et v tels que   3

, 4

u v

  2 . Déterminer la mesure

principale des angles :  ,u v ,  ,v u  et  ,u v  où  est un réel non nul.

Première S 11 F. Laroche

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6. A-t-on 29

3 3

     2 ? Interpréter. Même question avec les réels :

6

  et

85

6

 .

7. Placer sur le cercle trigonométrique les points M et N associés aux réels 3

10

  et

8

5

 .

8. C est le cercle trigonométrique de centre O et muni du point I de coordonnées (1 ; 0)

a. Déterminer la mesure principale des angles orientés de vecteurs de mesures respectives 673

9

 ;

74

5

  ; 2006 et 2007 .

b. Placer ces points sur C.

9. Compléter les pointillés :

 sin ........x   cos ........x    sin ........x   sin ........ 2

x     

 

 cos a b .....................................

 sin a b .....................................

sin 2 a .....................................

2cos a ..................................... en fonction de cos2 a

10. Compléter les cases blanches :

en radians 0 6

4

2

cos x

sin x

11. Déterminer les lignes trigonométriques du réel 5

3

4-2 : Angles de vecteurs

Question de cours :

1. a. Enoncer la relation de Chasles avec les angles orientés de vecteurs.

b. Démontrer cette relation.

2. ACD est un triangle équilatéral direct. ABC et ADE sont des triangles rectangles isocèles directs en B et E .

a. Compléter la figure. Le but de cet exercice est de démontrer

que les droites  CD et  BE sont parallèles.

b. En utilisant la relation de Chasles, déterminer une mesure des

angles ,CD CB         

et ,AB AE         

.

c. Justifier que le triangle ABE est isocèle puis en déduire la

mesure de EBA .

d. En déduire la mesure principale de l'angle ,BA BE         

.

A C

D

B

Première S 12 F. Laroche

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e. Déterminer alors une mesure de l'angle ,CD BE         

puis conclure.

Exercice 4

La valeur exacte de cos 5

 est

1 5

4

 .

1. a. Calculer la valeur exacte de sin 5

 .

b. En déduire : cos 10

 et

2 cos

5

 .

2. a. Soit a et b deux réels. Vérifier que     2 24 4 2 2

2a b a b ab    .

b. En déduire que 4 4 2 1 3 1

cos sin 1 sin 2 cos4 2 4 4

x x x x     .

c. En déduire la valeur exacte de 4 4cos sin 12 12

        

    .

4-3 : Coordonnées polaires - 1

On pose I (1, 0) et A est le point de coordonnées polaires 䳺

dans le repère orthonormal  ; ,O i j Unité

graphique : 2 cm.

1. Placer les points I et A ainsi que le point S défini par OS OI OA  .

2. Déterminer les coordonnées cartésiennes de A puis de S.

3. Justifier que le point S a pour coordonnées polaires 紙

.

4. En déduire que 2 2

cos 8 2

   et

2 2 sin

8 2

   et vérifier que tan 2 1

8

   .

5. En déduire les valeur exactes de 5

cos 8

 et de

3 sin

8

 .

4-4 : QCM trigo

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Pour chaque question, il y a au moins une bonne réponse. Le candidat doit cocher sur cette feuille les bonnes réponses. Aucune justification n'est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point.

Si par application de ce barème, le total des points est négatif, la note à cet exercice est ramené à zéro.

Question 1

On note  une mesure de l'angle

et  sa mesure principale.

 33

4

    et

4

   

32

3

   et

2

3

  

 86

7

   et

5

7

   

141

11

    et

9

11

  

Question 2

ABCDE est un pentagone régulier.

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 3

; 5

AE DE   

      

 2  3

; 10

AB OA   

      

 2

O

A

E

DC

B

+

 6

; 5

OA OD   

      

 2  2

; 5

AO AE   

      

 2

Question 3

On sait que ; 2

y  

      

et 2

sin 3

y  .

   2

sin 3

y    2 5

cos 9

y

   5

cos 2 3

y     2

cos 2 3

y      

 

Question 4

Soit ( ; , )O i j un repère orthonormal. Dans le repère polaire ( ; )O i , les points A et B ont

respectivement pour coordonnées polaires 2 ; 6

     

et 21

; 2 3

     

.

