Exercices - algèbre 8, Exercices de Algèbre linéaire

Exercices - algèbre 8, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (37.6 KB)
2 pages
126Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique - algèbre 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la transformation, l'endomorphisme.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
OrleansCsept1977*.dvi

[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer le plus grand diviseur commun des nombres 21590 et 9525.

2. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x pour lesquels on a

34x ≡ 2 (15).

3. Résoudre dans Z×Z l’équation :

21590x+9525y = 1270.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit P un plan affine rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Soit M ′ le transformé d’un point M de P dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite D d’équation y = x. Soit M ′′ l’image de M ′ dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation y = 0. Exprimer en fonction des coordonnées (x et y) de M , les coordonnées x′′ et y ′′deM”.

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation, t1, de P qui àM associe M ′′.

Retrouver géométriquement ce résultat.

2. Soit t2 la transformation de P qui àM(x ; y) associe N (X ; Y ) tel que

{

X = 1+ y Y = 1− x

Caractériser la transformation t2, puis la transformation t2 ◦ t1.

PROBLÈME 4 POINTS

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 2. On désigne par F l’ensemble des endomorphismes ϕ de E qui possèdent les propriétés suivantes :

∀ −→ u ∈ E, ∀

−→ v ∈E, ϕ

(−→ u )

· −→ v =ϕ

(−→ v )

· −→ u .

(

ϕ

(−→ u )

· −→ v désigne le produit scalaire du vecteurϕ

(−→ u )

et du vecteur −→ v )

.

Partie A

On suppose que (−→ ı ,

−→

)

est une base orthonormée de E.

1. Montrer qu’un endomorphisme ϕ de E appartient à F si et seulement si on a

ϕ

(−→ ı )

· −→ =ϕ

(−→

)

· −→ ı .

2. Montrer qu’un endomorphisme ϕ de E de matrice

(

a c

b d

)

relativement à la

base (−→ ı ,

−→

)

, est un élément de F si et seulement si b = c.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. a. Soitϕunélément deF dematrice

(

a b

b d

)

relativement à la base (−→ ı ,

−→

)

.

Montrer que si ϕ est involutive alors ϕ est une isométrie vectorielle.

Dans le cas b = 0 on caractérisera chacune des applications ainsi obte- nues.

Dans le cas b 6= 0 on précisera la nature de l’application ϕ. b. Déterminer l’endomorphisme involutif ϕ0 de F tel que

ϕ0

(

2 −→ ı

−→

)

= 2

5

−→ ı +

11

5

−→ .

(On donnera la matrice de ϕ0, puis les éléments caractéristiques de ϕ0).

Partie B

1. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par

g (x)= 5

2 x+3

x2−4.

Étudier les variations de cette fonction. Construire sa représentation graphique (C), dans un plan affine E , associé au plan vectoriel euclidien E, et rapporté à

un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Onmontrera que (C) admet deux asymptotes.

2. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport −1. Déterminer, relativement au repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

, l’équation de la courbe (C′),

image de la courbe (C) par h, etmontrer qu’un pointM de coordonnées (x ; y) dans ce repère appartient à (C) ∪ (C′) si et seulement si

y2− 11

4 x2−5xy +36 = 0.

3. On désigne par f0 l’application affine dont l’endomorphisme associé est ϕ0 et qui laisse invariant le point O. Montrer que la courbe (C) ∪ (C′) est globale- ment invariante par f0.

4. Soient

−→ I =

2 p 5

−→ ı +

1 p 5

−→

−→ J = −

1 p 5

−→ ı +

2 p 5

−→

.

Déterminer l’équation de (C) ∪ (C′) dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J )

et en déduire la

nature de cette courbe.

Retrouver ainsi le résultat de la question 3. précédente.

5. Montrer qu’une primitive de la fonction x 7−→ p x2−4+ x est la fonction

x 7−→ x2

2 +

x p x2−4 2

−2Log ∣

x+ √

x2−4 ∣

∣ .

Déterminer l’aire A (α) de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite

d’équation y = − 1

2 x, et les droites d’équations respectives x = α et x = −2

relativement au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, α étant un réel strictement inférieur à −2.

Orléans–Tours 2 septembre 1977

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome