Exercices complets sur les principes de mathématique, Exercices de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices complets sur les principes de mathématique, Exercices de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Exercices complets de mathématique sur les principes de mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Ensembles - Applications, Equations diff´erentielles, Fonctions de plusieurs variables, Algèbre liné...
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Exercices de Mathématiques

pour les Travaux Dirigés

1ère année

SOMMAIRE

1er Semestre

1. Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. Géométrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Géométrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Applications de R dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.1 Limite - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Applications dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.3 Applications réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7. Formule de Taylor-Lagrange et développements limités . . 20 8. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9. Intégrales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9.2 Calcul de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2nd Semestre

10. Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11. Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11.1 Topologie générale - limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 11.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 11.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

12. Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.1 Matrices - Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.2 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 12.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 12.5 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13. Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1. Ensembles - Applications

Ex. 1 Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espace ... le symbole ap- proprié parmi ∈, 6∈, ⊂, 6⊂ : a) 1 ... C; b) {2} ... R; c) {3, 1− 2i} ... Z; d)

√ 2 ... Q;

e) R \Q ... C \ Z; f) π ... R; g) {π} ... R.

Ex. 2 On désigne par I l’intervalle [0, 4] et on considère les fonctions de I dans R définies de la façon suivante : f1(x) =

x 2 + 3,

f2(x) = x+ 1, f3(x) = −x2 + 4 x+ 2. a) Tracer sur une même figure les courbes représentatives de f1, f2 et f3. b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. On justifiera sa réponse par un argument d’une à deux lignes au plus. (A1) ∃M ∈ R tel que ∀x ∈ I f1(x) ≤ M ; (A2) ∀x ∈ I, ∃x′ ∈ I tel que f1(x) = f2(x′) ; (A3) ∃x ∈ I tel que ∀x′ ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A4) ∃x′ ∈ I tel que ∀x ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A5) ∀x ∈ I, f2(x) ≤ f1(x).

Ex. 3 Dans chacun des cas suivants, dire si l’application f : R → R est injective, surjective ou bijective : a) f(x) = x2; b) f(x) = x3; c) f(x) = x(x2 − 1); d) f(x) = exp x; e) f(x) = sin x.

Ex. 4 Soit A = {a1, ..., an} un ensemble fini. 1. Soit f : A → A. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. Le résultat persiste-t-il si A est infini ?

1

2. Combien y a-t-il de bijections de A sur A ?

Ex. 5 Trouver un majorant du nombre de chiffres d’un entier n.

Ex. 6 Supposons qu’un plan d’épargne soit rémunéré 5% par an, et que les intérêts acquis à la fin de chaque année viennent s’ajouter au capital. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ?

2

2. Nombres complexes

Ex. 1 Ecrire sous forme cartésienne (z = x+ iy, avec x, y ∈ R) les nombres complexes

z1 = 5e iπ 4 , z2 = 3e

iπ 3 − 2eiπ6 , z3 =

2 + i

1 + 3i et z4 =

(

1 + i

1− i

)3

.

Ex. 2 Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants

1 + i; −1 + i √ 3;

1 + i

−1 + i √ 3 ·

Ex. 3 Résoudre dans C les équation suivantes : a) z + z − 2 = 0; b) (1− 2i)z − (3− i) = 0; c) Im

(

5z − 2 z − 1

)

= 0.

Ex. 4 Module et argument de la somme de deux nombres com- plexes

Soient z1 = ρ1e iθ1 et z2 = ρ2e

iθ2 deux nombres complexes. On veut déterminer analytiquement le module et l’argument de z = z1 + z2 (resp. de z

′ = z1z2). 1. Représenter les points M1, M2 et M du plan d’affixes respectifs z1, z2 et z. 2. On note z = ρeiθ. Montrer que

ρ = (

ρ21 + ρ 2 2 + 2ρ1ρ2 cos(θ1 − θ2)

) 1 2 .

(Indication : développer zz̄.) 3. On suppose que M est dans le demi-plan situé à droite de l’axe des imagi- naires. Utilisant la représentation géométrique de z1 et z, montrer que

sin θ = ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2

ρ ·

4. On pose z′ = z1z2 = ρ ′eiθ

. Donner les expressions de ρ′ et θ′, et représenter le point M ′ d’affixe z′.

3

Ex. 5 Nombres complexes et trigonométrie 1. Utilisant le nombre complexe ei(x+y), retrouver rapidement les formules de trigonométrie donnant cos(x + y) et sin(x + y), puis celles donnant cos(2x) et sin(2x) ; 2. En déduire les formules donnant cos x cos y, sin x sin y, sin x cos y. 3. En déduire les formules donnant sin p+ sin q, sin p− sin q, cos p+ cos q et cos p− cos q.

Ex. 6 En exprimant de deux façons différentes (1 + i)5, calculer C05 −C25 +C45 et C15 −C35 +C55 . Calculer plus généralement C0n−C2n+C4n− . . . (n ≥ 1).

Ex. 7 Exprimer cos(5θ) et sin(5θ) à l’aide de cos θ et de sin θ.

Ex. 8 Linéariser les expressions : cos4(θ), cos θ · sin3 θ et cos(2θ) cos2 θ.

Ex. 9 Trouver les solutions z1, z2 de z 2 − (4 + i)z + 5− i = 0.

Ex. 10 Calculer une racine carrée z de 2− 3i.

Ex. 11 Calculer les racines 6ème de −3 + 3i.

Ex. 12 Résoudre z3 − iz2 = −2z3 + (2 + i)z2 − 4z.

Ex. 13 Résoudre z4 − (2 + i)z2 + 3 + i = 0.

Ex. 14 Soit z = ei 2π 5 . Que vaut 1 + z + z2 + z3 + z4 ? Exprimer z + z4 et

z2 + z3 en fonction de cos(2π/5), et en déduire les valeurs de cos(2π/5) et de cos(π/5).

Ex. 15 Identité du parallélogramme Prouver l’identité

|z + z′|2 + |z − z′|2 = 2(|z|2 + |z′|2), ∀z, z′ ∈ C.

En donner une interprétation géométrique. (Indication : construire le par- allélogramme dont les sommets ont pour affixes 0, z, z + z′, z′.)

4

3. Suites numériques

Ex. 1 Montrer que la suite définie par u0 = 1 et un+1 = √ 3 + 2un est

convergente.

Ex. 2 Que signifie pour la suite (un) : ∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N (n ≥ N ⇒ un < A) ?

Ex. 3 On suppose un → l. Est-il vrai que l ≥ 0 lorsque i) un ≥ 0 pour 0 ≤ n ≤ 1000 ? ii) un2 ≥ 0 pour tout n ∈ N ?

Ex. 4 Etudier les limites des suites définies par

un = 32n

(6n)2 , vn = sin(n !)− n2, wn =

n3 − n2 + 2 2n3 + 1− n−2 ·

Ex. 5 On considère les suites (un)n∈N et (vn)n∈N, définies par un = 3n − n! 2n − n3

pour tout n ≥ 0, v0 = 0 et vn+1 = (vn+12 ) 1 3 . Etudier la convergence de cha-

cune de ces suites en précisant la limite lorsqu’elle existe.

Ex. 6 On pose pour tout n ≥ 1

un =

n ∑

k=0

1

k! et vn = un +

1

n · n! ·

Montrer que les suites (un)n≥1 et (vn)n≥1 sont adjacentes. Que peut-on dire de la suite (un) ?

Ex. 7 Soient an = n

n+1 et bn =

n+1 n+2

. Les suites (an) et (bn) sont-elles

adjacentes ?

Ex. 8 Soit (un)n≥0 la suite définie par u0 = 2, u1 = 1 et la relation de récurrence un = −32un−1 + un−2 pour n ≥ 2. Donner l’expression de un pour tout n ≥ 0, et la limite de un lorsque n → +∞.

5

Ex. 9 ∗ Modèles de population. On s’intéresse à des modèles discrets s’appliquant à des populations présentant des phénomènes de synchronisation (par exemple, les insectes se reproduisent à une même période de l’année). On choisit une unité de temps et on note Pn le nombre d’individus au bout de n unités de temps, P0 (> 0) désignant la population initiale. La quantité Tn = Pn+1 − Pn

Pn est le taux d’accroissement de la population entre les instants n

et n+ 1. 1. On suppose que Tn = T pour tout n (loi de Malthus), où T ∈] − 1,+∞[ est une constante. Ecrire l’équation liant Pn+1 et Pn et reconnâıtre le type de la suite (Pn). Etudier sa limite. 2. On suppose que pour tout n

Tn = k(1− Pn P ∗

) (loi de Verhulst),

où k > 0 et P ∗ > 0 sont des constantes. a) On pose

xn = k

k + 1

Pn P ∗

·

Montrer que xn+1 = (k + 1)xn(1− xn), ∀n ≥ 0.

A partir de maintenant on suppose que k = 1/2 et que 0 < P0 < 3P ∗.

b) Montrer que xn → 13 . (On distinguera les cas suivants (i) 0 < x0 < 1/3, (ii) x0 = 1/3, (iii) 1/3 < x0 < 2/3 et (iv) 2/3 ≤ x0 < 1 et on établira dans les cas (i) et (iii) la monotonie de la suite (xn) à partir d’un certain rang.) c) Conclure.

Ex. 10 ∗ Développement décimal illimité Le but de cet exercice est de définir le développement décimal illimité de tout nombre réel l ∈ [0, 10]. 1. Soit (un)n≥0 une suite réelle vérifiant un ∈ {0, 1, 2, ..., 9} pour tout n ≥ 0. On définit deux suites (sn)n≥0 et (s

′ n)n≥0 par

sn = n ∑

k=0

uk · 10−k = u0, u1u2 · · ·un, s′n = sn + 10−n ∀n ≥ 0.

Montrer que les suites (sn) et (s ′ n) sont adjacentes. En déduire qu’elles con-

vergent vers une nombre l ∈ [0, 10]. On écrira l = u0, u1u2 · · · et on dira

6

que u0, u1u2 · · · est un développement décimal illimité du réel l. Que vaut l lorsque un = 9 pour tout n ? 2. Inversement, on se donne un réel quelconque l ∈ [0, 10[ et on cherche à construire un développement décimal illimité de l. On pose u0 = [l] (partie entière de l). Si u0, ..., un sont construits, on pose un+1 = [10

n+1(l− sn)], où sn = u0, u1 · · ·un. Montrer par récurrence sur n que

{

0 ≤ un ≤ 9 sn ≤ l < sn + 10−n

∀n ≥ 0.

