Exercices complets sur les principes de mathématique, Exercices de Mathématiques

Télécharge Exercices complets sur les principes de mathématique et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés 1ère année 1. Ensembles - Applications Ex. 1 Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espace ... le symbole ap- proprié parmi ∈, 6∈, ⊂, 6⊂ : a) 1 ... C; b) {2} ... R; c) {3, 1 − 2i} ... Z; d) √ 2 ... Q; e) R \ Q ... C \ Z; f) π ... R; g) {π} ... R. Ex. 2 On désigne par I l’intervalle [0, 4] et on considère les fonctions de I dans R définies de la façon suivante : f1(x) = x 2 + 3, f2(x) = x + 1, f3(x) = −x2 + 4 x + 2. a) Tracer sur une même figure les courbes représentatives de f1, f2 et f3. b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. On justifiera sa réponse par un argument d’une à deux lignes au plus. (A1) ∃M ∈ R tel que ∀x ∈ I f1(x) ≤ M ; (A2) ∀x ∈ I, ∃x′ ∈ I tel que f1(x) = f2(x′) ; (A3) ∃x ∈ I tel que ∀x′ ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A4) ∃x′ ∈ I tel que ∀x ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A5) ∀x ∈ I, f2(x) ≤ f1(x). Ex. 3 Dans chacun des cas suivants, dire si l’application f : R → R est injective, surjective ou bijective : a) f(x) = x2; b) f(x) = x3; c) f(x) = x(x2 − 1); d) f(x) = exp x; e) f(x) = sin x. Ex. 4 Soit A = {a1, ..., an} un ensemble fini. 1. Soit f : A → A. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. Le résultat persiste-t-il si A est infini ? 1 2. Combien y a-t-il de bijections de A sur A ? Ex. 5 Trouver un majorant du nombre de chiffres d’un entier n. Ex. 6 Supposons qu’un plan d’épargne soit rémunéré 5% par an, et que les intérêts acquis à la fin de chaque année viennent s’ajouter au capital. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ? 2 2. Nombres complexes Ex. 1 Ecrire sous forme cartésienne (z = x+ iy, avec x, y ∈ R) les nombres complexes z1 = 5e i π 4 , z2 = 3e i π 3 − 2ei π6 , z3 = 2 + i 1 + 3i et z4 = ( 1 + i 1 − i )3 . Ex. 2 Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants 1 + i; −1 + i √ 3; 1 + i −1 + i √ 3 · Ex. 3 Résoudre dans C les équation suivantes : a) z + z − 2 = 0; b) (1 − 2i)z − (3 − i) = 0; c) Im ( 5z − 2 z − 1 ) = 0. Ex. 4 Module et argument de la somme de deux nombres com- plexes Soient z1 = ρ1e iθ1 et z2 = ρ2e iθ2 deux nombres complexes. On veut déterminer analytiquement le module et l’argument de z = z1 + z2 (resp. de z ′ = z1z2). 1. Représenter les points M1, M2 et M du plan d’affixes respectifs z1, z2 et z. 2. On note z = ρeiθ. Montrer que ρ = ( ρ21 + ρ 2 2 + 2ρ1ρ2 cos(θ1 − θ2) ) 1 2 . (Indication : développer zz̄.) 3. On suppose que M est dans le demi-plan situé à droite de l’axe des imagi- naires. Utilisant la représentation géométrique de z1 et z, montrer que sin θ = ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 ρ · 4. On pose z′ = z1z2 = ρ ′eiθ ′ . Donner les expressions de ρ′ et θ′, et représenter le point M ′ d’affixe z′. 3 Ex. 9 ∗ Modèles de population. On s’intéresse à des modèles discrets s’appliquant à des populations présentant des phénomènes de synchronisation (par exemple, les insectes se reproduisent à une même période de l’année). On choisit une unité de temps et on note Pn le nombre d’individus au bout de n unités de temps, P0 (> 0) désignant la population initiale. La quantité Tn = Pn+1 − Pn Pn est le taux d’accroissement de la population entre les instants n et n + 1. 1. On suppose que Tn = T pour tout n (loi de Malthus), où T ∈] − 1, +∞[ est une constante. Ecrire l’équation liant Pn+1 et Pn et reconnâıtre le type de la suite (Pn). Etudier sa limite. 2. On suppose que pour tout n Tn = k(1 − Pn P ∗ ) (loi de Verhulst), où k > 0 et P ∗ > 0 sont des constantes. a) On pose xn = k k + 1 Pn P ∗ · Montrer que xn+1 = (k + 1)xn(1 − xn), ∀n ≥ 0. A partir de maintenant on suppose que k = 1/2 et que 0 < P0 < 3P ∗. b) Montrer que xn → 13 . (On distinguera les cas suivants (i) 0 < x0 < 1/3, (ii) x0 = 1/3, (iii) 1/3 < x0 < 2/3 et (iv) 2/3 ≤ x0 < 1 et on établira dans les cas (i) et (iii) la monotonie de la suite (xn) à partir d’un certain rang.) c) Conclure. Ex. 10 ∗ Développement décimal illimité Le but de cet exercice est de définir le développement décimal illimité de tout nombre réel l ∈ [0, 10]. 1. Soit (un)n≥0 une suite réelle vérifiant un ∈ {0, 1, 2, ..., 9} pour tout n ≥ 0. On définit deux suites (sn)n≥0 et (s ′ n)n≥0 par sn = n ∑ k=0 uk · 10−k = u0, u1u2 · · ·un, s′n = sn + 10−n ∀n ≥ 0. Montrer que les suites (sn) et (s ′ n) sont adjacentes. En déduire qu’elles con- vergent vers une nombre l ∈ [0, 10]. On écrira l = u0, u1u2 · · · et on dira 6 que u0, u1u2 · · · est un développement décimal illimité du réel l. Que vaut l lorsque un = 9 pour tout n ? 