Exercices - algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls, l’existence de g .
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[ Baccalauréat C Nancy juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit n un entier strictement supérieur à 2. Si p est un entier relatif (p ∈ Z) nous noterons par p la classe de p modulo n

(

p ∈Z/nZ )

. On note par Sn l’ensemble des x de Z/nZ qui vérifient x2+1= 0.

1. a. Démontrer que pour chaque n(n > 2)0,1 et ?1 ne sont pas dans Sn.

b. Démontrer que si x Sn et si y Sn on a alors

(xy)(x+ y)= 0.

c. Démontrer que si x Sn , alors −x Sn ; montrer que si n est premier, Sn est vide ou a exactement deux éléments.

2. Résoudre l’équation x2+1= 0 dans chacun des cas suivants : n = 5, n = 7, n = 6, n = 10.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit R+ l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls ; soit f l’application de R+ dans R définie de la façon suivante :

{

f (0) = 0, et f (x) = x2 ln(x) si x > 0.

1. Étudier f et construire sa représentation graphique dans un plan euclidien

rapporté à un repère orthonormé ; on donne 1 p e ≈ 0,61 et

1

e ≈ 0,37. (On étu-

diera la dérivabilité de f en 0).

2. Soit g l’application de R+ dans R définie par :

g (x)= ∫x

1 f (t)dt , x> 0.

a. Justifier l’existence de g .

b. Calculer explicitement g (x) pour x > 0.

c. Calculer g (0) ; en déduire l’aire de la partie du plan définie par :

{

06 x6 1 et f (x)6 y 6 0 }

.

PROBLÈME 13 POINTS

SoitE unespace affinededimension 3 rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Partie A

On appelle A, B, C, D les points de E définis respectivement par les triplets de coor- données suivants :

(1 ; −1 ; 0);(2 ; 0 ; 1);(−1 ; 1 ; 0)et (−2 ; 0 ; 1).

Soit λ et µ des nombres réels ; on désigne par P le barycentre des points pondérés (A, 1+λ) et (B, λ) et par Q le barycentre des points pondérés (C, 1+λ) et (D, −λ).

Enfin on appelle G le barycentre des points pondérés

(

P, 1+µ

2

)

et

(

Q , 1−µ

2

)

.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. a. Calculer, en fonction de λ, les coordonnées des points P etQ .

b. Démontrer que les coordonnées deG sont :

(λ+µ ; λµ ; λ×µ).

2. a. Le réel λ étant supposé fixé, montrer que l’ensemble des points G obte- nus quand µ varie est une droite.

b. Représenter par un système d’équations cartésiennes.

3. a. Le réel µ étant fixé, montrer que l’ensemble des pointsG obtenus quand λ varie est une droite.

b. Représenter par un système d’équations cartésiennes.

4. Montrer que l’ensemble S des points G obtenus quand λ et µ décrivent R est l’ensemble des points M de l’espace dont les coordonnées vérifient

x2− y2 = 4z.

5. Reconnaître S .

Partie B

1. Déterminer l’intersection de l’ensembleS défini au A 4. avec chacun des trois plans d’équation x = 0, z = 0 et z = 1.

Représenter les trois ensembles obtenus sur des figures séparées en rappor- tant chacun des plans considérés à un repère orthonormé simple.

2. Soit K et K′ les points de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et (0 ; 0 ; −1) respectivement.

On désigne par L la droite passant par K et de vecteur directeur −→ , et par L′ la

droite passant par K′ et de vecteur directeur −→ ı .

Soit M le point de E de coordonnées (x ; y ; z) ; montrer que la projection orthogonale H de M sur L a pour coordonnées (0 ; y ; 1), et que la projection orthogonale H ′ deM sur L′ a pour coordonnées (x ; 0 ; −1).

Montrer que S est l’ensemble des points M de E situés à égale distance de L et de L′.

Partie C

Ondésigne parV l’espace vectoriel associé à E . Siϕ est un réel vérifiant− π

2 <ϕ<

π

2 ,

on désigne par l’endomorphisme de V défini par : 

(−→ ı )

= (−cos2ϕ) −→ + (sin2ϕ)

−→ k

(−→ )

= − −→ ı

(−→ k )

= (−sin2ϕ) −→ + (−cos2ϕ)

−→ k

1. Montrer que est un endomorphisme orthogonal deV , et montrer que l’en- semble des vecteurs de V invariants par est la droite vectorielle dont un

vecteur directeur est −→ ı

−→ + (tanϕ)

−→ k .

2. Soit l’application affine de E dans E dont l’endomorphisme associé est et telle que (K ) soit le point K1 de coordonnées (2tanϕ ; 0 ; 1), où K est le point de coordonnées (0 ; 0 ; 1).

a. Définir analytiquement .

b. Montrer qu’il existe des points deE invariants par (onpourra chercher des points invariants dont la première coordonnée est nulle). En déduire que est une rotation dont on déterminera l’axe δϕ.

Nancy 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

c. Montrer que δϕ est inclus dans S et que (L) = L′ où L et L′ sont les droites que l’on a définies au B 2.

Partie D

Soit r une rotation (affine) telle r (L) = L′. On désigne par δ l’axe de r , et par R la rotation vectorielle associée à r . Montrer que l’on a R

(−→ )

= −→ ı ou R

(−→ )

=− −→ ı

Montrer que la droite δ est contenue dans S .

Nancy 3 juin 1977

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