Exercices - algèbre 6, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application linéaire f de E dans E, la composition des applications, les variations.
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[ Baccalauréat C Nantes septembre 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit E un espace vectoriel sur R, euclidien, de dimension 3, de base orthonormée

B =

(

−→ ı ,

−→ ı ,

−→ k )

.

1. On envisage l’application linéaire f de E dans E définie par :

f (

−→ ı )

= − 7

9

−→ ı +

4

9

−→

4

9

−→ k

f (

−→

)

= 4

9

−→ ı

1

9

−→

8

9

−→ k

f (−→ k )

= − 4

9

−→ ı

8

9

−→

1

9

−→ k

a. Démontrer que f est une isométrie vectorielle.

b. Déterminer l’ensemble des vecteur de E invariants par f .

c. Déterminer f (

−→ +

−→ k )

.

d. Caractériser f .

2. Soit g la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à la droite vectorielle

engendrée par −→ +

−→ k .

Caractériser l’application h , égale à g f .

3. e désignant l’identité dans E, démontrer que l’ensemble {e, f , g , h}, muni de la loi (◦) de composition des applications, est un groupe commutatif.

EXERCICE 2 4 POINTS

Résoudre dans N l’équation d’inconnue x :

33x −5×32x −3x +5= 0 (mod11).

PROBLÈME 13 POINTS

P est un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

dont les

axes Ox et Oy sont dirigés respectivement par −→ ı et

−→ .

1. m étant un réel positif non nul, étudier, en discutant par rapport àm la nature de l’application Tm de P vers P définie analytiquement par :

{

x′ = y +Logm; y ′ = x+Logm.

Logm désigne le logarithme népérien dem.

Existe-t-il des droites invariantes par Tm , soit point par point, soit globale- ment ?

2. a. Étudier, quand x tend vers +∞, les limites des fonctions (de R vers R) :

x 7−→ −x+Log (ex −1) et x 7−→ −x+Log (ex +1)

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

b. On considère la fonction f1

{

R → R

x 7−→ Log (ex +1) .

Étudier les variations de f1 ; et en tracer la courbe représentative (C1)

dans le plan P rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

c. On considère la fonction g1

{

R → R

x 7−→ Log |ex −1| .

Étudier les variations de g1 et en tracer la courbe représentative (C ′1 ) dans

le plan P rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

d. Démontrer que T1 laisse invariant l’ensemble (C1) ∪ (C ′1).

3. Soit m un réel positif non nul. Démontrer que l’image par Tm de l’ensemble (C1) ∪ (C ′1) est la réunion des courbes (Cm) et (C

m ) représentant respective-

ment les fonctions fm et gm de R vers R :

x 7−→ Log (

ex +m )

et x 7−→ Log ∣

∣ex m

∣ .

Construire (Ce) ∪ (C ′e).

4. Étudier les variations de la fonction h :

{

R → R

x 7−→ f1(x)− x−e−x . .

En déduire le signe de h(x).

Si m est un réel positif non nul, on envisage l’aire A (m) de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient :

06 x6m et x 6 y 6 f1(x).

Démontrer que A (m) est comprise entre 0 et 1 (on ne demande pas le calcul de cette aire).

Remarque : Log 2≈ 0,7 ; Log (e−1)≈ 0,5 ;

Log (e+1)≈ 1,3 ; Log (

e2−1 )

≈ 1,9 ; Log (

e2+1 )

≈ 2,1.

Nantes 2 septembre 1977

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