2. Inversement, on se donne un réel quelconque l ∈ [0, 10[ et on cherche à construire un développement décimal illimité de l. On pose u0 = [l] (partie entière de l). Si u0, ..., un sont construits, on pose un+1 = [10 n+1(l − sn)], où sn = u0, u1 · · ·un. Montrer par récurrence sur n que { 0 ≤ un ≤ 9 sn ≤ l < sn + 10−n ∀n ≥ 0. En déduire que l = u0, u1u2 · · · 3. Cette question vise à montrer qu’un nombre réel l ∈]0, 10] admet un unique dévelop- pement décimal illimité si et seulement si l n’est pas un nombre décimal. Soit l ∈]0, 10] un réel possédant deux développements décimaux illimités distincts : l = u0, u1u2 · · · = v0, v1v2 · · · Soit N le premier entier pour lequel un 6= vn. On peut supposer par exemple que uN < vN . a) Montrer que vN = uN + 1. b) Montrer que un = 9 et vn = 0 pour tout n ≥ N + 1. En déduire que l est un nombre décimal. c) Inversement, montrer que tout nombre décimal l ∈]0, 10] admet deux développements décimaux illimités. 4. On dit qu’un développement décimal illimité est périodique (à partir d’un certain rang) s’il existe deux entiers N (le rang) et T (la période) tels que un+T = un pour tout n ≥ N . Le but de cette question est de montrer que les rationnels sont les seuls réels à posséder un développement décimal illimité périodique. a) Déterminer le développement décimal illimité de l = 131/7. (Indication : faire la division de l’école primaire). b) Supposons que le nombre l ∈ [0, 10] soit rationnel : l = p/q, avec p, q ∈ N. Montrer que le développement décimal illimité de l s’obtient en divisant indéfiniment p par q, et que ce développement décimal illimité est périodique. c) Réciproquement, soit l ∈ [0, 10] un réel admettant un développement décimal illimité périodique. Montrer que l est rationnel. 7 4. Géométrie affine et euclidienne 4.1 Barycentre et produit scalaire Ex. 1 Soient A, B, C, D quatre points du plan euclidien E2. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, [AC] et [BD] ont mêmes milieux. Ex. 2 Orthonormalisation de Gram-Schmidt On note (~u,~v) le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v de R3. Soit (~ui)1≤i≤3 une base quelconque de R3. On définit les vecteurs ~e1, ~e2 et ~e3 par ~e1 = ~u1 ‖~u1‖ ~e2 = ~u2 − (~u2, ~e1)~e1 ‖~u2 − (~u2, ~e1)~e1‖ ~e3 = ~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2 ‖~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2‖ Montrer que (~e1, ~e2, ~e3) est une base orthonormée de R 3. Faire les calculs pour ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 1, 0), ~u3 = (1, 0, 0). 4.2 Produit vectoriel et produit mixte Ex. 1 Dans E3 rapporté à un repère orthonormé direct (O,~i,~j,~k), on con- sidère le point A de coordonnées (1, 1, 1), le vecteur ~u de composantes (2, 0, 1), la droite D = D(A, ~u) et le plan P d’équation x+y+2z−1 = 0. Déterminer D ∩ P , dist(O,D) et dist(A,P). 8 2. Etude d’une parabole (e = 1) Soient S le milieu de [F, K] et ~i = 1 SF −→ SF . a) Montrer que dans le repère R = (S,~i,~j) la parabole C admet pour équation y2 − 2px = 0. Dessiner la parabole C. b) Montrer que la tangente en un point M de C est la bissectrice de F̂MH. (Indication : remarquant que l’application t 7→ ( t2 2p , t) est une paramétrisation de C, dériver par rapport à t dans l’équation ‖−−→FM‖2 = ‖−−→HM‖2). En déduire que tout rayon lumineux parallèle à l’axe des abscisses se réfléchit sur la parabole en direction du foyer. 3. Etude d’une hyperbole (e > 1) a) Soient ~i = − 1 FK −−→ FK. Montrer que dans le repère orthonormé direct R = (F,~i,~j), l’hyperbole C admet pour équation x2 + y2 = e2(x + α)2, ou encore ( x + αe2/(e2 − 1) αe/(e2 − 1) )2 − y 2 (αe/ √ e2 − 1)2 = 1. On pose a = p e2−1 , b = p√ e2−1 , c = ea et on introduit le point O défini par−→ FO = −c~i. Montrer que dans le repère R′ = (O,~i,~j) C a pour équation x′2 a2 − y ′2 b2 = 1. Dessiner l’hyperbole C. b) Soit la fonction f(x) = k x , où k > 0 est une constante positive. Montrer que la courbe représentative C de f est une hyperbole, dont on précisera les caractéristiques (foyer, directrice, excentricité). (Indication : écrire l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i′, ~j′), avec ~i′ = 1√ 2 (~i + ~j), ~j′ = 1√ 2 (−~i + ~j) et utiliser le fait que c = √ a2 + b2.) Ex. 7 Intersection cylindre-plan et cône-plan Soit E3 rapporté à un repère orthonormé R = (O,~e1, ~e2, ~e3). Soit θ un an- gle compris entre 0 et π/2. Soit (~f1, ~f2, ~f3) la base (orthonormée) définie 11 par ~f1 = ~e1, ~f2 = cos(θ)~e2 + sin(θ)~e3, ~f3 = − sin(θ)~e2 + cos(θ)~e3. Soit R′ = (O, ~f1, ~f2, ~f3) le nouveau repère. On note (x, y, z) (resp. (x′, y′, z′)) les coordonnées d’un point M dans R (resp. R′). i) Représenter les demi-axes Ox, Oy, Oz, Ox′, Oy′ et Oz′. Montrer que    x = x′ y = cos(θ)y′ − sin(θ)z′ z = sin(θ)y′ + cos(θ)z′. Dans tout ce qui suit on note P le plan d’équation z′ = 0, et on fait varier la valeur de l’angle θ. ii) Soit D le cylindre d’équation x2 + y2 = 1. Montrer que D ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/2 et la réunion de 2 droites pour θ = π/2. iii) Soit C le cône d’équation x2 + y2 = (z + 1)2. Montrer que C ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/4, une parabole pour θ = π/4, une hyperbole pour π/4 < θ < π/2, et la réunion de 2 droites pour θ = π/2. Ex. 8 Projection orthogonale d’un cercle sur un plan (Extrait de la colle de Mai 2004) On se propose de montrer que la projection orthogonale d’un cercle sur un plan est une ellipse. On suppose donné dans R3 un plan P d’équation λy+z = 1 (λ étant un paramètre réel), un cercle C sur P de centre A = (0, 0, 1) et de rayon R > 0, et l’on étudie la projection orthogonale de C sur le plan d’équation z = 0. 