En déduire que l = u0, u1u2 · · · 3. Cette question vise à montrer qu’un nombre réel l ∈]0, 10] admet un unique dévelop- pement décimal illimité si et seulement si l n’est pas un nombre décimal. Soit l ∈]0, 10] un réel possédant deux développements décimaux illimités distincts :

l = u0, u1u2 · · · = v0, v1v2 · · · Soit N le premier entier pour lequel un 6= vn. On peut supposer par exemple que uN < vN . a) Montrer que vN = uN + 1. b) Montrer que un = 9 et vn = 0 pour tout n ≥ N + 1. En déduire que l est un nombre décimal. c) Inversement, montrer que tout nombre décimal l ∈]0, 10] admet deux développements décimaux illimités. 4. On dit qu’un développement décimal illimité est périodique (à partir d’un certain rang) s’il existe deux entiers N (le rang) et T (la période) tels que un+T = un pour tout n ≥ N . Le but de cette question est de montrer que les rationnels sont les seuls réels à posséder un développement décimal illimité périodique. a) Déterminer le développement décimal illimité de l = 131/7. (Indication : faire la division de l’école primaire). b) Supposons que le nombre l ∈ [0, 10] soit rationnel : l = p/q, avec p, q ∈ N. Montrer que le développement décimal illimité de l s’obtient en divisant indéfiniment p par q, et que ce développement décimal illimité est périodique. c) Réciproquement, soit l ∈ [0, 10] un réel admettant un développement décimal illimité périodique. Montrer que l est rationnel.

7

4. Géométrie affine et euclidienne

4.1 Barycentre et produit scalaire

Ex. 1 Soient A,B,C,D quatre points du plan euclidien E2. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, [AC] et [BD] ont mêmes milieux.

Ex. 2 Orthonormalisation de Gram-Schmidt On note (~u,~v) le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v de R3. Soit (~ui)1≤i≤3 une base quelconque de R3. On définit les vecteurs ~e1, ~e2 et ~e3 par

~e1 = ~u1 ‖~u1‖

~e2 = ~u2 − (~u2, ~e1)~e1 ‖~u2 − (~u2, ~e1)~e1‖

~e3 = ~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2 ‖~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2‖

Montrer que (~e1, ~e2, ~e3) est une base orthonormée de R 3. Faire les calculs

pour ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 1, 0), ~u3 = (1, 0, 0).

4.2 Produit vectoriel et produit mixte

Ex. 1 Dans E3 rapporté à un repère orthonormé direct (O,~i,~j,~k), on con- sidère le point A de coordonnées (1, 1, 1), le vecteur ~u de composantes (2, 0, 1), la droite D = D(A, ~u) et le plan P d’équation x+y+2z−1 = 0. Déterminer D ∩ P , dist(O,D) et dist(A,P).

8

Ex. 2 Soient ~u = (1, 0,−1), ~v = (1, 2, 2) et ~w = (−3, 2, 5). Calculer les produits vectoriels ~u ∧ ~v, ~u ∧ ~w, ~v ∧ ~w et le produit mixte (~u,~v, ~w).

Ex. 3 Soient P le plan d’équation x+y−2z+1 = 0, D1(A1, ~u1) et D2(A2, ~u2) les droites définies par les points A1 = (1, 1, 1), A2 = (2, 0,−1) et les vecteurs ~u1 = (0,−1, 1), ~u2 = (1,−1, 0). Déterminer dist(A1, D2), dist(A1, P ), dist(D1, D2) et dist(D2, P ).

4.3 Géométrie analytique

Ex. 1 Soit la droite D = D(A, ~u) de l’espace R3, où A est le point de coor- données (2, 0, 1) et ~u le vecteur de composantes (1, 1, 3) dans la base canon- ique. Donner une représentation paramétrique de D, puis une représen- tation cartésienne de D.

Ex. 2 Déterminer le centre et le rayon de la sphère d’équation x2 + y2 + z2 − x+ 2y − 2 = 0.

Ex. 3 Déterminer l’intersection des deux sphères d’équations respectives x2+ y2 + z2 − x+ 2y − 2 = 0 et x2 + y2 + z2 − x+ y − z − 4 = 0.

Ex. 4 Déterminer l’intersection du plan P d’équation x− y + 2z − 3 = 0 et de la droite D d’équations

{

−x+ y − z + 2 = 0, x+ y + 3 = 0.

Ex. 5 Soit S la sphère x2 + y2 + z2 − 2x + y − 2z − 7 = 0, et D la droite ayant pour représentation cartésienne

{

x+ y − 2z + 2 = 0, x− y + 4 = 0.

Donner une représentation paramétrique de D, et déterminer S ∩D.

9

Ex. 6 Coniques Dans un plan affine euclidien orienté P, soient F un point et D une droite affine ne contenant pas F . Pour tout point M de P on note H la projection orthogonale de M sur D. Soit e un nombre positif. On appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e, l’ensemble

C = {M ∈ P; MF = eMH }.

Si 0 < e < 1, on dit que C est une ellipse; Si e = 1, on dit que C est une parabole; Si e > 1, on dit que C est une hyperbole. On note K la projection orthogonale de F sur D. On pose α = FK et p = α e.

1. Etude d’une ellipse (0 < e < 1)

Soient ~i = 1 FK

−−→ FK.

a) Montrer que dans le repère orthonormé direct R = (F,~i,~j), l’ellipse C a pour équation

x2 + y2 = e2(x− α)2, ou encore

(

x+ αe2/(1− e2) αe/(1− e2)

)2

+ y2

(αe/ √ 1− e2)2

= 1.

On pose a = p 1−e2 , b =

p√ 1−e2 , c = ea, et on introduit le point O défini par−→

FO = −c~i. Montrer que l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i,~j) est

x′2

a2 +

y′2

b2 = 1.

Dessiner l’ellipse C. (On dit que a (resp. b) est le demi grand axe (resp. demi petit axe), et que O est le centre de C.) b) Soit le point F ′ défini par

−−→ F ′O =

−→ OF . Montrer que

C = {M ∈ P; MF +MF ′ = 2a}.

(Indication: soit s la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées. Remarquer que s(C) = C, et introduire M ′ = s(M), H ′ = s(H) et D′ = s(D).)

10

2. Etude d’une parabole (e = 1)

Soient S le milieu de [F,K] et ~i = 1 SF

−→ SF .

a) Montrer que dans le repère R = (S,~i,~j) la parabole C admet pour équation

y2 − 2px = 0.

Dessiner la parabole C. b) Montrer que la tangente en un point M de C est la bissectrice de F̂MH. (Indication : remarquant que l’application t 7→ ( t2

2p , t) est une paramétrisation

de C, dériver par rapport à t dans l’équation ‖−−→FM‖2 = ‖−−→HM‖2). En déduire que tout rayon lumineux parallèle à l’axe des abscisses se réfléchit sur la parabole en direction du foyer.

3. Etude d’une hyperbole (e > 1)

a) Soient ~i = − 1 FK

−−→ FK. Montrer que dans le repère orthonormé direct

R = (F,~i,~j), l’hyperbole C admet pour équation

x2 + y2 = e2(x+ α)2,

ou encore (

x+ αe2/(e2 − 1) αe/(e2 − 1)

)2

− y 2

(αe/ √ e2 − 1)2

= 1.

On pose a = p e2−1 , b =

p√ e2−1 , c = ea et on introduit le point O défini par−→

FO = −c~i. Montrer que dans le repère R′ = (O,~i,~j) C a pour équation

x′2

a2 − y

′2

b2 = 1.

Dessiner l’hyperbole C. b) Soit la fonction f(x) = k

x , où k > 0 est une constante positive. Montrer

que la courbe représentative C de f est une hyperbole, dont on précisera les caractéristiques (foyer, directrice, excentricité). (Indication : écrire l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i′, ~j′), avec ~i′ = 1√

2 (~i + ~j), ~j′ = 1√

2 (−~i + ~j) et

utiliser le fait que c = √ a2 + b2.)

Ex. 7 Intersection cylindre-plan et cône-plan Soit E3 rapporté à un repère orthonormé R = (O,~e1, ~e2, ~e3). Soit θ un an- gle compris entre 0 et π/2. Soit (~f1, ~f2, ~f3) la base (orthonormée) définie

11

par ~f1 = ~e1, ~f2 = cos(θ)~e2 + sin(θ)~e3, ~f3 = − sin(θ)~e2 + cos(θ)~e3. Soit R′ = (O, ~f1, ~f2, ~f3) le nouveau repère. On note (x, y, z) (resp. (x′, y′, z′)) les coordonnées d’un point M dans R (resp. R′). i) Représenter les demi-axes Ox, Oy, Oz, Ox′, Oy′ et Oz′. Montrer que

x = x′

y = cos(θ)y′ − sin(θ)z′ z = sin(θ)y′ + cos(θ)z′.

Dans tout ce qui suit on note P le plan d’équation z′ = 0, et on fait varier la valeur de l’angle θ. ii) Soit D le cylindre d’équation x2 + y2 = 1. Montrer que D ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/2 et la réunion de 2 droites pour θ = π/2. iii) Soit C le cône d’équation x2 + y2 = (z + 1)2. Montrer que C ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/4, une parabole pour θ = π/4, une hyperbole pour π/4 < θ < π/2, et la réunion de 2 droites pour θ = π/2.

Ex. 8 Projection orthogonale d’un cercle sur un plan (Extrait de la colle de Mai 2004) On se propose de montrer que la projection orthogonale d’un cercle sur un plan est une ellipse. On suppose donné dans R3 un plan P d’équation λy+z = 1 (λ étant un paramètre réel), un cercle C sur P de centre A = (0, 0, 1) et de rayon R > 0, et l’on étudie la projection orthogonale de C sur le plan d’équation z = 0. 1. Donner un système d’équations cartésiennes pour C. 2. Soit p : (x, y, z) 7→ (x, y, 0) la projection orthogonale sur le plan z = 0. Exprimer l’équation reliant x et y pour tout point (x, y, z) de C, puis donner le système d’équations cartésiennes définissant p(C). 3. Montrer que p(C) est une ellipse. Préciser son demi-grand axe a et son demi-petit axe b.

12

5. Applications de R dans R

5.1 Limite - Continuité

Ex. 1 Simplifier x 1

ln(x2) . Etudier les limites de x 1 x , (x3 − x + 2)

1 ln(x2) et de√

x2 + x− x lorsque x → +∞.

Ex. 2 Etudier les limites quand x → 0+ de f(x) = (x+ sin x)(1− cosx) (x+ sin(x

2 ))(1− cos(2x)) ,

g(x) =

√ x+ x2 −√x√ 3x ln(1 + x)

, h(x) = (x−2 + 1) √ x

Ex. 3 Soit f : R → R une fonction telle qu’en tout point x les limites f(x+0) et f(x− 0) existent et sont égales. f est-elle nécessairement continue ? Ex. 4 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer qu’il existe (au moins) un nombre x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x. Ex. 5 Soit f : R → R une application continue, vérifiant lim|x|→∞ f(x) = +∞. Montrer que f admet un minimum sur R (i.e., il existe x̄ ∈ R tel que f(x̄) ≤ f(x) pour tout x ∈ R). Ex. 6 Soit f : R → R une application continue. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes : (a) lim

|x|→+∞ |f(x)| = +∞ ;

(b) pour tout m > 0, l’image réciproque de [−m,m] est bornée. Ex. 7 Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est ou non uni- formément continue sur son ensemble de définition : a) x 7→ ln x ; b) x 7→ x2 ; c) x 7→ √x ; d) x 7→ sin x. Ex. 8 ∗ Soit f : R → R une application uniformément continue. Montrer qu’il existe deux constantes a ≥ 0 et b ≥ 0 telles que

|f(x)| ≤ a|x|+ b, ∀x ∈ R.

