Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 14, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’existence d’un point G, les distances respectives de G, la notation.
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[ Baccalauréat Éthiopie septembre 1967 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES Sujet de secours

Exercice 1

On donne trois points non alignés, A, B, et C. Indiquer unmode de construction et discuter l’existence d’un point G satisfaisant à l’égalité vectorielle

−−→ GA

GA +

−−→ GB

GB +

−−→ GC

GC = −→ 0 ,

GA, GB, GC étant les distances respectives de G aux points A, B et C. On montrera qu’un tel point G, s’il existe, est nécessairement intérieur au triangle

ABC et l’on donnera la mesure, en radians, modulo 2π, des angles (

−−→ GB ,

−−→ GC

)

, (

−−→ GC ,

−−→ GA

)

, (

−−→ GA ,

−−→ GB

)

Exercice 2

1. Calculer et écrire dans le système de numération de base 7 la somme desmul- tiples par 1, 2, 3, 4, 5 et 6 du nombre qui, dans ce système, s’écrit 1110.

2. Même problème pour la somme desmultiples par 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 du nombre qui s’écrit 1110 dans le système de base 8.

3. Dans quels cas les résultats obtenus au 1 et au 2 se généralisent-ils à la somme desmultiples par 1, 2, 3, . . . , (n−1) du nombre qui s’écrit 1110 dans le système de base n ?

Exercice 3

On considère les fonctions f0, f1, f2, f3, ..., fn (n entier positif) de la variable x défi- nies par :

f0(x) = Log |x|; f1(x) = f0(x +1)− f0(x) ; f2(x) = f1(x +1)− f1(x) ; f3(x) = f2(x +1)− f2(x) ; . . . = . . . fn(x) = fn−1(x +1)− fn−1(x).

Log est la notation désignant un logarithme népérien ; |x| est la valeur absolue du nombre réel x.

1. a. Indiquer le domaine de définition de chacune de ces fonctions.

b. Étudier les variations des fonctions f0, f1, f2 et f3 dans leurs domaines de définition respectifs.

Tracer les courbes C0,C1,C2 et C3 qui représentent graphiquement ces variations relativement à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy .

2. a. Montrer que C0 et C2 possèdent un axe de symétrie et que C1 et C3 pos- sèdent un centre de symétrie.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Calculer les abscisses des points de rencontre avec l’axe x ′Ox des courbes C0,C1,C2 et C3.

Il est conseillé, dans le cas deC3 , de faire un changement d’origine conve- nable.

3. Montrer que la fonction fn a pour dérivée, pour la valeur x,

f n (x)= (−1)nn!

x(x +1)(x +2) . . . (x +n) .

Sans s’attarder à étudier en détail les variations de cette dérivée f n et à en tra- cer, relativement à un repère orthonormé, la courbe représentative, Γn exami- ner dans quels cas Γn admet, soit un axe de symétrie, soit un centre de symé- trie.

Préciser la position de cet axe ou de ce centre de symétrie.

4. a. Calculer, en raisonnant par récurrence, fn (x) en fonction de f0(x),

f0(x +1), . . . , f0(x +n).

b. On désigne par Cn la courbe qui, dans un repère orthonormé, a pour équation

y = fn (x).

Montrer que, si n est pair (n = 2q), la courbe C2q admet un axe de symé- trie et que, si n est impair (n = 2q +1), la courbe C2q+1 admet un centre de symétrie.

On pourra, soit raisonner par récurrence, soit utiliser la formule obtenue au 4. a.

Éthiopie 2 septembre 1967

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