1. Donner un système d’équations cartésiennes pour C. 2. Soit p : (x, y, z) 7→ (x, y, 0) la projection orthogonale sur le plan z = 0. Exprimer l’équation reliant x et y pour tout point (x, y, z) de C, puis donner le système d’équations cartésiennes définissant p(C). 3. Montrer que p(C) est une ellipse. Préciser son demi-grand axe a et son demi-petit axe b. 12 5. Applications de R dans R 5.1 Limite - Continuité Ex. 1 Simplifier x 1 ln(x2) . Etudier les limites de x 1 x , (x3 − x + 2) 1 ln(x2) et de√ x2 + x − x lorsque x → +∞. Ex. 2 Etudier les limites quand x → 0+ de f(x) = (x + sin x)(1 − cos x) (x + sin(x 2 ))(1 − cos(2x)) , g(x) = √ x + x2 −√x√ 3x ln(1 + x) , h(x) = (x−2 + 1) √ x Ex. 3 Soit f : R → R une fonction telle qu’en tout point x les limites f(x+0) et f(x − 0) existent et sont égales. f est-elle nécessairement continue ? Ex. 4 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer qu’il existe (au moins) un nombre x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x. Ex. 5 Soit f : R → R une application continue, vérifiant lim|x|→∞ f(x) = +∞. Montrer que f admet un minimum sur R (i.e., il existe x̄ ∈ R tel que f(x̄) ≤ f(x) pour tout x ∈ R). Ex. 6 Soit f : R → R une application continue. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes : (a) lim |x|→+∞ |f(x)| = +∞ ; (b) pour tout m > 0, l’image réciproque de [−m, m] est bornée. Ex. 7 Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est ou non uni- formément continue sur son ensemble de définition : a) x 7→ ln x ; b) x 7→ x2 ; c) x 7→ √x ; d) x 7→ sin x. Ex. 8 ∗ Soit f : R → R une application uniformément continue. Montrer qu’il existe deux constantes a ≥ 0 et b ≥ 0 telles que |f(x)| ≤ a|x| + b, ∀x ∈ R. 13 5.3 Applications réciproques Ex. 1 a. Montrer que arctan(x) + arctan( 1 x ) = π 2 sgn(x) pour tout x ∈ R∗. b. Montrer que arccos(x) + arcsin(x) = π 2 pour tout x ∈ [−1, 1]. Ex. 2 Soient x ∈ R \ {π 2 + kπ, k ∈ Z} et n = [ x π + 1 2 ] . Montrer que arctan(tan(x)) = x − nπ. Ex. 3 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Calculer A = cos(arccos(1 3 ) + arcsin(1 2 )), B = sin(arccos(1 4 ) + π 3 ), C = cos(1 2 arctan 1), D = arctan(tan 2). 5.4 Fonctions convexes Ex. 1 Montrer que |ab| ≤ (a2 + b2)/2 pour tout a, b ∈ R, puis que a2 + ab + b2 > 0 pour tout (a, b) 6= (0, 0). Montrer que |ab| ≤ εa2 + 1 4ε b2 pour tous ε > 0, a, b ∈ R. Application : Montrer que pour tous x, y ∈ R, 1 3 x2 + x sin y − 3 4 cos2 y ≥ −3 4 · Ex. 2 Inégalité de Young : Soient p et p′ deux nombres dans [1, +∞[ et tels que 1/p + 1/p′ = 1. Montrer, en utilisant la concavité du logarithme, que ab ≤ a p p + bp ′ p′ ∀a, b ≥ 0. Ex. 3 Montrer que ( √ x+ √ y)/ √ 2 ≤ √x + y ≤ √x+√y pour tous x, y ≥ 0. Ex. 4 Montrer xp + yp ≤ (x + y)p ≤ 2p−1(xp + yp) ∀x, y ≥ 0, ∀p ≥ 1. 16 Ex. 5 Prouver 2 π x ≤ sin x ≤ x ∀x ∈ [0, π 2 ]. Ex. 6 Soit f : I → R une fonction de classe C1 et telle que f ′ est convexe, et soit a ∈ I. On introduit la fonction taux d’accroissement en a τa(x) =    f(x) − f(a) x − a si x ∈ I, x 6= a, f ′(a) si x = a. Montrer que τa(x) = ∫ 1 0 f ′(a + t(x − a)) dt ∀x ∈ I. En déduire que τa est convexe sur I. Application : Vérifier que la fonction lnx x−1 est concave sur ]0, +∞[. Ex. 7 Soit f : [a, b] → R une application dérivable et convexe. Montrer que le maximum de f est atteint en a ou en b. 17 6. Polynômes Ex. 1 Effectuer la division euclidienne de A = x5−3x2+1 par B = x2+x+2, puis la division suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre 2 de A par B. Ex. 2 Utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que les polynômes A = x3+1 et B = −2x2 +1 sont premiers entre eux, et donner un couple (U, V ) ∈ R[x]2 satisfaisant l’identité de Bezout AU + BV = 1. Ex. 3 Déterminer le PGCD de A = x4 − 1 et de B = x3 − 3x2 + x − 3. Ex. 4 Soit A = x3 − 7x2 +16x− 12. Déterminer le PGCD de A et de A′, et trouver ses racines (qui sont les racines multiples de A). Déterminer toutes les racines de A. Ex. 5 Soient P = x4 + x2 + 1 et Q = x3 + 1. Donner le PGCD de P et de Q et la décomposition de P en facteurs irréductibles sur R, puis celle en facteurs irréductibles sur C. Ex. 6 On étudie le système    a2 + b2 + c2 = 14 (1) a + b + c = −2 (2) a−1 + b−1 + c−1 = −5 6 (3) Montrer que le système est équivalent à    ab + bc + ca = −5 (1′) a + b + c = −2 (2) abc = 6, (3′) et résoudre le second système. Ex. 7 Polynômes de Tchebychev Pour tout n ≥ 0, on pose Tn(x) = cos(n arccos x), ∀x ∈ [−1, 1]. 18 Ex. 9 a. Ecrire un développement limité à l’ordre 2 en 0 de ln(1+h) 2+h · b. Soit f :]0, 1[∪]1, +∞[→ R définie par f(x) = lnx x2−1 . Montrer que f peut être prolongée en une fonction continue sur ]0, +∞[ (que l’on désigne encore par f). Montrer que f est dérivable en 1, et calculer f(1) et f ′(1). Ex. 10 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soit a un réel non nul et soit f :] − 1|a| , 0 [ ∪ ] 0, 1 |a| [→ R définie par f(x) = (1 + ax) 1 sin(ax)−x . 