13

5.2 Applications dérivables

Ex. 1 Soit f une fonction dérivable sur R. On définit

g(x) = f(sin2 x) et h(x) = sin2 (

f(x) )

.

Exprimer les dérivées de g et de h en fonction de f et f ′.

Ex. 2 Montrer, en utilisant la définition de la dérivée en 0, que

lim x→0

sin x

x = 1, lim

x→0

cosx− 1 x

= 0, lim x→0

ex − 1 x

= 1, lim x→0

ln(1 + x)

x = 1.

Ex. 3 Calculer la dérivée logarithmique, puis la dérivée usuelle de

f(x) = x5 cos3 x sin4 x

(1 + x2)ex ·

Ex. 4 Soit f : R → R dérivable telle que f ′(x) → 0 lorsque x → +∞. Montrer que f(x+ 1)− f(x) → 0 lorsque x → +∞.

Ex. 5 (Extrait de la colle de Novembre 2002) Soient f et g deux fonctions dérivables sur R. On note F (x) =

∫ x

0 f(t) dt (resp. G(x) =

∫ x

0 g(t) dt) la

primitive de f (resp. de g) s’annulant en 0. Etudier la validité de chacune des assertions suivantes. On justifiera sa réponse en donnant une preuve courte lorsque l’assertion est vraie, et un contre-exemple lorsqu’elle est fausse. (A1) f(x) ∼ g(x) lorsque x → 0 ⇒ F (x) ∼ G(x) lorsque x → 0. (On supposera en outre que f et g sont positives ou nulles, pour simplifier.) (A2) f(x) ∼ g(x) lorsque x → 0 ⇒ f ′(x) ∼ g′(x) lorsque x → 0. (A3) f(x) ∼ g(x) lorsque x → +∞ ⇒ ef(x) ∼ eg(x) lorsque x → +∞.

Ex. 6 ∗ On dit qu’une application f : I → R est höldérienne d’exposant α > 0 s’il existe une constante C > 0 telle que

∀x, y ∈ I |f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α.

i) Montrer que x → √x est höldérienne d’exposant 1/2 sur I = [0, 1]. ii) Montrer que si f : I → R est höldérienne d’exposant α > 1, alors f est constante. (Indication : montrer que f est dérivable et que sa dérivée est nulle sur I.)

14

Ex. 7 ∗ Soit f :]a, b[→ R une fonction dérivable et telle que f ′(x) a une limite (finie) l′ lorsque x → a. i) Montrer que f(x) a aussi une limite finie lorsque x → a. (Indication : vérifier que le critère de Cauchy est satisfait.) ii) On prolonge f par continuité en a. Montrer que f est dérivable en a et que f ′(a) = l′. iii) Application : Soit la fonction f(x) = Argthx + Argth x2 définie et dérivable sur ] − 1, 1[. Montrer que f se prolonge en −1 en une fonction dérivable. (On rappelle que Argth ′(x) = 1

1−x2 .)

Ex. 8 (Extrait de la colle de Novembre 2002) Soit f une fonction de classe C1 sur R. On s’intéresse à la réflexion sur la courbe C = {(x, f(x)), x ∈ R} d’un rayon lumineux arrivant de l’infini en décrivant la demi-droite {(x, y) ∈ R2, x = x0 et y > f(x0)}. 1. Soient ~v, ~n et ~r des vecteurs directeurs respectivement du rayon incident (vertical), de la normale à la courbe en (x0, f(x0)) et du rayon réfléchi. On choisit ~v, ~n et ~r de telle sorte qu’ils pointent vers la partie de R2 au dessus de la courbe C, et que ~v et ~r soient de norme 1. On rappelle que dans ces conditions les lois de l’optique géométrique se traduisent par la relation

~v · ~n = ~n · ~r.

Exprimer ~r en fonction de f ′(x0). 2. Calculer l’ordonnée (notée g(x0)) du point situé à l’intersection du rayon réfléchi et de l’axe des ordonnées. 3. Montrer que la fonction g est constante lorsque f(x) = 1

2 x2.

4. Est-ce encore vrai lorsque f(x) = 1− √ 1− x2 ? Que se passe-t-il lorsque

x0 → 0 ? 5. Donner l’interprétation physique des résultats obtenus aux questions 3 et 4.

15

5.3 Applications réciproques

Ex. 1 a. Montrer que arctan(x) + arctan( 1 x ) = π

2 sgn(x) pour tout x ∈ R∗.

b. Montrer que arccos(x) + arcsin(x) = π 2 pour tout x ∈ [−1, 1].

Ex. 2 Soient x ∈ R \ {π 2 + kπ, k ∈ Z} et n =

[

x π + 1

2

]

. Montrer que arctan(tan(x)) = x− nπ.

Ex. 3 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Calculer A = cos(arccos(1 3 ) +

arcsin(1 2 )), B = sin(arccos(1

4 ) + π

3 ), C = cos(1

2 arctan 1), D = arctan(tan 2).

5.4 Fonctions convexes

Ex. 1 Montrer que |ab| ≤ (a2 + b2)/2 pour tout a, b ∈ R, puis que a2 + ab+ b2 > 0 pour tout (a, b) 6= (0, 0). Montrer que |ab| ≤ εa2 + 1

4ε b2 pour tous

ε > 0, a, b ∈ R. Application : Montrer que pour tous x, y ∈ R,

1

3 x2 + x sin y − 3

4 cos2 y ≥ −3

4 ·

Ex. 2 Inégalité de Young : Soient p et p′ deux nombres dans [1,+∞[ et tels que 1/p+ 1/p′ = 1. Montrer, en utilisant la concavité du logarithme, que

ab ≤ a p

p +

bp ′

p′ ∀a, b ≥ 0.

Ex. 3 Montrer que ( √ x+

√ y)/

√ 2 ≤ √x+ y ≤ √x+√y pour tous x, y ≥ 0.

Ex. 4 Montrer

xp + yp ≤ (x+ y)p ≤ 2p−1(xp + yp) ∀x, y ≥ 0, ∀p ≥ 1.

16

Ex. 5 Prouver 2

π x ≤ sin x ≤ x ∀x ∈ [0, π

2 ].

Ex. 6 Soit f : I → R une fonction de classe C1 et telle que f ′ est convexe, et soit a ∈ I. On introduit la fonction taux d’accroissement en a

τa(x) =

f(x)− f(a) x− a si x ∈ I, x 6= a,

f ′(a) si x = a.

Montrer que

τa(x) =

∫ 1

0

f ′(a+ t(x− a)) dt ∀x ∈ I.

En déduire que τa est convexe sur I. Application : Vérifier que la fonction lnx

x−1 est concave sur ]0,+∞[.

Ex. 7 Soit f : [a, b] → R une application dérivable et convexe. Montrer que le maximum de f est atteint en a ou en b.

17

6. Polynômes

Ex. 1 Effectuer la division euclidienne de A = x5−3x2+1 par B = x2+x+2, puis la division suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre 2 de A par B.

Ex. 2 Utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que les polynômes A = x3+1 et B = −2x2+1 sont premiers entre eux, et donner un couple (U, V ) ∈ R[x]2 satisfaisant l’identité de Bezout AU +BV = 1.

Ex. 3 Déterminer le PGCD de A = x4 − 1 et de B = x3 − 3x2 + x− 3.

Ex. 4 Soit A = x3− 7x2+16x− 12. Déterminer le PGCD de A et de A′, et trouver ses racines (qui sont les racines multiples de A). Déterminer toutes les racines de A.

Ex. 5 Soient P = x4 + x2 + 1 et Q = x3 + 1. Donner le PGCD de P et de Q et la décomposition de P en facteurs irréductibles sur R, puis celle en facteurs irréductibles sur C.

Ex. 6 On étudie le système

a2 + b2 + c2 = 14 (1) a+ b+ c = −2 (2)

a−1 + b−1 + c−1 = −5 6

(3)

Montrer que le système est équivalent à

ab+ bc+ ca = −5 (1′) a+ b+ c = −2 (2)

abc = 6, (3′)

et résoudre le second système.

Ex. 7 Polynômes de Tchebychev Pour tout n ≥ 0, on pose

Tn(x) = cos(n arccosx), ∀x ∈ [−1, 1].

18

i) Exprimer cosny en fonction de cos y. Montrer que Tn est un polynôme de degré n pour tout n ≥ 0. Calculer T0, T1, T2. ii) Montrer que cos(n + 1)y + cos(n − 1)y = 2 cosny cos y pour tout y. En déduire que

Tn+1 = 2xTn − Tn−1. Calculer T3, T4 et tracer le graphe de T4. iii) On pose xk = cos(

2k−1 2n

π) pour 1 ≤ k ≤ n. Montrer que Tn n’a que des racines simples, qui sont les xk. iv) On pose x′k = cos(

kπ n ) pour 0 ≤ k ≤ n. Montrer que Tn atteint ses

extrema sur [−1, 1] en les x′k.

19

7. Formule de Taylor-Lagrange et développements limités

Ex. 1 En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, montrer qu’on a

1− x 2

2 ! ≤ cosx ≤ 1− x

2

2 ! +

x4

4 !

pour tout x ∈ [

−π 2 , π 2

]

.

Ex. 2 Soit f(x) = x3 sin(x−2). Montrer que f a un développement limité à l’ordre 2 en 0 et que f n’a cependant pas de dérivée seconde en 0.

Ex. 3 Donner les développements limités à l’ordre 5 en 0 des fonctions sin(3x),

√ 1− x2, cosx− ch x, 1+2x

1−x .

Ex. 4 Donner un développement limité à l’ordre 2 en 0 de √ 1+x

coshx en utilisant

la division suivant les puissances croissantes des polynômes.

Ex. 5 Donner les développements limités à l’ordre 2 en 0 de f(x) = √ 1 + 2x

et de g(x) = x−1 ln(1 + 2x), puis le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f(x)/g(x) en effectuant une division suivant les puissances croissantes.

Ex. 6 a. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction

g(x) = ln 1 + x

1− x b. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction

f(x) = (

1 + g(x) )

1 3 .

Ex. 7 Donner un développement limité à l’ordre 5 en 0 de la fonction arcsin.

Ex. 8 Etudier les limites suivantes :

lim x→0

cosh x− cosx x2

, lim x→+∞

(1− x−2)x2, lim x→0

2 + ln(1 + x 4 )−

√ 4 + x

x2 .

20

Ex. 9 a. Ecrire un développement limité à l’ordre 2 en 0 de ln(1+h) 2+h

· b. Soit f :]0, 1[∪]1,+∞[→ R définie par f(x) = lnx

x2−1 . Montrer que f peut être prolongée en une fonction continue sur ]0,+∞[ (que l’on désigne encore par f). Montrer que f est dérivable en 1, et calculer f(1) et f ′(1).

Ex. 10 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soit a un réel non nul et soit

f :]− 1|a| , 0 [ ∪ ] 0, 1

|a| [→ R définie par f(x) = (1 + ax) 1

sin(ax)−x .

1. On suppose a 6= 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner la valeur de f(0). b) Montrer que f est dérivable en x = 0, et donner f ′(0). (On donnera un DL1 de f en 0.) 2. On suppose a = 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner f(0). b) f est-elle dérivable en 0 ? Si c’est le cas, donner f ′(0).

