Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 15, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le parallélépipède rectangle, Le produit des symétries, la fonction primitive de la fonction logarithme népérien...
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[ Étranger groupe I 1 juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Soit un parallélépipède rectangle ; ABCD en est une face, AA′, BB′, CC′, DD′ en sont des arêtes ; on fait, successivement et dans cet ordre, les symétries orthogonales sui- vantes (ou retournements) :

S1 d’axe AD, S2 d’axe BB ′, S3 d’axe C

′D′.

Le produit de ces symétries, qu’on pourra noter S3 ◦ S2 ◦ S1, équivaut à une trans- formation T , que l’on reconnaîtra et que l’on énoncera en utilisant seulement des lettres de la figure donnée.

EXERCICE 2

Le repère, d’axes x′Ox et y ′Oy , est orthonormé ; soit (C) la courbe représentative de la fonction définie par

y = ex ;

(C) coupe y ′Oy en A. Un point M(a ; b) de (C) est projeté sur x′Ox en P et sur y ′Oy en Q .

1. Évaluer par différence et selon le signe de a l’aire de la région du plan que limitent les segments AQ ,QM et l’arc AM de (C).

2. En déduire une fonction primitive de la fonction logarithme népérien.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé, d’axes x′Ox et y ′Oy . Soit k un nombre positif donné, a lamesure d’une longueur donnée et (H) la courbe d’équation

y = f (x), avec f (x)= √

k2x2+a2.

1. a. Reconnaître et tracer (H).

b. Calculer l’abscisse du point, I , où la normale à (H) au point M d’abscisse λ coupe l’axe x′Ox.

c. Former l’équation du cercle (), de centre I , qui passe en M .

2. Le cercle () coupe x ′Ox en deux points, P’ et pu.

a. Former et ordonner l’équation donnant les abscisses, X ′ et X ′′, de ces points.

b. Montrer que X ′ et X ′′ vérifient la relation suivante, indépendante de λ :

(1) (

X ′+X ′′ )2 = 4

(

k2+1 ) (

X X ′′+a2 )

.

c. Inversement, on donne sur x′Ox deux points,P ′ etP ′′, dont les abscisses, X ′ et X ′′, vérifient la relation (1) ; existe-t-il un nombre λ tel que le cercle () admette P

P ′′ pour diamètre ?

3. On suppose, dans toute la suite du problème, X ′ < X ′′.

1. Le Groupe 1 comprend les pays suivants : Algérie, Iles Comores, Cameroun sud, Italie, Turquie, Côte française des Somalis, Égypte, Éthiopie, Syrie, Liban, Grèce, Tunisie, Espagne et Portugal.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

a. Résoudre l’équation (1) par rapport à X ′′, en fonction de X ′, et aussi par rapport à X ′, en fonction de X ′′.

On emploiera les notations Y ′ et Y ′′ pour désigner f (

X ′ )

et f (

X ′′ )

.

b. Établir les formules

(2) Y ′′+kX ′′ =α2 (

Y ′+kX ′ )

, Y ′′−kX ′′ =β2 (

Y ′−kX ′ )

,

où l’on a posé

α= √

k2+1+k, β= √

k2+1−k (αβ= 1).

4. Soit T la transformation ponctuelle, définie sur x′Ox, dans laquelle tout point, interprété. comme un point P ′, admet un transformé, interprété comme le point P ′′ associé, P ′′ = T

(

P ′ )

.

On part d’un point P0 sur x′Ox et l’on forme la suite des points

P1 = T (P0) , P2 = T (P1) , . . . , Pn = T (Pn−1) , . . .

à partir de n = 0. Soit Xn l’abscisse de Pn et Yn = f (Xn ).

a. Calculer Yn +kXn et Yn kXn en fonction de n,α et β, ainsi que des don- nées initiales X0 etY0 ; onutilisera, à cet effet, des formules de récurrence déduites des formules (2), justifiées ou non.

Calculer ensuite Xn et Yn .

b. On suppose X0 = 0 et k entier ; montrer que Yn et Xn

2 p

k2+1 sont deux

multiples entiers de a.

Étranger groupe I 2 juin 1967

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