1. On suppose a 6= 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner la valeur de f(0). b) Montrer que f est dérivable en x = 0, et donner f ′(0). (On donnera un DL1 de f en 0.) 2. On suppose a = 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner f(0). b) f est-elle dérivable en 0 ? Si c’est le cas, donner f ′(0). Ex. 11 Montrer que le graphe de f(x) = √ 4 + x2 − 1 + x 2 1 + 2x a une asymp- tote oblique pour x → +∞, et préciser la position du graphe par rapport à l’asymptote. Ex. 12 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Montrer que le graphe de la fonction f(x) = x √ 4x2 + 5 x + 3 admet une asymptote lorsque x → +∞, et donner la position de la courbe y = f(x) par rapport à l’asymptote au voisinage de l’infini. Ex. 13 Soit fa(x) = (x 3 + x2 + ax) 1 3 , où a ∈ R est un paramètre. 1. Montrer que la courbe y = fa(x) a une asymptote oblique lorsque x → +∞. 2. Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote en fonction de la valeur de a. (Indication : pour la valeur critique de a, on prendra un développement limité de (1 + v) 1 3 à l’ordre 3 au voisinage de 0.) 21 8. Fractions rationnelles Ex. 1 Donner la décomposition en éléments simples sur C de la fraction F1(x) = 3x + i x2 − 2ix + 3 · Ex. 2 Donner la décomposition en éléments simples sur R, puis sur C, de la fraction F2(x) = x5 + 1 x3 − 1 · Ex. 3 Donner la décomposition en éléments simples sur R de la fraction F3(x) = x2 + 1 (x + 1)3(x + 2) · Ex. 4 Donner la décomposition en éléments simples sur R de la fraction F4(x) = 4x4 + 3x3 + 7x2 + 4x + 5 x5 + 2x3 + x · Ex. 5 (Extrait de la colle de Mars 2002) Donner la décomposition en éléments simples sur R des fractions F1(x) = 2x + 3 (x − 2)3 (x + 1) et F2(x) = x3 − 2x x(x + 1) · 22 9. Intégrales simples 9.1 Intégrale de Riemann Ex. 1 Un automobiliste parcourt en 2 heures un tronçon d’autoroute de 260 km délimité par deux péages. Un agent de la circulation situé au second péage est convaincu que l’automobiliste a commis un excès de vitesse. Pourquoi a- t-il raison ? Ex. 2 On pose pour tout n ≥ 1 un = n ∑ k=1 1 n + k , vn = n−1 ∑ k=0 1√ n2 + k2 · Ecrire un et vn comme des sommes de Riemann et calculer les limites des suites (un) et (vn). Ex. 3 Soit un = n −2(e 1 n + 2 e 2 n + · · · + n enn ) pour tout n ≥ 1. Calculer limn→+∞ un. Ex. 4 Calculer l’aire comprise entre les courbes y1(x) = √ 1 − x2, x ∈ [−1, 1] et y2(x) = √ 1 + x2 − √ 2, x ∈ [−1, 1]. Ex. 5 Soit F (x) = ∫ x 0 du 2 + cos u · Montrer que la fonction F est définie et dérivable sur R et impaire. Calculer F (x) dans ] − π, π[ à l’aide du change- ment de variables t = tan u 2 . En déduire la valeur de F (π) et celle de ∫ π π 2 du 2 + cos u · Ex. 6 ∗ 1. Montrer que pour tout x 6∈ 2πZ N ∑ k=1 eikx = eix eiNx − 1 eix − 1 = e i(N+1)x/2 sin(Nx/2) sin(x/2) · 23 d) Etablir la formule de Stirling n ! ∼ √ 2π √ n (n e )n lorsque n → +∞. (Indications: Remarquer que vm = (2m !)/(2 mm !)2 et utiliser la question 3.) 5. Montrer que pour tout λ > 1 et tout p ∈ N∗ np = o(λn) et λn = o(n !). 9.2 Calcul de primitives et d’intégrales Ex. 1 Calculer I = ∫ 3 2 x √ 1 + x4 dx. Ex. 2 (Extrait de la colle de Mars 2004) Calculer les intégrales suivantes : I1 = ∫ 1 0 √ 1 + x2 dx, I2 = ∫ 1 0 (x2+2)−2 dx, I3 = ∫ π 2 0 dθ 2 + sin θ . On rappelle que argsh x = ln(x + √ x2 + 1). Ex. 3 Calculer les primitives suivantes (en précisant leurs domaines) ∫ ln(x + x−1) dx et ∫ arcsin(x) dx. Ex. 4 (Extrait de la colle de Mars 2004) Donner les primitives de 1 x(ln x)3 , ex(x − x2), x − 2 x2 + x − 2 , ln x x 5 2 . Ex. 5 (Extrait de l’examen de Septembre 2004) Donner les primitives de x ex 2 , ln x, x2 + x + 2 x(x2 + 1) , √ x ln x, e2x cos(3x), 1 + sin x sin x cos x · Ex. 6 Donner les primitives de tan x, arctan x, cos √ x√ x , x4 − 2x + 1 1 − x3 , x 2 ex, 1 sin x , cos2 x sin3 x. 26 Ex. 7 Donner les primitives de sin x 1 + cos2 x , ln x x2 , x2√ 1 − x3 , x3 + 1 (x2 + 2)2 , cosh x 1 − sinh x · Ex. 8 Soit a > 0. Donner les primitives de 1 x2 + a2 , 1√ x2 + a2 , 1√ a2 − x2 , 1√ x2 − a2 . Ex. 9 Donner les primitives de 2x + √ x − 1 1 + √ x − 1 et de x√ x2 + 2x + 2 · 27 10. Equations différentielles Ex. 1 Calculer la solution générale de l’équation différentielle (E) y′ = 2x 1 + x2 y − 1. Ex. 2 Résoudre l’équation différentielle (E) x4y′ + 3x3y = 1 x2 + 1 · Ex. 3 (Extrait de l’examen de Septembre 2002) On considère l’équation différentielle (E) y′ + y x2 = e 1 x 1 + ex . 1. Déterminer la solution générale de (E) sur ]0, +∞[. 2. Soit y1 la solution de (E) qui vérifie limx→+∞ y1(x) = 1. Déterminer limx→0+ y1(x). Ex. 4 (Extrait de l’examen de Septembre 2003) On considère l’équation différentielle (H) y′(x)y2(x)x3 = −1. 1. Trouver la solution générale de (H). 2. Déterminer la solution de (H) vérifiant y(1) = 1, en précisant son inter- valle maximal de définition I. (Attention : la dérivée doit exister et vérifier (H) en tout point de I.) Dessiner le graphe de cette solution. Ex. 5 1 (Extrait de la colle de Mai 2003) La croissance d’un arbre dans une forêt suit la loi de Lunqvist Matérn : dH dt = C H K (ln( K H ))1+ 1 α , où C, K et α sont des constantes strictement positives. Intégrer cette équation, en exprimant H(t) en fonction de H(0) et de t. (Indication : poser u(t) = ln(K/H(t)), et intégrer l’équation différentielle à variables séparables satis- faite par u.) Que vaut limt→+∞ H(t) ? 