Ex. 11 Montrer que le graphe de f(x) = √ 4 + x2 − 1 + x

2

1 + 2x a une asymp-

tote oblique pour x → +∞, et préciser la position du graphe par rapport à l’asymptote.

Ex. 12 (Extrait de l’examen de Janvier 2003)

Montrer que le graphe de la fonction f(x) = x √ 4x2 + 5

x+ 3 admet une asymptote

lorsque x → +∞, et donner la position de la courbe y = f(x) par rapport à l’asymptote au voisinage de l’infini.

Ex. 13 Soit fa(x) = (x 3 + x2 + ax)

1 3 , où a ∈ R est un paramètre.

1. Montrer que la courbe y = fa(x) a une asymptote oblique lorsque x → +∞. 2. Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote en fonction de la valeur de a. (Indication : pour la valeur critique de a, on prendra un

développement limité de (1 + v) 1 3 à l’ordre 3 au voisinage de 0.)

21

8. Fractions rationnelles

Ex. 1 Donner la décomposition en éléments simples sur C de la fraction

F1(x) = 3x+ i

x2 − 2ix+ 3 ·

Ex. 2 Donner la décomposition en éléments simples sur R, puis sur C, de

la fraction F2(x) = x5 + 1

x3 − 1 ·

Ex. 3 Donner la décomposition en éléments simples sur R de la fraction

F3(x) = x2 + 1

(x+ 1)3(x+ 2) ·

Ex. 4 Donner la décomposition en éléments simples sur R de la fraction

F4(x) = 4x4 + 3x3 + 7x2 + 4x+ 5

x5 + 2x3 + x ·

Ex. 5 (Extrait de la colle de Mars 2002) Donner la décomposition en éléments

simples sur R des fractions F1(x) = 2x+ 3

(x− 2)3 (x+ 1) et F2(x) = x3 − 2x x(x+ 1)

·

22

9. Intégrales simples

9.1 Intégrale de Riemann

Ex. 1 Un automobiliste parcourt en 2 heures un tronçon d’autoroute de 260 km délimité par deux péages. Un agent de la circulation situé au second péage est convaincu que l’automobiliste a commis un excès de vitesse. Pourquoi a- t-il raison ?

Ex. 2 On pose pour tout n ≥ 1

un =

n ∑

k=1

1

n+ k , vn =

n−1 ∑

k=0

1√ n2 + k2

·

Ecrire un et vn comme des sommes de Riemann et calculer les limites des suites (un) et (vn).

Ex. 3 Soit un = n −2(e

1 n + 2 e

2 n + · · · + n enn ) pour tout n ≥ 1. Calculer

limn→+∞ un.

Ex. 4 Calculer l’aire comprise entre les courbes y1(x) = √ 1− x2, x ∈

[−1, 1] et y2(x) = √ 1 + x2 −

√ 2, x ∈ [−1, 1].

Ex. 5 Soit F (x) =

∫ x

0

du

2 + cosu · Montrer que la fonction F est définie et

dérivable sur R et impaire. Calculer F (x) dans ]− π, π[ à l’aide du change- ment de variables t = tan u

2 . En déduire la valeur de F (π) et celle de

∫ π

π

2

du

2 + cosu ·

Ex. 6 ∗ 1. Montrer que pour tout x 6∈ 2πZ N ∑

k=1

eikx = eix eiNx − 1 eix − 1 = e

i(N+1)x/2 sin(Nx/2)

sin(x/2) ·

23

2. On pose pour tout y ∈ R et tout N ∈ N∗

SN(y) = N ∑

k=1

sin(ky)

k ·

Comme la fonction SN est impaire et 2π-périodique, on se restreint à l’intervalle d’étude [0, π], donc dans ce qui suit y ∈ [0, π]. Montrer que

SN(y) =

∫ y

0

cos((N + 1)x/2) sin(Nx/2)

sin x/2 dx

= 1

2

∫ y

0

sin(Nx)cotg(x/2) dx− 1 2

∫ y

0

(1− cos(Nx)) dx.

(Indication : on utilisera le fait que sin(ky)/k = ∫ y

0 cos(kx) dx.)

3. Lemme de Riemann-Lebesgue : Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C1. Montrer que

lim N→+∞

∫ b

a

f(x)eiNx dx = 0.

(Indication : intégrer par parties.) 4. Remarquant que SN(π) = 0 et utilisant la question 3, montrer que pour tout y ∈]0, π]

lim N→+∞

SN(y) = π − y 2

·

5. Calculer limy→0 y>0

limN→+∞ SN (y) et limN→+∞ limy→0 y>0

SN(y).

Ex. 7 ∗ Intégrales de Wallis et formule de Stirling Le but de cet exercice est de donner un équivalent simple de n ! lorsque n → +∞. 1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ [n, n + 1]

lnn + (x− n) ln n+ 1 n

≤ ln x ≤ lnn+ 1 n (x− n). (∗)

En déduire que 2

2n+ 1 ≤ ln n + 1

n ≤ 2n+ 1

2n(n+ 1) ·

24

2. Soit la suite (un)n≥1 définie par

un = (n + 1

2 ) lnn− lnn !− n.

Montrer que pour tout n ≥ 1

0 ≤ un+1 − un ≤ 1

4n(n+ 1) ·

En déduire que la suite (un) est convergente. 3. Prouver qu’il existe un nombre C > 0 tel que

n ! ∼ Ce−nnn+ 12 lorsque n → +∞.

4. Cette question a pour but de déterminer la valeur de la constante C. On introduit la suite (In)n≥0 des intégrales de Wallis

In =

∫ π

2

0

sinn t dt.

a) Montrer que

In =

∫ π

2

0

cosn t dt ∀n ∈ N.

Calculer I0 et I1 et montrer que

In = n− 1 n

In−2 ∀n ≥ 2.

b) On pose pour tout n ∈ N∗

vn = 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) 2 · 4 · 6 · · · (2n) ·

Montrer que pour tout m ≥ 1

I2m = π

2 vm et I2m+1 =

1

2m+ 1

1

vm ·

c) Prouver que

vm ∼ 1√ π

1√ m

lorsque m → +∞.

25

d) Etablir la formule de Stirling

n ! ∼ √ 2π

√ n (n

e

)n

lorsque n → +∞.

(Indications: Remarquer que vm = (2m !)/(2 mm !)2 et utiliser la question 3.)

5. Montrer que pour tout λ > 1 et tout p ∈ N∗

np = o(λn) et λn = o(n !).

9.2 Calcul de primitives et d’intégrales

Ex. 1 Calculer I = ∫ 3

2 x √ 1 + x4 dx.

Ex. 2 (Extrait de la colle de Mars 2004)

Calculer les intégrales suivantes : I1 =

∫ 1

0

√ 1 + x2 dx, I2 =

∫ 1

0

(x2+2)−2 dx,

I3 =

∫ π

2

0

2 + sin θ . On rappelle que argsh x = ln(x+

√ x2 + 1).

Ex. 3 Calculer les primitives suivantes (en précisant leurs domaines) ∫

ln(x+ x−1) dx et ∫

arcsin(x) dx.

Ex. 4 (Extrait de la colle de Mars 2004)

Donner les primitives de 1

x(ln x)3 , ex(x− x2), x− 2

x2 + x− 2 , ln x

x 5 2

.

Ex. 5 (Extrait de l’examen de Septembre 2004)

Donner les primitives de x ex 2 , ln x,

x2 + x+ 2

x(x2 + 1) , √ x ln x, e2x cos(3x),

1 + sin x

sin x cosx ·

Ex. 6 Donner les primitives de tan x, arctan x, cos

√ x√

x , x4 − 2x+ 1

1− x3 , x 2 ex,

1

sin x , cos2 x sin3 x.

26

Ex. 7 Donner les primitives de sin x

1 + cos2 x , ln x

x2 ,

x2√ 1− x3

, x3 + 1

(x2 + 2)2 ,

cosh x

1− sinh x ·

Ex. 8 Soit a > 0. Donner les primitives de 1

x2 + a2 ,

1√ x2 + a2

, 1√

a2 − x2 ,

1√ x2 − a2

.

Ex. 9 Donner les primitives de 2x+

√ x− 1

1 + √ x− 1

et de x√

x2 + 2x+ 2 ·

27

10. Equations différentielles

Ex. 1 Calculer la solution générale de l’équation différentielle

(E) y′ = 2x

1 + x2 y − 1.

Ex. 2 Résoudre l’équation différentielle

(E) x4y′ + 3x3y = 1

x2 + 1 ·

Ex. 3 (Extrait de l’examen de Septembre 2002) On considère l’équation différentielle

(E) y′ + y

x2 =

e 1 x

1 + ex .

1. Déterminer la solution générale de (E) sur ]0,+∞[. 2. Soit y1 la solution de (E) qui vérifie limx→+∞ y1(x) = 1. Déterminer limx→0+ y1(x).

Ex. 4 (Extrait de l’examen de Septembre 2003) On considère l’équation différentielle

(H) y′(x)y2(x)x3 = −1.

1. Trouver la solution générale de (H). 2. Déterminer la solution de (H) vérifiant y(1) = 1, en précisant son inter- valle maximal de définition I. (Attention : la dérivée doit exister et vérifier (H) en tout point de I.) Dessiner le graphe de cette solution.

Ex. 5 1 (Extrait de la colle de Mai 2003) La croissance d’un arbre dans une forêt suit la loi de Lunqvist Matérn :

dH

dt = C

H

K (ln(

K

H ))1+

1 α ,

où C,K et α sont des constantes strictement positives. Intégrer cette équation, en exprimant H(t) en fonction de H(0) et de t. (Indication : poser u(t) = ln(K/H(t)), et intégrer l’équation différentielle à variables séparables satis- faite par u.) Que vaut limt→+∞H(t) ?

1d’après P. Vallet

28

Ex. 6 (Extrait de l’examen de Juin 2004) Résoudre l’équation différentielle

(E) y′′ + y = x sin x.

Ex. 7 Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle

(E) y′′ − 2y′ + 5y = ex cos 2x+ 1. Ex. 8 Résoudre l’équation différentielle

(E) y′′ − 4y′ + 4y = xe2x. Ex. 9 Circuit RLC en régime forcé On considère un circuit RLC, constitué d’une bobine d’inductance L et de résistance R, d’un condensateur de capacité C et d’un générateur délivrant une tension u(t) = A cosωt. L’équation différentielle satisfaite par la charge q(t) du condensateur est

(E) L d2q

dt2 +R

dq

dt +

1

C q = A cosωt.

1. On suppose A = 0. Déterminer la solution générale de l’équation ho- mogène

(H) L d2q

dt2 +R

dq

dt +

1

C q = 0.

Montrer qu’elle tend vers 0 exponentiellement vite. Dans quel cas est-elle oscillante ? 2. Prouver qu’il existe une solution particulière de (E) périodique, de pul- sation ω, puis donner la solution générale de (E). Interpréter le résultat obtenu.

