Exercices - algèbre 7, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe non nul, l’homothétie de centre.
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[ Baccalauréat C Nice septembre 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit a un nombre complexe non nul. On considère le polynôme :

Pa(z)= z3−6az2+12a2z−7a3.

1. Résoudre dans C l’équation P1(z)= 0. (On observera que P1(1)= 0).

2. Résoudre dans C l’équation Pa(z)= 0. (

On pourra poser Z = z

a

)

.

3. Soit Ta le triangle dont les sommets ont pour affixes les racines de Pa (z)= 0.

Montrer que T1 est équilatéral ; en déduire que Ta est équilatéral pour tout a.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit P un plan affine euclidien orienté, rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

.

À tout point M de P, de coordonnées (x ; y), on associe son affixe z = x+ iy . Soient A, B, C les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1), (0 ; −1).

1. a. II existe une unique similitude directe s1 de P telle que l’on ait s1(A) = B et s1(B) = C.

Pour tout pointM de P, d’affixe z, exprimer en fonction de z l’affixe z1 du point s1(M), image deM par s1.

b. Trouver le centre K1, le rapport k1 et l’angle α1 de s1.

2. Il existe une unique similitude indirecte s2 de P telle que l’on ait s2(A) = B et s2(B) = C.

a. Pour tout pointM de P d’affixe z, exprimer en fonction de z l’affixe z2 du point s2(M), image deM par s2.

b. Trouver le centre K22, le rapport k2 de s2 et la droite ∆2 telle que, si l’on note h (K2, k2) l’homothétie de centre K2 et de rapport k2 et s∆2 la symé- trie affine orthogonale par rapport à ∆2, l’on ait :

s2 = h (K2, k2)◦ s∆2 = s∆2 ◦h (K2, k2)

PROBLÈME 12 POINTS

Soit f l’application de R dans R définie par :

f : x 7−→ e−x 2 .

Partie A

1. Démontrer que f est trois fois dérivable sur R et déterminer f ′, f ′′, f ′′′.

2. Démontrer par récurrence sur n que, pour tout entier n > 1, la fonction f est n fois dérivable sur R et que la dérivée n-ième f (n) s’exprime comme le produit de f et d’une fonction polynôme Pn , de degré n. (On ne demande pas de déterminer Pn ).

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. Étudier les fonctions f , f ′, f ′′ et tracer leurs courbes représentatives dans un

même repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. (On prendra ∥

−→ ı

∥=

−→

∥= 5 cm).

Démontrer en particulier que l’on a :

pour x > 1, ∣

f ′′(x) ∣

∣>

f ′(x) ∣

∣>

f (x) ∣

∣ .

Déterminer les coordonnées des points d’intersection respectifs des trois courbes.

Partie B

Soit E l’espace vectoriel des fonctions trinômes de la fonction :

x 7−→ ax2+bx+c (a, b, c) ∈R×R×R.

On sait que : dim E = 3.

On pose : ∀i ∈ {0, 1, 2}, ∀x ∈R, Pi (x)= ex 2 f (i)(x)

(

f (0) = f )

.

1. Montrer que (P0, P1,P2) est une base de E.

2. SoitQ la fonction trinôme définie par :Q : x 7−→−3−4x+4x2 .

Trouver les coordonnées deQ dans la base (P0, P1,P2).

3. On pose : ∀i ∈ {0, 1, 2}, Ai = ∫1

0 Pi (x)e

x2 dx.

Calculer A1 et A2 et démontrer que l’on a : 1

e 6 A0 6 1.

4. Soit ϕ l’application de E dans R définie par :

ϕ : S 7−→ ∫1

0 S(x)e−x

2 dx.

a. Montrer que ϕ est une forme linéaire sur E.

b. Calculer ϕ(Q) en fonction de A0.

c. Si S a pour coordonnées (α0 ; α1 ; α2) dans la base (P0, P1,P2), calculer ϕ(S) en fonction de α0, α1, α2.

d. Démontrer que le noyau Ker ϕ de ϕ est un plan vectoriel de E dont on donnera une base.

e. Démontrer que la droite vectorielle engendrée par P0 est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker ϕ dans E.

f. Démontrer que l’ensemble des polynômes S de E solutions du système :

(1)

{

ϕ(S) = 0 4S ′(0)+S ′′(0) = 0

est un sous-espace vectoriel de E dont on donnera la dimension et une base.

Partie C

Pour tout entier naturel non nul, on désigne par gn la fonction définie par :

gn : x 7−→ x ne−x

2 .

et on pose :

In =

∫1

0 gn(x)dx.

1. Calculer I1.

2. Trouver une relation de récurrence entre In et In−2, (n> 2).

3. Utiliser cette relation pour calculer I7.

Nice 2 septembre 1977

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