1d’après P. Vallet 28 11. Fonctions de plusieurs variables 11.1 Topologie générale - limites Ex. 1 R2 est muni de la norme euclidienne usuelle. Les parties suivantes de R2 sont-elles ouvertes ? fermées ? A1 =]1, 2[×] −∞, 3[; A2 = {(x1, x2) ∈ R2; x1x2 ≤ 3}; A3 = {(x1, x2) ∈ R2; 1 ≤ 14x21 + x22 < 4}; A4 = {(x1, x2) ∈ R2; x2 ≥ x21}. Ex. 2 R est muni de la norme euclidienne usuelle (i.e. la valeur absolue). 1. Soient les ouverts On = ] − n + 1 n , n + 1 n [, O′n = ] 0, n + 1 n [, n ≥ 1. Déterminer explicitement les ensembles O = ∩n≥1On, O′ = ∩n≥1O′n. Sont-ils ouverts ? fermés ? 2. Soient les fermés Fn = [− n − 1 n , n − 1 n ], F ′n = [ 0, n − 1 n ], n ≥ 1. Les ensembles F = ∪n≥1Fn, F ′ = ∪n≥1F ′n sont-ils ouverts ? fermés ? Ex. 3 Ecrire la définition de f(x) → +∞ lorsque x → x0, et de f(x) → a lorsque ‖x‖ → ∞ Ex. 4 Etudier la limite en (0, 0) de (x, y) 7→ x 3 x2 + y2 . Faire de même avec (x, y) 7→ x 2 x2 + y2 et avec (x, y) 7→ y sin( 1 x2 + y2 ). Ex. 5 Soient α > 0 et fα : R 2 \ {0} → R la fonction définie par fα(x, y) = |x2 − y2|α x2 + y2 ∀(x, y) ∈ R2 \ {0}· Pour quelle valeur de α fα(x, y) → 0 lorsque (x, y) → (0, 0) ? 31 Ex. 6 Soit f : R2 → R définie par f(x, y) =    xy2 x2 + y6 si (x, y) 6= (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0). Montrer que pour tout (x, y) 6= (0, 0), f(tx, ty) → 0 lorsque t → 0+. Montrer que f n’est pas bornée au voisinage de (0, 0). La fonction f a-t-elle une limite lorsque (x, y) → (0, 0) ? 32 11.2 Compacité Ex. 1 ∗ Soit f : RN → R une fonction continue et telle que lim ||x||→+∞ f(x) = +∞. Montrer que f est minorée et que f atteint sa borne inférieure. (Indication : minorer f sur une boule fermée centrée en 0 et de rayon con- venable.) Ex. 2 ∗ Théorème de d’Alembert-Gauss On identifie C à R2 par l’application z = x + iy 7→ (x, y). Soit P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn un polynôme non constant à coefficients complexes (an 6= 0 et n ≥ 1). On veut montrer qu’il existe des nombres complexes z1, . . . , zn tels que P (z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn). 1. Montrer que lim|z|→+∞ |P (z)| = +∞, et en déduire que la fonction z 7→ |P (z)| est minorée et atteint sa borne inférieure sur C. (Indication : utiliser le résultat de l’exercice 1). Soit z1 ∈ C tel que |P (z1)| = infz∈C |P (z)|. 2. Montrer que l’on peut écrire P (z) = P (z1) + bk(z − z1)k + bk+1(z − z1)k+1 + · · ·+ bn(z − z1)n, avec bk 6= 0 et k ≥ 1. 3. On veut montrer que P (z1) = 0. On suppose que P (z1) 6= 0. a) Ecrivant P (z1) = ρe iθ, bk = ρ ′eiθ ′ et choisissant z = z1 + αe i θ−θ ′+π k où α est un réel, montrer que P (z) = ρeiθ − αkρ′eiθ(1 + O(α)) b) Montrer que |P (z)| < |P (z1)| si α > 0 est assez petit. Conclure. 4. Montrer que P (z) = (z−z1)Q1(z), où Q est un polynôme à coefficients complexes de degré n − 1. Conclure. 33 Ex. 8 On définit le laplacien d’une fonction u = u(x1, ..., xn) par ∆u = ∂2u ∂x21 + · · ·+ ∂ 2u ∂x2n · Soit u une fonction radiale (i.e. il existe une fonction h telle que u(x) = h(‖x‖) pour tout x, où ‖x‖ = √ x21 + · · ·+ x2n ). 1. Montrer que ∆u(x) = h′′(r) + n − 1 r h′(r), où r = ‖x‖. 2. Trouver les solutions radiales de l’équation de Laplace : ∆u = 0 sur Rn \ {0}, puis sur Rn. (Indication : intégrer l’équation différentielle satisfaite par h. Noter que la solution dépend de la valeur de n.) 36 11.4 Extrema Ex. 1 Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 au point (0, 0) pour les fonc- tions suivantes : a) f(x, y) = cos x cos y ; b) g(x, y) = 1 (1 − x)(1 − y) ; c) h(x, y) = ln(1 + x2 + y2). Ex. 2 Soit Ω =]0, +∞[2. Soit f : Ω → R définie par f(x, y) = x − y x + y · Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 pour la fonction f au point (1, 1). Ex. 3 Pour chacune des fonctions suivantes définies sur R2 : f1(x, y) = x 2 − y3, f2(x, y) = x + y + x 2 − xy + y2 + 1, f3(x, y) = 3x − x2 + xy − 2y2, f4(x, y) = 8x 3 − 2y3 + 6yx2 − 3x2, 1. Déterminer les points critiques ; 2. Calculer la matrice hessienne en ces points critiques ; 3. Etudier la nature des points critiques (extrema locaux stricts, extrema globaux,...) Ex. 4 (Extrait de la colle de Mai 2004) On pose f(x, y) = x2 + y2 − 4 Arctg (xy) pour (x, y) ∈ R2. 1. Montrer que f est minorée et que f atteint sa borne inférieure. 2. Déterminer les points critiques de f , et donner leur nature (minimum ou maximum local, global, etc.). Donner la valeur minimale de f sur R2. Ex. 5 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soient m ∈ R un paramètre et f la fonction f(x, y) = mx2 + y2 − 4xy. 1. Déterminer les points critiques de f suivant les valeurs du paramètre m. 2. Déterminer les extrema de f suivant les valeurs du paramètre m. 37 Ex. 6 On considère la famille de fonctions fm : R 2 → R définies par fm(x, y) = x 2 + m y2 − (x2 + y2)2 ∀(x, y) ∈ R2 où m est un paramètre. Déterminer les points critiques de fm et dire s’ils correspondent à des extrema. Ex. 7 ∗ On veut étudier le mouvement d’un pendule pesant sans friction. Soit m la masse du pendule (supposé concentré en un point), l la longueur de la tige (de masse négligeable), g l’accélération de la pesanteur et θ l’angle entre la verticale inférieure et la tige. 1. Rappeller l’équation fondamentale de la dynamique et l’expression de l’énergie totale. Montrer que l’énergie totale est constante par rapport au temps au cours du mouvement du pendule. 