Ex. 10 Si on désigne par y1 et y2 deux solutions de l’équation différentielle

y′′ + b y′ + c y = 0

on définit le wronskien W de y1 et y2 par

W (y1, y2) =

y1 y2 y′1 y

′ 2

= y1 y ′ 2 − y2 y′1.

1. Montrer que W vérifie W ′ + bW = 0.

En déduire l’expression de la fonction W . 2. Que peut-on dire de la fonction W s’il existe un réel x0 tel que W (x0) 6= 0?

29

Ex. 11 Méthode de variation des constantes Soit l’équation

(E) a y′′ + b y′ + c y = f(x),

avec a 6= 0. Soient y1(x) et y2(x) deux solutions de l’équation homogène associée. On cherche une solution particulière de (E) sous la forme

y0(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x),

où C1 et C2 sont des fonctions de x à déterminer. 1. On suppose que C ′1 et C

′ 2 (les dérivées de C1, C2 par rapport à x) vérifient

le système

(S)

{

C ′1 y1 + C ′ 2 y2 = 0,

C ′1 y ′ 1 + C

′ 2 y

′ 2 =

1 a f(x).

Montrer que y0 est alors solution de (E). 2. Quelle conditions doit-on imposer à y1 et y2 pour déterminer C

′ 1 et C

′ 2 ?

(Utiliser l’exercice 10.) 3. Application : résoudre l’exercice 8 en utilisant cette méthode.

Ex. 12 Equation de Schrödinger 1-D 1. Soient E > 0, m > 0. Quelle est la solution générale de l’équation de Schrödinger

− ~ 2

2m y′′ − E y = 0,

où ~ > 0 est la constante réduite ? 2. On considère une particule d’energie E > 0, de masse m > 0 enfermée dans une bôıte de longueur a > 0. Sa fonction d’onde y, supposée non nulle, vérifie alors l’équation de Schrödinger et les conditions aux limites

y(0) = y(a), y′(0) = y′(a).

Pour quelles valeurs de l’énergie est-ce possible ?

30

11. Fonctions de plusieurs variables

11.1 Topologie générale - limites

Ex. 1 R2 est muni de la norme euclidienne usuelle. Les parties suivantes de R2 sont-elles ouvertes ? fermées ? A1 =]1, 2[×]−∞, 3[; A2 = {(x1, x2) ∈ R2; x1x2 ≤ 3}; A3 = {(x1, x2) ∈ R2; 1 ≤ 14x21 + x22 < 4}; A4 = {(x1, x2) ∈ R2; x2 ≥ x21}.

Ex. 2 R est muni de la norme euclidienne usuelle (i.e. la valeur absolue). 1. Soient les ouverts

On = ]− n+ 1

n , n+ 1

n [, O′n = ] 0,

n+ 1

n [, n ≥ 1.

Déterminer explicitement les ensembles O = ∩n≥1On, O′ = ∩n≥1O′n. Sont-ils ouverts ? fermés ? 2. Soient les fermés

Fn = [− n− 1 n

, n− 1 n

], F ′n = [ 0, n− 1 n

], n ≥ 1.

Les ensembles F = ∪n≥1Fn, F ′ = ∪n≥1F ′n sont-ils ouverts ? fermés ?

Ex. 3 Ecrire la définition de f(x) → +∞ lorsque x → x0, et de f(x) → a lorsque ‖x‖ → ∞

Ex. 4 Etudier la limite en (0, 0) de (x, y) 7→ x 3

x2 + y2 . Faire de même avec

(x, y) 7→ x 2

x2 + y2 et avec (x, y) 7→ y sin( 1

x2 + y2 ).

Ex. 5 Soient α > 0 et fα : R 2 \ {0} → R la fonction définie par

fα(x, y) = |x2 − y2|α x2 + y2

∀(x, y) ∈ R2 \ {0}·

Pour quelle valeur de α fα(x, y) → 0 lorsque (x, y) → (0, 0) ?

31

Ex. 6 Soit f : R2 → R définie par

f(x, y) =

xy2

x2 + y6 si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que pour tout (x, y) 6= (0, 0), f(tx, ty) → 0 lorsque t → 0+. Montrer que f n’est pas bornée au voisinage de (0, 0). La fonction f a-t-elle une limite lorsque (x, y) → (0, 0) ?

32

11.2 Compacité

Ex. 1 ∗ Soit f : RN → R une fonction continue et telle que

lim ||x||→+∞

f(x) = +∞.

Montrer que f est minorée et que f atteint sa borne inférieure. (Indication : minorer f sur une boule fermée centrée en 0 et de rayon con- venable.)

Ex. 2 ∗ Théorème de d’Alembert-Gauss On identifie C à R2 par l’application z = x + iy 7→ (x, y). Soit P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn un polynôme non constant à coefficients complexes (an 6= 0 et n ≥ 1). On veut montrer qu’il existe des nombres complexes z1, . . . , zn tels que P (z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn).

1. Montrer que lim|z|→+∞ |P (z)| = +∞, et en déduire que la fonction z 7→ |P (z)| est minorée et atteint sa borne inférieure sur C. (Indication : utiliser le résultat de l’exercice 1). Soit z1 ∈ C tel que |P (z1)| = infz∈C |P (z)|.

2. Montrer que l’on peut écrire

P (z) = P (z1) + bk(z − z1)k + bk+1(z − z1)k+1 + · · ·+ bn(z − z1)n,

avec bk 6= 0 et k ≥ 1.

3. On veut montrer que P (z1) = 0. On suppose que P (z1) 6= 0.

a) Ecrivant P (z1) = ρe

iθ, bk = ρ ′eiθ

et choisissant z = z1 + αe i θ−θ

′+π k où α est un réel, montrer que

P (z) = ρeiθ − αkρ′eiθ(1 +O(α))

b) Montrer que |P (z)| < |P (z1)| si α > 0 est assez petit. Conclure.

4. Montrer que P (z) = (z−z1)Q1(z), où Q est un polynôme à coefficients complexes de degré n− 1. Conclure.

33

11.3 Dérivées Partielles

Ex. 1 Représenter l’ensemble de définition et calculer les dérivées partielles ∂u

∂x , ∂u

∂y pour les fonctions

u(x, y) = arctan(x y) ; u(x, y) = arctan x

y ; u(x, y) = exp

x

y + exp

y

x ;

u(x, y) = x2 sin y ; u(x, y) = √

1− x2 − y2 ; u(x, y) = ln(x+ y).

Ex. 2 Soient deux fonctions f et g de R2 dans R de classe C1. On cherche les solutions u = u(x, y) du système d’équations aux dérivées partielles

(S)

∂u

∂x = f(x, y),

∂u

∂y = g(x, y).

1. On suppose que (S) a une solution u. Comparer ∂f

∂y à ∂g

∂x .

2. Résoudre (S) dans chacun des cas suivants: a) f(x, y) = 2 x y + y3 et g(x, y) = x2 + 3 y2 x ; b) f(x, y) = − sin x sin y et g(x, y) = − cosx cos y ; c) f(x, y) = −y et g(x, y) = x ; d) f(x, y) = 4 x3 y2 + 2 x y4 et g(x, y) = 2 x4 y + 4 x2 y3 + cos y.

Ex. 3 Fonctions homogènes Une fonction f : Rn → R est dite homogène de degré k > 0 si f(t x) = tk f(x) pour tous t > 0, x ∈ Rn. Donner des exemples de fonctions homogènes de degré 1, 2. Soit f : Rn → R une fonction de classe C1. 1. Montrer que si f est homogène de degré k, alors f vérifie l’identité d’Euler:

n ∑

i=1

xi ∂f

∂xi = k f(x) ∀x ∈ Rn.

(Indication : dériver par rapport à t dans f(t x) = tk f(x).) 2. Montrer que la réciproque est vraie. (Indication : dériver la fonction g(t) = f(tx), et résoudre l’équation différentielle satisfaite par g.)

34

Ex. 4 Le laplacien ∆u d’une fonction u = u(x, y) est

∆u = ∂2u

∂x2 +

∂2u

∂y2 ·

Donner l’expression du laplacien en coordonnées polaires. (On fera le change- ment de variables x = r cos θ, y = r sin θ, on écrira u(x, y) = v(r, θ), et on

montrera que ∆u = ∂2v

∂r2 +

1

r

∂v

∂r +

1

r2 ∂2v

∂θ2 ·)

Ex. 5 Résoudre les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) suivantes :

1. ∂2u

∂x2 = 0 ;

2. ∂2u

∂x ∂y = 0 ;

3. ∂2u

∂y2 = cos(x+ y).

Ex. 6 Soit U = {(x, y) ∈ R2| x > 0}, et soit f : U → R une fonction de classe C1. Soient (r, θ) les coordonnées polaires. 1. Exprimer x, y en fonction de r et θ, et r, θ en fonction de x et y. Soit D le domaine décrit par (r, θ) lorsque (x, y) décrit U . Déterminer D.

2. Soit g : D → R définie par g(r, θ) = f(x, y). Exprimer ∂f ∂x

et ∂f

∂y en

fonction de r, θ, ∂g

∂r et

∂g

∂θ .

3. Déterminer les fonctions f : U → R de classe C1 solutions de l’EDP: x ∂f

∂x + y

∂f

∂y = 1.

Ex. 7 Résoudre les EDP suivantes en utilisant le changement de variables indiqué :

1. ∂u

∂x − ∂u

∂y = 0 (s = x+ y, t = x− y);

2. x ∂u

∂y − y∂u

∂x = x (x = r cos θ, y = r sin θ);

3. ∂2u

∂t2 −c2∂

2u

∂x2 = 0 (équation des cordes vibrantes) (y = x+ct, z = x−ct).

35

Ex. 8 On définit le laplacien d’une fonction u = u(x1, ..., xn) par

∆u = ∂2u

∂x21 + · · ·+ ∂

2u

∂x2n ·

Soit u une fonction radiale (i.e. il existe une fonction h telle que u(x) = h(‖x‖) pour tout x, où ‖x‖ =

x21 + · · ·+ x2n ). 1. Montrer que

∆u(x) = h′′(r) + n− 1 r

h′(r), où r = ‖x‖.

2. Trouver les solutions radiales de l’équation de Laplace :

∆u = 0

sur Rn \ {0}, puis sur Rn. (Indication : intégrer l’équation différentielle satisfaite par h. Noter que la solution dépend de la valeur de n.)

36

11.4 Extrema

Ex. 1 Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 au point (0, 0) pour les fonc- tions suivantes :

a) f(x, y) = cos x

cos y ;

b) g(x, y) = 1

(1− x)(1− y) ; c) h(x, y) = ln(1 + x2 + y2).

Ex. 2 Soit Ω =]0,+∞[2. Soit f : Ω → R définie par

f(x, y) = x− y x+ y

·

Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 pour la fonction f au point (1, 1).

Ex. 3 Pour chacune des fonctions suivantes définies sur R2 : f1(x, y) = x

2 − y3, f2(x, y) = x+ y + x

2 − xy + y2 + 1, f3(x, y) = 3x− x2 + xy − 2y2, f4(x, y) = 8x

3 − 2y3 + 6yx2 − 3x2, 1. Déterminer les points critiques ; 2. Calculer la matrice hessienne en ces points critiques ; 3. Etudier la nature des points critiques (extrema locaux stricts, extrema globaux,...)

