Exercices - algèbre 9, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des entiers naturels, l’espérancemathématique, la forme d’une intégrale.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Quel est le reste de la division par 8 du nombre 7n , n désignant un entier na- turel quelconque ?

2. Quel est l’ensemble des entiers naturels n tels que le nombre 7n ·n+4n+1 soit divisible par 8 ?

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Soit n un entier naturel. Une variable aléatoire Xn peut prendre les n valeurs

1

n , 2

n , · · · ,

k

n , · · · ,

n

n

et elles seules, avec probabilités égales.

Calculer l’espérancemathématique de Xn et trouver sa limite éventuelle quand n →+∞.

2. Soit f une fonction numérique, définie et continue sur le segment [0 ; 1].

Une variable aléatoire Yn peut prendre les n valeurs

f

(

1

n

)

, f

(

2

n

)

, · · · , f

(

k

n

)

, · · · , f (n

n

)

et elles seules, avec probabilités égales.

Écrire l’espérance mathématique E(Yn) de Yn . Justifier que lim x→+∞

E(Yn) existe :

l’exprimer sous forme d’une intégrale.

3. p étant un entier aumoins égal à 1, calculer la limite de

1

np+1

n

k=1 kp lorsque n →+∞.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit : C ⋆ l’ensemble des nombres complexes non nuls,

E un plan orienté rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

,

E⋆ le plan privé de O.

On considère l’application f de C⋆ dans C⋆ qui, à z, associe f (z)= 1

z2

et l’application F de E⋆ dans E⋆ qui, à tout point m d’affixe z, associe le point d’af-

fixe Z Z = 1

z2 .

Partie A

1. Soit un nombre complexe z, de module r non nul et d’argument θ. Montrer que Z s’écrit

Z = 1

r 2 (cos2θ− i sin2θ).

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. L’application f est-elle surjective ? Est-elle injective ? Etudier l’équation z = f(z).

3. a. On désigne par m un point de E⋆ dont l’affixe a pour module 1.

Construire son image par F .

Représenter les points invariants par F .

b. Étant donné un point M de E⋆ dont l’affixe a pour module 1, quel est l’ensemble des points m tels que F (m)= M ? Construire ces points.

4. a. Soit (d) une demi-droite de E , d’origine O. Construire l’image par F de (d⋆), où (d⋆) désigne d privée du point O.

Quelle est l’image par F d’une droite passant par O, mais privée de O?

b. Étant donné, dans E , une droite (∆) passant par O, quel est l’ensemble des points m tels que F (m) appartienne à (∆⋆), où (∆⋆) désigne (∆) pri- vée de O?

Partie B

On considère l’ensemble (γ) des points de E⋆ dont l’affixe est

z =−2cos2θ−2isinθcosθ,

θ décrit l’intervalle

]

π

2 ; 3π

2

[

.

1. Démontrer que (γ) est inclus dans un cercle passant par O.

2. Donner, en fonction de θ, le module et un argument de l’affixe z d’un point m de (γ)).

Exprimer, en fonction de tanθ, les coordonnées X et Y de F (m).

En déduire l’équation de l’image (Γ) de (γ) par l’application F .

Quelle est la nature de (Γ) ?

Vérifier que les points I et J de (γ) définis respectivement par θ = 2π

3 et θ =

4π

3 appartiennent à (Γ). En expliquer la raison.

Paris 2 juin 1977

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