Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 12, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, les droites globalement invariantes, la droite perpendiculaire.
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[ Baccalauréat Dakar septembre 1967 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

Exercice 1

Un nombre complexe z vérifie la relation

(E ) z2(1− i)−10z+13(1+ i)= 0.

1. Trouver une relation, (E ′), équivalente à (E ), telle que le coefficient de z2 soit 1.

2. Montrer que la relation (E ′) peut se mettre sous la forme (z+α)2−β2 = 0, α et β étant deux nombres complexes, et calculer z1 et z2, valeurs de z vérifiant (E ) ou (E ′).

3. Soit M1 et M2 les images de z1 et z2. Calculer OM1, OM2 et tgM1OM2.

Exercice 2

Soit un cercle (C ), de diamètre OA. On considère la transformation ponctuelle (T ) qui, à tout pointM du plan du cercle, associe le pointM ′ conjugué deM par rapport à O et P , P étant le deuxième point d’intersection de OM et de (C ).

Partie A

1. (T ) est-elle involutive ? Pourquoi ?

2. Quels sont les points doubles de (T ) ?

3. Quels sont les points M dont le transformé esL rejeté à l’infini ?

4. Y a-t-il un point dont le transformé est indéterminé et quelle est la droite dont tous les points ont même transformé ?

5. Quelles sont les droites globalement invariantes ?

Partie B

Soit I le centre du cercle (C ), de rayon unité ; on pose −→ OI =

−→ ı .

À tout point M du plan on associe le vecteur unitaire −→ u de la droite OM , tel que

(

−→ ı ,

−→ u

)

=ϕ, 06ϕ<π et −−−→ OM = ρ

−→ u (ρ positif ou négatif).

1. Quelle relation a-t-on entre ρ et ϕ pour les points de (C ) ?

2. Exprimer ρ1 et ϕ1 associés à M1 transformé de M , en fonction de ρ et ϕ et retrouver ainsi les résultats b. et c. de la partie A.

3. Soit (Γ) l’ensemble des points caractérisés par la relation ρ = a cosϕ (a 6= 1). Caractériser (Γ) et son transformé, (Γ1).

À quelle transformation classique (T ) est-elle équivalente pour l’ensemble (Γ) ?

4. Soit (D) la droite perpendiculaire à OI au point H tel que −−→ OH = a.

−→ ı . Quelle

relation entre ρ et ϕ a-t-on pour les points M de (D) ?

Quelle relation entreρ1 etϕ1 a-t-onpour les pointsM1 , transformésdes points M de (D) ?

Pour quelles valeurs de a le nombre ρ1 peut-il devenir infini ? Devient-il infini

pour ϕ= π

4 ?

Baccalauréat mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

Partie C

Soit (x ; y), (

x1 ; y1 )

les coordonnées de M et M1 relativement à un repère ortho-

normé x′Ox, y ′Oy tel que −→ ı soit le vecteur unitaire de x′Ox.

1. Calculer x1 et y1 en fonction de x et y [on pourra utiliser le paragraphe B, b.].

2. On suppose que M décrit la droite (D) d’équation x = a. Trouver l’ensemble (D1), transformé de (D), et étudier sa nature suivant les valeurs de a. [Pour cela, il sera avantageux d’exprimer x en fonction de x1 et y1. Pour quelle valeur de a (D1) est-il une hyperbole équilatère ?

N. B. Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Dakar 2 septembre 1967

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