Ex. 4 (Extrait de la colle de Mai 2004) On pose f(x, y) = x2 + y2 − 4Arctg (xy) pour (x, y) ∈ R2. 1. Montrer que f est minorée et que f atteint sa borne inférieure. 2. Déterminer les points critiques de f , et donner leur nature (minimum ou maximum local, global, etc.). Donner la valeur minimale de f sur R2.

Ex. 5 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soient m ∈ R un paramètre et f la fonction f(x, y) = mx2 + y2 − 4xy. 1. Déterminer les points critiques de f suivant les valeurs du paramètre m. 2. Déterminer les extrema de f suivant les valeurs du paramètre m.

37

Ex. 6 On considère la famille de fonctions fm : R 2 → R définies par

fm(x, y) = x 2 +my2 − (x2 + y2)2 ∀(x, y) ∈ R2

où m est un paramètre. Déterminer les points critiques de fm et dire s’ils correspondent à des extrema.

Ex. 7 ∗ On veut étudier le mouvement d’un pendule pesant sans friction. Soit m la masse du pendule (supposé concentré en un point), l la longueur de la tige (de masse négligeable), g l’accélération de la pesanteur et θ l’angle entre la verticale inférieure et la tige. 1. Rappeller l’équation fondamentale de la dynamique et l’expression de l’énergie totale. Montrer que l’énergie totale est constante par rapport au temps au cours du mouvement du pendule. 2. Etudier les extrema de l’énergie totale, vue comme une fonction de (θ, θ̇). 3. Dessiner quelques courbes de niveau de l’énergie totale et décrire le mou- vement du pendule au voisinage d’un équilibre.

Ex. 8 Extrema liés Soit C = {M(t), t ∈ [0, T ]} une courbe fermée de R2 de classe C1. On note (x(t), y(t)) les coordonnées de M(t), et V (t) = (x′(t), y′(t)) le vecteur vitesse, supposé jamais nul. 1. Donner l’expression d’un vecteur normal n(t) à C en M(t). 2. Soit f : R2 → R une application de classe C1. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes sur C. Soit M(t̄) un point extrémal pour f|C . Montrer qu’il existe un nombre λ (appelé multiplicateur de Lagrange) tel que

grad f(M(t̄)) = λn(t̄).

3. Application : trouver géométriquement les extrema de f(x, y) = x+ 2y− 1 sur le cercle unité. Retrouver analytiquement le résultat en étudiant les variations de t 7→ f(cos t, sin t).

38

12. Algèbre linéaire

12.1 Matrices - Systèmes linéaires

Ex. 1 On considère les deux matrices de M3(R)

A =

1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1

 et B =

1 1 0 1 1 0 0 0 1

Calculer A+B, (A+B)2, A2, B2, AB et BA. En déduire que (A+B)2 6= A2 + 2AB +B2.

Ex. 2 On considère les matrices suivantes

A =

(

1 2 3 4 5 6

)

et B =

1 2 3 4 5 6

Calculer, dès que cela est possible, A+B, AB et BA.

Ex. 3 Résoudre les systèmes linéaires suivants :

(S1)

{

x+ 3y − 2z + 4t = 1 z = 1

(S2)

2x+ y − z = 1 x− y + z = 2 4x+ 3y + z = 3

(S3)

2x+ y − z = 1 3x+ 3y − z = 2 2x+ 4y = 3

(S4)

2x+ y − z = 1 3x+ 3y − z = 2 2x+ 4y = 2

(S5)

x− 2y + z − 4t = 1 x+ 3y + 7z + 2t = 2 x− 12y − 11z − 16t = 5

(S6)

2x+ 2y − 2z + 5t = −6 3x− z + t = −3 2x− y − 3t = 2 2x− y + z − t = 1

39

Ex. 4 Résoudre les systèmes suivants en discutant suivant les valeurs du paramètre α ∈ R :

(S7)

αx+ y + αz = 2α αx− αy + z = 2α αx− αy + αz = 1 + α

(S8)

x+ 2 y + z = 0 x+ y + (1 + α)z = 1 x+ y − α2z = α3

(S9)

{

2αx+ (α− 1)y + (5− α)z = 0 (α− 1)x+ 2αy + (7 + α)z = 0

Ex. 5 Résoudre le système linéaire

2x+ y + 3z + t = a 4x+ 3y + 7z + t = b x+ 2y + 3z − t = 6− a 3x− 2y + z + 5t = 2− 7b

en discutant suivant les valeurs des paramètres a et b.

Ex. 6 Matrices par blocs Soit M une matrice complexe carrée d’ordre n et soit p ∈ {1, ..., n− 1}. La matrice M peut se décomposer en blocs sous la forme

M =

(

A B C D

)

où A ∈ Mp(C), B ∈ Mp,n−p(C), C ∈ Mn−p,p(C) et D ∈ Mn−p(C). 1. Soit M ′ ∈ Mn(C) que l’on décompose en blocs comme M :

M ′ =

(

A′ B′

C ′ D′

)

.

Quelle est la décomposition en blocs de M +M ′ et de M M ′ ? 2. On suppose que C = 0. Montrer que M est inversible si, et seulement si A et D le sont, et que dans ces conditions

M−1 =

(

A−1 −A−1BD−1 0 D−1

)

·

40

3. Calculer l’inverse de

M =

0 −2 1 2 2 0 3 5 0 0 −1 0 0 0 4 3

4. On suppose que la matrice M = (mi,j) d’ordre n est triangulaire supérieure. Montrer que M est inversible si, et seulement si, mii 6= 0 pour tout i. (Indi- cation: faire une récurrence sur n et utiliser la question 2.) Montrer que si la matrice (triangulaire supérieure) M est inversible, alors son inverse M−1

est aussi une matrice triangulaire supérieure.

Ex. 7 Inverser les matrices

A =

(

−2 1 4 3

)

B =

(

1 2 −1 3

)

C =

1 2 4 0 1 4 0 0 1

 D =

1 −1 1 2 −3 0 1 1 2

Ex. 8 Soit la matrice M =

a 1 a + 1 0 1 2 a 0 −1

 dépendant du paramètre a.

Calculer M−1 en fonction de a lorsque cette matrice existe.

Ex. 9 Une matrice A ∈ Mn(K) (K = R ou K = C) est dite à diagonale strictement dominante (sur les lignes) si

∀i ∈ {1, ..., n} |aii| > ∑

j 6=i |aij |.

1. Montrer que s’il existe X ∈ Kn \ {0} tel que AX = 0, alors A n’est pas à diagonale strictement dominante. 2. En déduire qu’une matrice à diagonale strictement dominante est in- versible. 3. Soit α > 0 et A = (aij) la matrice (tridiagonale) définie par

aij =

α si i = j 1 si |i− j| = 1 0 si |i− j| ≥ 2.

Donner un ensemble de valeurs de α pour lequel la matrice A est inversible.

41

12.2 Déterminants

Ex. 1 Calculer σ2 ◦ σ1, où σ1 = (

1 2 3 4 3 4 1 2

)

et σ2 =

(

1 2 3 4 3 2 4 1

)

.

Que vaut ε(σ2 ◦ σ1) ?

Ex. 2 Calculer les déterminants

D1 =

1 2 0 1 0 1 −1 4 3 1 2 −4 2 2 1 −2

D2 =

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

Ex. 3 Déterminer les racines du polynôme

P (x) =

x− 1 3 0 6 2 x+ 4 −2 −5 −1 −6 x 5 −2 −6 2 x+ 3

en faisant apparâıtre la factorisation de P au cours du développement du déterminant.

Ex. 4 Déterminant de Vandermonde Soient a1, a2, ..., an des nombres complexes. On pose

Dn =

1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a

2 2 . . . a

2 n

... ... . . .

... an−11 a

n−1 2 . . . a

n−1 n

·

1. Soit P un polynôme unitaire de degré n− 1. Montrer que

Dn =

1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a

2 2 . . . a

2 n

... ... . . .

... P (a1) P (a2) . . . P (an)

·

42

2. Choisissant P (x) = (x−a1)·(x−a2) · · · (x−an−1), exprimer Dn en fonction de Dn−1, puis donner la valeur de Dn. A quelle condition la matrice

1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a

2 2 . . . a

2 n

... ... . . .

... an−11 a

n−1 2 . . . a

n−1 n

est-elle inversible ?

Ex. 5 Soient n ∈ N∗, a ∈ R et Mn ∈ Mn(R) la matrice tridiagonale définie par Mn = (mij), avec

mij =

a si i = j, 1 si |i− j| = 1, 0 si |i− j| ≥ 2.

On pose Dn = detMn. 1. Montrer que D1 = a, D2 = a

2−1 et que Dn = aDn−1−Dn−2 pour n ≥ 3. 2. On rappelle que toute suite (un) vérifiant la relation de récurrence double

un + b un−1 + c un−2 = 0

s’écrit sous la forme • un = λ1(r1)n + λ2(r2)n si b2 − 4c 6= 0, où r1, r2 sont les racines (complexes ou réelles) du polynôme x2 + bx+ c; • un = λ1 rn + λ2 n rn si b2 − 4c = 0, où r est la racine double du polynôme x2 + bx+ c. On pose ∆ = a2 − 4. a. On suppose que ∆ = 0. Montrer que Dn =

(a

2

)n

(n + 1).

b. On suppose que ∆ 6= 0. Ecrivant

r1 = a +

√ ∆

2 r2 =

a− √ ∆

2

où √ ∆ désigne une racine carrée (réelle ou complexe) de ∆, montrer que

Dn = 1√ ∆ (rn+11 − rn+12 ) = rn1 + rn−11 r2 + · · ·+ r1rn−12 + rn2 .

c. Déterminer pour quelles valeurs de a la matrice M est inversible.

43

12.3 Espaces Vectoriels

Ex. 1 Dessiner les parties suivantes de l’espace vectoriel R2, et dire si ce sont des sous-espaces vectoriels. a) E1 = {(x1, x2) ∈ R2, x2 ≥ 0} b) E2 = {(x1, x2) ∈ R2, x1 = 0} c) E3 = {(x1, x2) ∈ R2, 2x1 − 7x2 = a}, où a est un paramètre d) E4 = {(x1, x2) ∈ R2, x1 x2 = 0}

Ex. 2 Soit E l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. Les parties de E qui suivent sont-elles des sous-espaces vectoriels ? a) F1 = {f ∈ E, f(1) = 0} b) F2 = {f ∈ E, f(0) = 1} c) F3 = {f ∈ E, 3f(0)− 2f(1) + f(5) = 0} d) F4 = {f ∈ E, f est dérivable et vérifie f ′ + af = 0}, où a est un réel fixé e) F5 = {f ∈ E, f est croissante } f) F6 = {f ∈ E, f est intégrable au sens de Riemann sur [0,1] et

∫ 1

0 f(x) dx =

0} g) F7 = {x 7→ αx3 + βx2 + γx+ δ, α, β, γ, δ ∈ R}

Ex. 3 On note Sn(R) (resp. An(R)) l’ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) réelles d’ordre n. 1. Montrer que Sn(R) et An(R) sont des sous-espaces vectoriels de Mn(R). 2. En remarquant que toute matrice M peut s’écrire sous la forme

M = 1

2 (tM +M) +

1

2 (M − tM),

montrer que Sn(R) et An(R) sont supplémentaires et donner une base pour chacun d’entre eux.