2. Etudier les extrema de l’énergie totale, vue comme une fonction de (θ, θ̇). 3. Dessiner quelques courbes de niveau de l’énergie totale et décrire le mou- vement du pendule au voisinage d’un équilibre. Ex. 8 Extrema liés Soit C = {M(t), t ∈ [0, T ]} une courbe fermée de R2 de classe C1. On note (x(t), y(t)) les coordonnées de M(t), et V (t) = (x′(t), y′(t)) le vecteur vitesse, supposé jamais nul. 1. Donner l’expression d’un vecteur normal n(t) à C en M(t). 2. Soit f : R2 → R une application de classe C1. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes sur C. Soit M(t̄) un point extrémal pour f|C . Montrer qu’il existe un nombre λ (appelé multiplicateur de Lagrange) tel que grad f(M(t̄)) = λ n(t̄). 3. Application : trouver géométriquement les extrema de f(x, y) = x + 2y − 1 sur le cercle unité. Retrouver analytiquement le résultat en étudiant les variations de t 7→ f(cos t, sin t). 38 3. Calculer l’inverse de M =     0 −2 1 2 2 0 3 5 0 0 −1 0 0 0 4 3     4. On suppose que la matrice M = (mi,j) d’ordre n est triangulaire supérieure. Montrer que M est inversible si, et seulement si, mii 6= 0 pour tout i. (Indi- cation: faire une récurrence sur n et utiliser la question 2.) Montrer que si la matrice (triangulaire supérieure) M est inversible, alors son inverse M−1 est aussi une matrice triangulaire supérieure. Ex. 7 Inverser les matrices A = ( −2 1 4 3 ) B = ( 1 2 −1 3 ) C =   1 2 4 0 1 4 0 0 1   D =   1 −1 1 2 −3 0 1 1 2   Ex. 8 Soit la matrice M =   a 1 a + 1 0 1 2 a 0 −1   dépendant du paramètre a. Calculer M−1 en fonction de a lorsque cette matrice existe. Ex. 9 Une matrice A ∈ Mn(K) (K = R ou K = C) est dite à diagonale strictement dominante (sur les lignes) si ∀i ∈ {1, ..., n} |aii| > ∑ j 6=i |aij |. 1. Montrer que s’il existe X ∈ Kn \ {0} tel que A X = 0, alors A n’est pas à diagonale strictement dominante. 2. En déduire qu’une matrice à diagonale strictement dominante est in- versible. 3. Soit α > 0 et A = (aij) la matrice (tridiagonale) définie par aij =    α si i = j 1 si |i − j| = 1 0 si |i − j| ≥ 2. Donner un ensemble de valeurs de α pour lequel la matrice A est inversible. 41 12.2 Déterminants Ex. 1 Calculer σ2 ◦ σ1, où σ1 = ( 1 2 3 4 3 4 1 2 ) et σ2 = ( 1 2 3 4 3 2 4 1 ) . Que vaut ε(σ2 ◦ σ1) ? Ex. 2 Calculer les déterminants D1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 0 1 0 1 −1 4 3 1 2 −4 2 2 1 −2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ D2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ Ex. 3 Déterminer les racines du polynôme P (x) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x − 1 3 0 6 2 x + 4 −2 −5 −1 −6 x 5 −2 −6 2 x + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ en faisant apparâıtre la factorisation de P au cours du développement du déterminant. Ex. 4 Déterminant de Vandermonde Soient a1, a2, ..., an des nombres complexes. On pose Dn = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a 2 2 . . . a 2 n ... ... . . . ... an−11 a n−1 2 . . . a n−1 n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ · 1. Soit P un polynôme unitaire de degré n − 1. Montrer que Dn = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a 2 2 . . . a 2 n ... ... . . . ... P (a1) P (a2) . . . P (an) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ · 42 2. Choisissant P (x) = (x−a1)·(x−a2) · · · (x−an−1), exprimer Dn en fonction de Dn−1, puis donner la valeur de Dn. A quelle condition la matrice        1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a 2 2 . . . a 2 n ... ... . . . ... an−11 a n−1 2 . . . a n−1 n        est-elle inversible ? Ex. 5 Soient n ∈ N∗, a ∈ R et Mn ∈ Mn(R) la matrice tridiagonale définie par Mn = (mij), avec mij =    a si i = j, 1 si |i − j| = 1, 0 si |i − j| ≥ 2. On pose Dn = detMn. 1. Montrer que D1 = a, D2 = a 2 −1 et que Dn = a Dn−1−Dn−2 pour n ≥ 3. 2. On rappelle que toute suite (un) vérifiant la relation de récurrence double un + b un−1 + c un−2 = 0 s’écrit sous la forme • un = λ1(r1)n + λ2(r2)n si b2 − 4c 6= 0, où r1, r2 sont les racines (complexes ou réelles) du polynôme x2 + bx + c; • un = λ1 rn + λ2 n rn si b2 − 4c = 0, où r est la racine double du polynôme x2 + bx + c. On pose ∆ = a2 − 4. a. On suppose que ∆ = 0. Montrer que Dn = (a 2 )n (n + 1). b. On suppose que ∆ 6= 0. Ecrivant r1 = a + √ ∆ 2 r2 = a − √ ∆ 2 où √ ∆ désigne une racine carrée (réelle ou complexe) de ∆, montrer que Dn = 1√ ∆ (rn+11 − rn+12 ) = rn1 + rn−11 r2 + · · ·+ r1rn−12 + rn2 . c. Déterminer pour quelles valeurs de a la matrice M est inversible. 43 1. E = R2 et F admet comme équation cartésienne x + 2y = 0 2. E = R3 et F admet comme système d’équations cartésiennes { x + 2y = 0 x − y + z = 0 3. E = R4 et F admet comme système d’équations cartésiennes { x − 2y + z − t = 0 −x + 2y + 3t = 0 Ex. 8 Dans E = R4 on considère la famille F = {v1, v2, v3, v4}, où v1 = (1, 2, 0, 1) v2 = (4, 4, 1, 2) v3 = (2, 0, 1, 0) v4 = (5, 0, 5 2 , 0) 1. Calculer rg(F). Extraire de F une famille libre F ′ maximale. 