 ; 2

OB OA   

      

 2  ; 2

OB OA   

       

 2

 17

2 AB

 2AB

4-5 : Résolutions d’équations trigo

Exercice 1

a. Montrer que pour tout réel x,    2cos 3 cos 3 3 sin 3 3

x x x      

 

b. Résoudre l'équation    cos 3 3 sin 3 1x x   . Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

Exercice 2

On considère l'équation  1E :  2 cos 4 1 0x   .

1. a. Résoudre cette équation dans , puis dans l'intervalle  ;  .

b. Facultatif : représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. Unité graphique : 4 cm.

2. a. Vérifier que pour tout réel x , 4 2cos4 8 cos 8 cos 1x x x   .

b. En déduire que l'équation  1E est équivalente à  2E : 4 216 cos 16 cos 1 0x x   et donner

les solutions de  2E dans l'intervalle  ;  .

Première S 14 F. Laroche

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3. a. Montrer que l'équation  2E est équivalente au système 4 2 cos

16 16 1 0

X x

X X

 

  

.

b. Résoudre l'équation  3E : 4 216 16 1 0X X   .

c. En déduire les valeurs exactes de cos 12

 ,

5 cos

12

 ,

7 cos

12

 et

11 cos

12

 .

4-6 : Résolution générale du 3ème degré

Pour résoudre les équations du 3° degré, une idée a été de poser x = u+vu et v sont deux nombres inconnus…

1. Soit l’équation 3 2 0x ax bx c    . Montrer que cette équation se ramène à l’équation

(E) 3 0X pX q  

en posant x X   ; on exprimera  en fonction de a.

2. On pose X u v  avec 3

p uv   . Montrer que 3U u et 3V v sont les racines d’une équation du

second degré dont on précisera les coefficients en fonction de p et q.

3. A quelle condition sur p et q a-t-on des racines réelles ? Dans ce cas comment trouve-t-on une des racines de (E) ?

4. Appliquer cette méthode à l’équation 3 3 2 0X X  

Correction

1. x X   donne donc

      3 2 3 2 2 3 20 3 3 2 ... 0X a X b X c X X X aX a X                     ;

lorsqu’on regroupe les termes de même degré, on a

   3 2 2 3 23 3 2 0X a X a b X a b c               .

Pour avoir quelque chose de la forme 3 0X pX q   il faut que le terme en 2X soit nul, soit que

1 3 0

3 a a      .

2. On pose X u v  , soit       33 3 3 2 23 3X pX q u v p u v q u v uv u v p u v q              .

On remarque alors que  2 23 3 3u v uv uv u v   d’où

    3 3 2 2 3 33 3 0 3 0u v uv u v p u v q u v u v uv p q              .

Comme on a pris 3

p uv   , on a alors 3 3 0u v q   . Le problème revient donc à résoudre le système

3 33 3

3 3 311

273

u v qu v q

u v puv p

       

     

 

.

Posons maintenant 3U u , 3V v , alors le système devient

2 3 2 32

3 3 3 3

1 1 0

27 27 1 1

1 1 27 27

27 27

U V q U p qU U qU pU VU qU

UV p UV p UV p UV p

                   

                   

.

Première S 15 F. Laroche

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La première équation est obtenue en multipliant la première ligne par U, mais on pourrait multiplier par

V sans rien changer donc U et V sont solutions de l’équation 2 3 1

0 27

U qU p   .

3. On résout donc 2 3 1

0 27

U qU p   : 2 3 4

27 q p   qui doit être positif pour que l’on ait des

solutions. Lorsque c’est le cas on a 1 2, 2 2

q q U U

        d’où 3 31 2,

2 2

q q u u

        et

finalement on a une racine réelle : 1 2X u u  et 1 2x u u    .

4. 3 3 2 0X X   : 2 3 2 3 4 4

2 3 8 27 27

q p      d’où 3 331 2 2 8

1 2 , 1 2 2

u u  

       et

3 3 1 2 1 2 1 2X u u        , soit environ −0,596.

Une autre méthode fait intervenir la trigo…

1. Prouver que l’équation cos(3 ) a  avec –1<a<1 est équivalente à une équation du type (E)

3 0X pX q   avec 3 24 27 0p q  .

2. Soit p, q réels non nuls tels que 3 24 27 0p q  . Prouver qu’il existe r réel >0 et  réel tels que (E)

admette pour racines cosr  , 2

cos 3

r

    

  ,

2 cos

3 r

     

  .

3. Calculer r et cos3 en fonction de p et q.

4. Résoudre 3 8

4 0 3

X X   .

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