Ex. 4 2 Carrés magiques Soit M ∈ M3(R), M = (mij). On appelle trace de M , et on note tr M , le nombre

tr M = m11 +m22 +m33.

2 c©2002 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

44

On dit que M est une matrice magique si

∀i ∈ {1, 2, 3} m1i+m2i+m3i = mi1+mi2+mi3 = trM = m13+m22+m31.

Si de plus mij ∈ N∗ pour tous i, j, M est appelée un carré magique. On note E l’ensemble des matrices magiques de M3(R). 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3(R). Montrer que toute matrice magique peut s’écrire comme la somme d’une matrice magique symétrique et d’une matrice magique antisymétrique. 2. Déterminer toutes les matrices magiques antisymétriques. 3. Déterminer toutes les matrices magiques symétriques de trace nulle, puis toutes les matrices magiques symétriques. 4. Donner la forme générale d’une matrice magique et une base de E. Décomposer dans cette base le carré magique habituel

M =

4 9 2 3 5 7 8 1 6

 ·

Donner la forme générale d’un carré magique.

Ex. 5 Soient a, b, c trois vecteurs d’un espace vectoriel E sur R. Montrer que 1. Vect (a, b, c) = Vect (a, b) ssi c est combinaison linéaire de a et b 2. Pour tout λ ∈ R on a Vect (a, b) = Vect (a, b+ λa) ; 3. Pour tout λ ∈ R∗ on a Vect (a, b) = Vect (λa, b) ; 4. Application : Dans E = R3 vérifier que

Vect((1, 1, 1), (1, 0,−1)) = Vect((2, 1, 0), (0, 1, 2)).

Ex. 6 Trouver un système d’équations cartésiennes de F dans les cas sui- vants : a) E = R4 et F = Vect ((2, 1, 1,−1), (−1, 1,−1, 1)) b) E = R4 et F = Vect ((1, 2, 0, 1), (2,−1, 1, 0), (0, 1,−1, 2))

Ex. 7 (Inverse de l’exercice précédent) Trouver une partie génératrice du sous-espace F dans chacun des cas suivants:

45

1. E = R2 et F admet comme équation cartésienne x+ 2y = 0 2. E = R3 et F admet comme système d’équations cartésiennes

{

x+ 2y = 0 x− y + z = 0

3. E = R4 et F admet comme système d’équations cartésiennes

{

x− 2y + z − t = 0 −x+ 2y + 3t = 0

Ex. 8 Dans E = R4 on considère la famille F = {v1, v2, v3, v4}, où

v1 = (1, 2, 0, 1) v2 = (4, 4, 1, 2) v3 = (2, 0, 1, 0) v4 = (5, 0,

5 2 , 0)

1. Calculer rg(F). Extraire de F une famille libre F ′ maximale. 2. Compléter F ′ en une base de R4 en prenant des vecteurs de la base canon- ique. 3. Déterminer un supplémentaire de F = Vect(F).

Ex. 9 Montrer, dans chacun des cas suivants, que les sous-espaces F et G de E sont supplémentaires : 1. E = R2, F = {(x, y) ∈ E, x+ y = 0}, G = {(x, y) ∈ E, x− y = 0} 2. E = R3, F = {(x, y, z) ∈ E, x+ y+ z = 0}, G = {(x, y, z) ∈ E, x = y = z} 3. E = R4, F = Vect((1,−1, 1, 0), (1, 2, 0,−1)) et G admet comme système d’équations cartésiennes

{

x+ y − z − t = 0 x− y + z − t = 0

Ex. 10 1. Montrer que (u1, u2, u3) est une base de C 3, où

u1 = (1, 0,−1), u2 = (1, i, 2), u3 = (−i, 1, 1).

2. Calculer les composantes dans cette base de u = (1 + i, 1,−2i).

46

Ex. 11 (Extrait de la colle de Mai 2003)

Soient v1 =

1 0 −1 2

, v2 =

0 1 1 −2

, v3 =

−1 2 3 −6

et V = Vect(v1, v2, v3).

Déterminer dim (V ), une base de V et un système d’équations cartésiennes de V . Soit W l’ensemble défini par les équations

{

x+ y + z + t = 0, y − z + t = 0.

Déterminer dim (V +W ) et dim (V ∩W ).

Ex. 12 Soient dans R4 les vecteurs

u = (1,−1, 2,−2) v = (4, 0, 1,−5) w = (3, 1,−1,−3).

Soit G = Vect(u, v, w) et soit

H = {(x, y, z, t), x = y = x− y + z + 2t = 0}.

1. Donner des équations paramétriques de G et H, ainsi qu’un système d’équations cartésiennes de G. 2. Quelles sont les dimensions de G, H, G+H, G ∩H ? 3. Trouver un supplémentaire F de G+H dans R4.

Ex. 13 ∗ (Extrait de l’examen de Juin 2003) Soient U , V et W trois sous- espaces vectoriels d’un espace vectoriel E sur K. On suppose que V ⊂ W , U ∩ V = U ∩W et U + V = U +W . Montrer que V = W .

47

12.4 Applications linéaires

Ex. 1 Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 qui au vecteur X =

x1 x2 x3

fait correspondre la vecteur Y = f(X) =

x1 − x2 + 2x3 −3x3 x1 + x2

.

1. Déterminer les images par f des vecteurs de la base canonique {e1, e2, e3} de R3. 2. Ecrire la matrice A représentant f dans cette base.

3. Calculer les images par f des vecteurs u =

1 1 −1

 et v =

2 0 3

.

Ex. 2 Dans E = R3, soit P le plan d’équation x− 2y− z = 0 et D la droite d’équations

{

x+ y + z = 0 y − 4z = 0

1. Donner une base {f1, f2} de P et une base {f3} de D. 2. Donner la matrice M (resp., M ′) de la projection sur P parallèlement à D dans la base canonique {e1, e2, e3} de R3 (resp. dans la base {f1, f2, f3}). Ex. 3 1. Soit E = R2[x] l’espace vectoriel des polynômes réels de degré au plus 2, et soit u : E → E l’application définie par u(P ) = P ′ (u est l’opérateur de dérivation). Vérifier que u est un endomorphisme de E, et donner sa matrice dans la base canonique {1, x, x2}. 2. Même question lorsque E est cette fois l’ensemble des combinaisons linéaires des fonctions cos et sin et que la base est la base naturelle {cos, sin}. Ex. 4 Soient

u1 = (1, 0,−1), u2 = (1, i, 2), u3 = (−i, 1, 1). On rappelle (cf. Ex. 10, Chapitre 12.3) que (u1, u2, u3) est une base de C

3. 1. Donner l’expression de la matrice de passage P de la base canonique à la base (u1, u2, u3) de C

3. Si X (resp., X ′) désigne le vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur u de C3 dans la base canonique (resp., dans la base (u1, u2, u3)), exprimer X

′ en fonction de X et de P . 2. Calculer P−1 et retrouver la valeur de X ′ pour u = (1 + i, 1,−2i).

48

Ex. 5 3 1. On considère le système suivant :

(S)

x+ y + z + t = a x− y − z − t = b −x− y + t = c

−3x+ y − 3z − 7t = d

a. A quelle condition (S) admet-il une solution ? b. Montrer que si a, b, c, d > 0 alors (S) n’a pas de solution. c. Quel est l’ensemble des solutions du système homogène associé ?

2. Soit A =

1 1 1 1 1 −1 −1 −1

−1 −1 0 1 −3 1 −3 −7

et X =

x y z t

. Soit f : R4 → R4

définie par f(X) = AX. a. Calculer f(X). Montrer que f est linéaire. b. Quelle est sa matrice dans la base canonique de R4 ? c. f est-elle surjective? injective? Trouver l’image et le noyau de f . d. f est-elle inversible ?

e. Le vecteur

1 1 1 1

appartient-il à l’image de f? au noyau de f ?

3. a. Le vecteur V =

1 2 3 4

appartient-il à l’espace vectoriel engendré par

V1 =

1 1

−1 −3

, V2 =

1 −1 −1 1

, V3 =

1 −1 0

−3

, V4 =

1 −1 1

−7

?

b. Ces 4 vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?

Ex. 6 Soit V = {(x, y, z) ∈ R3; x − 2z = 0, y + 3z = 0, 2x − y − 7z = 3 c©2001 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

49

0, −x+ 2y + 8z = 0, x+ y + z = 0}. On introduit la matrice

M = (C1C2C3) =

1 0 −2 0 1 3 2 −1 −7 −1 2 8 1 1 1

et l’application linéaire u de R3 dans R5 définie par u(X) = MX, où X = 

x y z

.

1. Quel est le lien entre Ker u, Im u, Vect (C1, C2, C3) et V ? Exprimer la dimension de V en fonction du rang de M . 2. Calculer le rang de M et la dimension de V .

Ex. 7 Soient E1, E2 deux espaces vectoriels de dimension finie sur K (K = R ou C) et u : E1 → E2 une application linéaire. Soit F un supplémentaire de ker u dans E1. Montrer que la restriction de u à F est un isomorphisme de F sur Im u.

Ex. 8 ∗ 4 Sommes de puissances d’entiers On sait que la somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2. On veut généraliser ce résultat en trouvant une formule du type

(Fr) n ∑

k=1

kr = Qr(n),

où Qr est un polynôme à déterminer. On fixe r ∈ N∗. 1. On suppose qu’il existe un polynôme P ∈ Rr+1[x] tel que

P (x+ 1)− P (x) = xr.

Donner alors un polynôme Qr vérifiant (Fr). 2. Soit u : Rr+1[x] → Rr[x] l’application définie par u(P ) = P (x+1)−P (x). a) Vérifier que u est bien définie et linéaire. b) Déterminer le noyau et l’image de u. Conclure. c) Que dire de la restriction de u au sous-espace F = Vect (x, x2, ..., xr+1} ? 3. Expliquer comment trouver Qr en général. Faire les calculs pour r = 2 et r = 3.

4 c©2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

50

Ex. 9 ∗ Polynômes interpolateurs de Lagrange Soient x1, x2, ..., xn+1 des réels deux à deux distincts, et soient y1, y2, ..., yn+1 des réels quelconques. On cherche un polynôme P dont le graphe passe par les points (xi, yi). Soit u : Rn[x] → Rn+1 l’application définie par

u(P ) = (P (x1), P (x2), ..., P (xn+1)).

1. Montrer que u est linéaire. 2. Montrer que u est injective, puis que u est un isomorphisme de Rn[x] sur Rn+1. Que peut-on en déduire ? 3. Pour tout i ∈ {1, ..., n+ 1}, on pose

Li =

j 6=i(x− xj) ∏

j 6=i(xi − xj) ·

Déterminer u(Li). 4. Donner l’expression de u−1(y1, y2, ..., yn+1).

Ex. 10 Déterminer le polynôme de Lagrange P , de degré au plus 3, qui vérifie P (−1) = 2, P (0) = 1, P (1) = 1 et P (2) = 0.