2. Compléter F ′ en une base de R4 en prenant des vecteurs de la base canon- ique. 3. Déterminer un supplémentaire de F = Vect(F). Ex. 9 Montrer, dans chacun des cas suivants, que les sous-espaces F et G de E sont supplémentaires : 1. E = R2, F = {(x, y) ∈ E, x + y = 0}, G = {(x, y) ∈ E, x − y = 0} 2. E = R3, F = {(x, y, z) ∈ E, x + y + z = 0}, G = {(x, y, z) ∈ E, x = y = z} 3. E = R4, F = Vect((1,−1, 1, 0), (1, 2, 0,−1)) et G admet comme système d’équations cartésiennes { x + y − z − t = 0 x − y + z − t = 0 Ex. 10 1. Montrer que (u1, u2, u3) est une base de C 3, où u1 = (1, 0,−1), u2 = (1, i, 2), u3 = (−i, 1, 1). 2. Calculer les composantes dans cette base de u = (1 + i, 1,−2i). 46 Ex. 11 (Extrait de la colle de Mai 2003) Soient v1 =     1 0 −1 2     , v2 =     0 1 1 −2     , v3 =     −1 2 3 −6     et V = Vect(v1, v2, v3). Déterminer dim (V ), une base de V et un système d’équations cartésiennes de V . Soit W l’ensemble défini par les équations { x + y + z + t = 0, y − z + t = 0. Déterminer dim (V + W ) et dim (V ∩ W ). Ex. 12 Soient dans R4 les vecteurs u = (1,−1, 2,−2) v = (4, 0, 1,−5) w = (3, 1,−1,−3). Soit G = Vect(u, v, w) et soit H = {(x, y, z, t), x = y = x − y + z + 2t = 0}. 1. Donner des équations paramétriques de G et H, ainsi qu’un système d’équations cartésiennes de G. 2. Quelles sont les dimensions de G, H, G + H, G ∩ H ? 3. Trouver un supplémentaire F de G + H dans R4. Ex. 13 ∗ (Extrait de l’examen de Juin 2003) Soient U , V et W trois sous- espaces vectoriels d’un espace vectoriel E sur K. On suppose que V ⊂ W , U ∩ V = U ∩ W et U + V = U + W . Montrer que V = W . 47 12.4 Applications linéaires Ex. 1 Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 qui au vecteur X =   x1 x2 x3   fait correspondre la vecteur Y = f(X) =   x1 − x2 + 2x3 −3x3 x1 + x2  . 1. Déterminer les images par f des vecteurs de la base canonique {e1, e2, e3} de R3. 2. Ecrire la matrice A représentant f dans cette base. 3. Calculer les images par f des vecteurs u =   1 1 −1   et v =   2 0 3  . Ex. 2 Dans E = R3, soit P le plan d’équation x− 2y− z = 0 et D la droite d’équations { x + y + z = 0 y − 4z = 0 1. Donner une base {f1, f2} de P et une base {f3} de D. 2. Donner la matrice M (resp., M ′) de la projection sur P parallèlement à D dans la base canonique {e1, e2, e3} de R3 (resp. dans la base {f1, f2, f3}). Ex. 3 1. Soit E = R2[x] l’espace vectoriel des polynômes réels de degré au plus 2, et soit u : E → E l’application définie par u(P ) = P ′ (u est l’opérateur de dérivation). Vérifier que u est un endomorphisme de E, et donner sa matrice dans la base canonique {1, x, x2}. 2. Même question lorsque E est cette fois l’ensemble des combinaisons linéaires des fonctions cos et sin et que la base est la base naturelle {cos, sin}. Ex. 4 Soient u1 = (1, 0,−1), u2 = (1, i, 2), u3 = (−i, 1, 1). On rappelle (cf. Ex. 10, Chapitre 12.3) que (u1, u2, u3) est une base de C 3. 1. Donner l’expression de la matrice de passage P de la base canonique à la base (u1, u2, u3) de C 3. Si X (resp., X ′) désigne le vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur u de C3 dans la base canonique (resp., dans la base (u1, u2, u3)), exprimer X ′ en fonction de X et de P . 2. Calculer P−1 et retrouver la valeur de X ′ pour u = (1 + i, 1,−2i). 48 Ex. 9 ∗ Polynômes interpolateurs de Lagrange Soient x1, x2, ..., xn+1 des réels deux à deux distincts, et soient y1, y2, ..., yn+1 des réels quelconques. On cherche un polynôme P dont le graphe passe par les points (xi, yi). Soit u : Rn[x] → Rn+1 l’application définie par u(P ) = (P (x1), P (x2), ..., P (xn+1)). 1. Montrer que u est linéaire. 2. Montrer que u est injective, puis que u est un isomorphisme de Rn[x] sur Rn+1. Que peut-on en déduire ? 3. Pour tout i ∈ {1, ..., n + 1}, on pose Li = ∏ j 6=i(x − xj) ∏ j 6=i(xi − xj) · Déterminer u(Li). 4. Donner l’expression de u−1(y1, y2, ..., yn+1). Ex. 10 Déterminer le polynôme de Lagrange P , de degré au plus 3, qui vérifie P (−1) = 2, P (0) = 1, P (1) = 1 et P (2) = 0. Ex. 11 ∗ Polynômes interpolateurs d’Hermite (Extrait de l’examen de Septembre 2003) 1. (Question préliminaire) Soit P ∈ Rn[x] (i.e., P est un polynôme à coefficients réels de degré au plus n) et soit x0 ∈ R. On suppose que P (x0) = P ′(x0) = 0. Montrer que l’on peut écrire P (x) = (x − x0)2 Q(x), avec Q ∈ Rn−2[x]. 2. Soient [a, b] un segment et a = x1 < x2 < · · · < xn = b une subdivision de [a, b]. On considère l’application u : R2n−1[x] → R2n définie par u(P ) = (P (x1), . . . , P (xn), P ′(x1), . . . , P ′(xn)). a) Montrer que u est linéaire. b) Montrer que Ker u = {0}. (Indications : appliquer la question 1) et faire une récurrence). c) Montrer que pour tous (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ Rn, il existe un unique polynôme P ∈ R2n−1[x] tel que P (xi) = yi pour 1 ≤ i ≤ n, P ′(xi) = zi pour 1 ≤ i ≤ n. 51 Ex. 12 ∗ Soit E un espace vectoriel sur K (K = R ou C), et soit p un en- domorphisme de E. On dit que p est un projecteur si p2 = p. 1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E qui sont supplémentaires, et soit p la projection sur G parallèlement à F . Montrer que p est un pro- jecteur. 