Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 11, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’écriture du nombre complexe, le module et l’argument, les composantes scalaires.
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[ Dakar juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Démontrer que 22n +2 est divisible par 3 quel que soit l’entier naturel n. En déduire, ou démontrer directement, que

22n +15n−1

est unmultiple de 9. (On pourra raisonner par récurrence.)

EXERCICE 2

Simplifier l’écriture du nombre complexe

Z = (i−1)4

(i+1)5 .

Préciser le module et l’argument.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (R) d’axes x′Ox, y ′Oy , de vecteurs uni-

taires −→ ı et

−→ .

Soit T la transformation ponctuelle qui, à tout point M de coordonnées x, y [on écriraM(x ; y)], fait correspondre le point M ′(x′ ; y ′) tel que

{

x′ = 2x+3y, y ′ = 3x+10y.

1. Montrer queT admet une transformation réciproque,T−1 . Existe-t-il des points doubles ? T est-elle involutive ?

2. Trouver la transformée, (D′), d’une droite (D) d’équation ax+by+c = 0 par la transformation T .

Calculer le coefficient directeur, p ′, de (D’) en fonction de celui, p, de (D).

On pose S = (D)∩ (D′). Déterminer l’ensemble des points S quand (D) varie.

3. Démontrer que, si deux points particuliers, M et M ′, se correspondent dans une homothétie de centre O et de rapport k, k est solution de l’équation

k2−12k+11 = 0.

Calculer la valeur de k ; en déduire que M et M ′ appartiennent à l’une ou l’autre de deux droites, dont on déterminera l’angle.

4. À chaque point du plan, de coordonnées (x ; y), on associe le vecteur −→ V de

composantes scalaires (x ; y) par rapport à (R) [on écrira −→ V (x ; y)].

Étant donné deux vecteurs, −→ V1

(

x1 ; y1 )

et −→ V2

(

x2 ; y2 )

, montrer que l’expres- sion

F (

−→ V1 ,

−→ V2

)

= 2x1x2+3x1y2+3x2y1+10y1y2

satisfait aux conditions (1), (2), (3) suivantes :

(1) F (

−→ V1 ,

−→ V2

)

= F (

−−→ W1 ,

−→ V2

)

+F (

−−→

W ′1 , −→ V2

)

si −→ V1 =

−−→ W1 +

−−→

W ′1

(2) F (

−→ V1 ,

−→ V2

)

= F (

−→ V1 ,

−−→ W2

)

+F (

−→ V1 ,

−−→

W ′2

)

si −→ V2 =

−−→ W2 +

−−→

W ′2

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

On posera, pour cela, −−→ W1

(

α1, β1 )

, −−→

W ′1 (

α′1, β

1

)

, −−→ W2

(

α2, β2 )

, −−→

W ′2 (

α′2, β

2

)

.

Si l etm sont des constantes,

(3) F (

l −→ V1 , m

−→ V2

)

= lmF (

−→ V1 ,

−→ V2

)

.

Que peut-on dire de F (

−−→ W1 ,

−−→ W2

)

si −−→ W1 et

−−→ W2 sont respectivement parallèles

aux vecteurs −→ u (+3 ; −1) et

−→ v (+1 ; +3). Par suite, si l’on pose

−→ V1 = x1

−→ ı + y1

−→ ] = X1

−→ u +Y1

−→ v ,

−→ V2 = x2

−→ ı + y2

−→ ] = X2

−→ u +Y2

−→ v ,

calculer F (

−→ V1 ,

−→ V2

)

en fonction de X1, X2, Y1, Y2 et F (

−→ V1 ,

−→ V1

)

en fonction de

X1 et Y1.

5. Trouver l’ensemble, (E), des points M(x ; y), de tranformé M ′(x′ ; y ′) par T ,

tels que −−−→ OM ·

−−−→

OM ′ = k2 ?

Pour cela, on formera l’équation de (E) dans le repère (R), puis dans le repère

(R′), de même origine, de base −→ u = 3

−→ ı

−→ ,

−→ v =

−→ ı +3

−→ .

Dakar 2 juin 1967

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