Ex. 11 ∗ Polynômes interpolateurs d’Hermite (Extrait de l’examen de Septembre 2003) 1. (Question préliminaire) Soit P ∈ Rn[x] (i.e., P est un polynôme à coefficients réels de degré au plus n) et soit x0 ∈ R. On suppose que P (x0) = P

′(x0) = 0. Montrer que l’on peut écrire P (x) = (x − x0)2Q(x), avec Q ∈ Rn−2[x]. 2. Soient [a, b] un segment et a = x1 < x2 < · · · < xn = b une subdivision de [a, b]. On considère l’application u : R2n−1[x] → R2n définie par

u(P ) = (P (x1), . . . , P (xn), P ′(x1), . . . , P

′(xn)).

a) Montrer que u est linéaire. b) Montrer que Ker u = {0}. (Indications : appliquer la question 1) et faire une récurrence). c) Montrer que pour tous (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ Rn, il existe un unique polynôme P ∈ R2n−1[x] tel que

P (xi) = yi pour 1 ≤ i ≤ n, P ′(xi) = zi pour 1 ≤ i ≤ n.

51

Ex. 12 ∗ Soit E un espace vectoriel sur K (K = R ou C), et soit p un en- domorphisme de E. On dit que p est un projecteur si p2 = p. 1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E qui sont supplémentaires, et soit p la projection sur G parallèlement à F . Montrer que p est un pro- jecteur. 2. Inversement, soit p un projecteur de E. On pose F = ker p et G = Im p. a. Montrer que F et G sont supplémentaires. b. Montrer que p est la projection sur G parallèlement à F .

52

12.5 Réduction des endomorphismes

Ex. 1 1. Montrer que les vecteurs suivants forment une base de R3

u1 =

1 1 −1

 , u2 =

−1 1 1

 , u1 =

1 −2 1

 .

2. Déterminer la matrice de passage de la base canonique E = {e1, e2, e3} à la base U = {u1, u2, u3}.

3. Soit v un vecteur de R3 de composantes X =

x1 x2 x3

 dans la base E et

de composantes Y =

y1 y2 y3

 dans la base U . Exprimer Y en fonction de X.

4. Soit f l’application linéaire (x, y, z) 7→ (2y, 5x+3z,−4x−2y−4z). Donner la matrice de f dans la base U .

Ex. 2 Soit le système récurrent suivant

xn+1 = xn + 2yn − 3zn, yn+1 = yn − zn, zn+1 = zn.

1) Ecrire ce système sous forme matricielle Un+1 = AUn, avec Un =

xn yn yz

.

2) Soit la matrice J = A − I3. Calculer J2 et J3. En déduire An. (On rappelle que la formule du binôme de Newton peut être appliquée pour calculer (M +N)n lorsque M et N sont deux matrices carrées qui commutent.) 3) Exprimer Un en fonction de U0.

Ex. 3 Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés pour les matrices suivantes, et dire si elles sont diagonalisables.

M1 =

(

3 −4 1 −2

)

;

53

M2 =

1 2 0 3 0 1 1 4 0 0 1 2 0 0 0 1

;

M3 =

−2 −1 9 −9 4 0 −3 1 1

 ;

M4 =

0 1 1 · · · 1 1 0 1 · · · 1 1 1 0 · · · 1 · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 0

.

Ex. 4 (Extrait de l’examen de Juin 2004) Diagonaliser la matrice

A =

12 −10 10 6 −3 6

−12 10 −10

(On donnera la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres, et la matrice diagonale correspondante.)

Ex. 5 Diagonaliser chacune des matrices suivantes. (On donnera la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres, et la matrice diagonale correspondante.)

M1 = 1

3

11 −6 2 −6 10 −4 2 −4 6

 ;

M2 =

1 2

−5 2

0 −5

2 1 2

0 0 0 −2

 ;

M3 =

1 a b 0 1 1 0 0 c

 , où a, b et c sont des paramètres réels.

54

Ex. 6 Calculer la puissance n-ème de la matrice

A =

5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3

 .

Ex. 7 Calculer en fonction de n les nombres un et vn définis pour n ≥ 1 par {

un = un−1 + vn−1 vn = −5un−1 − 3vn−1

avec u0 et v0 donnés.

Ex. 8 ∗ Commutateurs (Extrait de l’examen de Juin 2003) Soit A ∈ Mn(C) une matrice ayant n valeurs propres deux à deux distinctes λ1, ..., λn. On choisit pour tout i une base {fi} du sous-espace propre E(λi) associé à la valeur propre λi. On rappelle que (f1, ..., fn) est une base de C

n, constituée de vecteurs propres de A. On veut étudier l’application u : Mn(C) → Mn(C), définie par u(M) = AM −M A. (AM −M A est appelé un commutateur.) 1. Soit M ∈ Ker u. a) Soit i ∈ {1, ..., n}. Montrer que AMfi = λiMfi, et en déduire qu’il existe un scalaire µi ∈ C tel que Mfi = µi fi. b) Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base (f1, ..., fn), et soient D = diag(λ1, ..., λn), D

′ = diag(µ1, ..., µn). Exprimer A et M en fonction de P , D et D′. c) En déduire une caractérisation de Ker u. 2. Remarquant que l’application M 7→ PMP−1 est un isomorphisme de Mn(C) sur lui-même, déterminer la dimension de Ker u, puis celle de Im u. 3. Pour tout polynôme q ∈ Cn−1[x], q(X) = c0+c1X+c2X2+· · ·+cn−1Xn−1, on note q(A) la matrice

q(A) = c0In + c1A+ c2A 2 + · · ·+ cn−1An−1.

Montrer que Ker u = {q(A); q ∈ Cn−1[X]}. (Indication : utiliser la question 1 c) et les polynômes interpolateurs de Lagrange.) 4. Pour tous i, j ∈ {1, ..., n}, on note Eij la matrice n × n dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui qui est situé à la ligne i et à la colonne j et qui vaut 1, et on pose Fij = PEijP

−1. Montrer que Fij ∈ Im u si i 6= j. Donner une base de Im u.

55

Ex. 9 ∗ Isométrie positive (Extrait de l’examen de Juin 2004)

Pour tout vecteur x = (x1, x2, x3) ∈ R3, on note ||x|| = (x21 + x22 + x23) 1 2 sa

norme euclidienne usuelle sur R3. On appelle isométrie de R3 toute appli- cation linéaire u : R3 → R3 telle que ||u(x)|| = ||x|| pour tout x ∈ R3. On se propose de prouver que u est une rotation si et seulement si u est une isométrie de déterminant égal à 1. 1. Soit u la rotation d’angle θ et d’axe ∆ dirigé par le vecteur unitaire f1. Soient f2 et f3 deux vecteurs tels que (f1, f2, f3) soit une base orthonormée directe. a) Rappeler l’expression de la matrice M représentant u dans (f1, f2, f3), et calculer la trace de M . b) En déduire que u est une isométrie de déterminant égal à 1. c) Montrer que M est diagonalisable sur C. Donner une matrice diagonale D semblable à M . 2. Inversement soit u une isométrie de déterminant égal à 1, et M sa ma- trice dans la base canonique. On suppose que M est diagonalisable sur C. a) Montrer que toute valeur propre (complexe) de M est de module égal à 1, puis que M est semblable à une matrice D = diag(1, eiθ, e−iθ), où θ ∈ R. b) Montrer qu’on peut trouver une base orthonormée directe (f1, f2, f3) de R

3

telle que Mf1 = f1, M(f2 + if3) = e −iθ(f2 + if3). Quelle est la matrice de u

dans cette base ? Conclure. 3. Montrer que la composition de deux rotations est une rotation (on admet- tra que toute isométrie est diagonalisable sur C).

56

13. Intégrales doubles

Ex. 1 Calculer

∫ ∫

D

x y2

1 + x2 dxdy, où D = {(x, y) ∈ R2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

1}.

Ex. 2 Calculer

∫ 1

0

( ∫ 1−y

0

ax by dx

)

dy, où a et b sont deux réels distincts,

strictement positifs et différents de 1.

Ex. 3 Des deux intégrales suivantes, laquelle est la plus facile à calculer ? Effectuer ce calcul.

√ 3

1

(∫ 1

0

2 x

(x2 + y2)2 dx

)

dy ,

∫ 1

0

(

√ 3

1

2 x

(x2 + y2)2 dy

)

dx.

Ex. 4 Calculer ∫ z

0

(∫ y

0

(∫ x

0 1 dt )

dx )

dy, puis déterminer par récurrence

∫ xn

0

(∫ xn−1

0

(

. . .

∫ x1

0

1 dx0

)

dx1 . . .

)

dxn−1.

Ex. 5 Calculer

∫ 1

0

(

∫ y

0

2(x+ y) (

1 + (x+ y)2 )2 dx

)

dy et

∫ 1

0

(

∫ 1

x

2(x+ y) (

1 + (x+ y)2 )2 dy

)

dx. L’égalité était-elle prévisible ?

Ex. 6 Calculer Iε =

∫ ∫

exp y

x dx dy, où 0 < ε < 1 et

Dε = {(x, y) ∈ R2, y ≤ x, y ≥ 0 et ε ≤ x ≤ 1}. Que vaut limε→0+ Iε ?

Ex. 7 Calculer ∫∫

D (1− x− y) dx dy, où

D = {(x, y) ∈ R2, y + x ≤ 1, y ≥ 0, x ≥ 0}.

Ex. 8 Calculer (en utilisant les coordonnées polaires)

∫ ∫

D

y3

x2 + y2 dxdy, où

D = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ x}.

57

Ex. 9 Calculer l’aire du domaine

D = {(x, y) ∈ R2, y ≤ 2− x2 et y ≥ x}.

Ex. 10 Calculer l’aire du domaine

D = {(x, y) ∈ R2, | x |≤ 1, 2 √ 3 x2 ≤ y ≤

√ 1− x2}.

Ex. 11 Soit D le domaine défini par

D = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x ≤ √ 3,

x√ 3 ≤ y ≤ x}.

Calculer directement, puis en utilisant les coordonnées polaires, l’intégrale

double

∫ ∫

D

x

x2 + y2 dxdy.

Ex. 12 Calculer ∫∫

D (y − x) dx dy, où D = {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, x − 3 ≤

y ≤ x+ 1, −2 x+ 1 ≤ y ≤ −2 x+ 7}, en faisant le changement de variables u = y − x, v = y + 2 x.

Ex. 13 Aire d’une ellipse (Extrait de l’examen de Juin 2004) On veut calculer l’aire du domaine ∆ = {(x, y) ∈ R2; x2/a2 + y2/b2 < 1} délimité par l’ellipse d’équation x2/a2 + y2/b2 = 1. 1. Montrer que l’application ϕ : (r, θ) 7→ (x, y) = (ra cos θ, rb sin θ) définit un changement de variables de classe C1 de D =]0, 1[×] − π, π[ sur ∆′ = ∆ \ [−a, 0]× {0}. Représenter D et ∆′. 2. Calculer l’aire de ∆′ grace au changement de variables précédent. 3. Que retrouve-t-on lorsque a = b ?

58

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