2. Inversement, soit p un projecteur de E. On pose F = ker p et G = Im p. a. Montrer que F et G sont supplémentaires. b. Montrer que p est la projection sur G parallèlement à F . 52 12.5 Réduction des endomorphismes Ex. 1 1. Montrer que les vecteurs suivants forment une base de R3 u1 =   1 1 −1   , u2 =   −1 1 1   , u1 =   1 −2 1   . 2. Déterminer la matrice de passage de la base canonique E = {e1, e2, e3} à la base U = {u1, u2, u3}. 3. Soit v un vecteur de R3 de composantes X =   x1 x2 x3   dans la base E et de composantes Y =   y1 y2 y3   dans la base U . Exprimer Y en fonction de X. 4. Soit f l’application linéaire (x, y, z) 7→ (2y, 5x+3z,−4x−2y−4z). Donner la matrice de f dans la base U . Ex. 2 Soit le système récurrent suivant    xn+1 = xn + 2yn − 3zn, yn+1 = yn − zn, zn+1 = zn. 1) Ecrire ce système sous forme matricielle Un+1 = AUn, avec Un =   xn yn yz  . 2) Soit la matrice J = A − I3. Calculer J2 et J3. En déduire An. (On rappelle que la formule du binôme de Newton peut être appliquée pour calculer (M + N)n lorsque M et N sont deux matrices carrées qui commutent.) 3) Exprimer Un en fonction de U0. Ex. 3 Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés pour les matrices suivantes, et dire si elles sont diagonalisables. M1 = ( 3 −4 1 −2 ) ; 53 Ex. 9 ∗ Isométrie positive (Extrait de l’examen de Juin 2004) Pour tout vecteur x = (x1, x2, x3) ∈ R3, on note ||x|| = (x21 + x22 + x23) 1 2 sa norme euclidienne usuelle sur R3. On appelle isométrie de R3 toute appli- cation linéaire u : R3 → R3 telle que ||u(x)|| = ||x|| pour tout x ∈ R3. On se propose de prouver que u est une rotation si et seulement si u est une isométrie de déterminant égal à 1. 1. Soit u la rotation d’angle θ et d’axe ∆ dirigé par le vecteur unitaire f1. Soient f2 et f3 deux vecteurs tels que (f1, f2, f3) soit une base orthonormée directe. a) Rappeler l’expression de la matrice M représentant u dans (f1, f2, f3), et calculer la trace de M . b) En déduire que u est une isométrie de déterminant égal à 1. c) Montrer que M est diagonalisable sur C. Donner une matrice diagonale D semblable à M . 2. Inversement soit u une isométrie de déterminant égal à 1, et M sa ma- trice dans la base canonique. On suppose que M est diagonalisable sur C. a) Montrer que toute valeur propre (complexe) de M est de module égal à 1, puis que M est semblable à une matrice D = diag(1, eiθ, e−iθ), où θ ∈ R. b) Montrer qu’on peut trouver une base orthonormée directe (f1, f2, f3) de R 3 telle que Mf1 = f1, M(f2 + if3) = e −iθ(f2 + if3). Quelle est la matrice de u dans cette base ? Conclure. 3. Montrer que la composition de deux rotations est une rotation (on admet- tra que toute isométrie est diagonalisable sur C). 56 13. Intégrales doubles Ex. 1 Calculer ∫ ∫ D x y2 1 + x2 dxdy, où D = {(x, y) ∈ R2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. Ex. 2 Calculer ∫ 1 0 ( ∫ 1−y 0 ax by dx ) dy, où a et b sont deux réels distincts, strictement positifs et différents de 1. Ex. 3 Des deux intégrales suivantes, laquelle est la plus facile à calculer ? Effectuer ce calcul. ∫ √ 3 1 (∫ 1 0 2 x (x2 + y2)2 dx ) dy , ∫ 1 0 ( ∫ √ 3 1 2 x (x2 + y2)2 dy ) dx. Ex. 4 Calculer ∫ z 0 (∫ y 0 (∫ x 0 1 dt ) dx ) dy, puis déterminer par récurrence ∫ xn 0 (∫ xn−1 0 ( . . . ∫ x1 0 1 dx0 ) dx1 . . . ) dxn−1. Ex. 5 Calculer ∫ 1 0 ( ∫ y 0 2(x + y) ( 1 + (x + y)2 )2 dx ) dy et ∫ 1 0 ( ∫ 1 x 2(x + y) ( 1 + (x + y)2 )2 dy ) dx. L’égalité était-elle prévisible ? Ex. 6 Calculer Iε = ∫ ∫ Dε exp y x dx dy, où 0 < ε < 1 et Dε = {(x, y) ∈ R2, y ≤ x, y ≥ 0 et ε ≤ x ≤ 1}. Que vaut limε→0+ Iε ? Ex. 7 Calculer ∫∫ D (1 − x − y) dx dy, où D = {(x, y) ∈ R2, y + x ≤ 1, y ≥ 0, x ≥ 0}. Ex. 8 Calculer (en utilisant les coordonnées polaires) ∫ ∫ D y3 x2 + y2 dxdy, où D = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ x}. 57 Ex. 9 Calculer l’aire du domaine D = {(x, y) ∈ R2, y ≤ 2 − x2 et y ≥ x}. Ex. 10 Calculer l’aire du domaine D = {(x, y) ∈ R2, | x |≤ 1, 2 √ 3 x2 ≤ y ≤ √ 1 − x2}. Ex. 11 Soit D le domaine défini par D = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x ≤ √ 3, x√ 3 ≤ y ≤ x}. Calculer directement, puis en utilisant les coordonnées polaires, l’intégrale double ∫ ∫ D x x2 + y2 dxdy. Ex. 12 Calculer ∫∫ D (y − x) dx dy, où D = {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, x − 3 ≤ y ≤ x + 1, −2 x + 1 ≤ y ≤ −2 x + 7}, en faisant le changement de variables u = y − x, v = y + 2 x. Ex. 13 Aire d’une ellipse (Extrait de l’examen de Juin 2004) On veut calculer l’aire du domaine ∆ = {(x, y) ∈ R2; x2/a2 + y2/b2 < 1} délimité par l’ellipse d’équation x2/a2 + y2/b2 = 1. 1. Montrer que l’application ϕ : (r, θ) 7→ (x, y) = (ra cos θ, rb sin θ) définit un changement de variables de classe C1 de D =]0, 1[×] − π, π[ sur ∆′ = ∆ \ [−a, 0] × {0}. Représenter D et ∆′. 2. Calculer l’aire de ∆′ grace au changement de variables précédent. 3. Que retrouve-t-on lorsque a = b ? 58