Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 7, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base du système de numération, les variations des fonctions définies, la transformation ponctuelle.
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[ Besançon juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Déterminer la base du système de numération dans lequel on a

46+53= 132

et effectuer, dans ce système, l’opération 46×53.

EXERCICE 2

1. Étudier les variations des fonctions définies par

x f1 −→ y1 =

tg x

tg x −2 et x

f1 −→ y2 =

tg x

tg x +2

et construire leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé.

2. Étudier le signe de

∆(x ; y)= tg2 x(1− y)2−4y2,

suivant la position d’un point M(x ; y) dans un repère orthonormé, en suppo-

sant l’abscisse de M telle que 06 x < π

2 .

EXERCICE 3

On définit, en Géométrie plane, une transformation ponctuelle T de la façon sui- vante : étant donné deux points fixes, O et A, et une droite fixe (D), ne passant pas par O et non parallèle à OA, le transformé, M , d’un point m est l’homothétique de A dans l’homothétie de centre m qui transforme O en un point, P, de la droite (D).

1. a. Construire le transformé, M , d’un point m, en précisant l’ensemble () sur lequel cette transformation T n’est pas définie.

b. Transformation réciproque T −1 : étant donné M , construire m, en préci- sant l’ensemble (L) sur lequel la transformation T −1 n’est pas définie.

2. On donne deux points, m et m′, et l’on désigne par M et M ′ leurs transformés respectifs par T , par P et P ′ les points d’intersection respectifs des droites mO et m′O avec (D).

a. Démontrer que les vecteurs −−−−→

P M ′ et −−→

P M se correspondent dans une homothétie ou une translation, que l’on précisera ; en déduire que les droites mm′ et M M ′ concourent sur (D) ou sont parallèles à (D).

b. Étudier l’ensemble, (∆), des points transformés par T des points d’une droite donnée (δ). Le point I étant l’intersection, lorsqu’elle existe, de (δ) et (), que peut-on dire de (∆) par rapport à la droite AI ?

3. Étude analytiquede cette transformationdansun repère orthonormé x′Ox, y ′Oy . On prendra x = p pour équation de (D) et (a ; b) pour coordonnées de A ; on précisera les conditions à poser sur ces constantes pour que (D) et A satis- fassent aux hypothèses.

a. (x ; y) étant les coordonnées de m, (X ; Y ) étant celles de M , exprimer X et Y en fonction de x et y ; exprimer x et y en fonction de X et Y .

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

b. Retrouver (∆), transformée d’une droite (δ), et les positions respectives de (δ), (∆) et (D).

4. Déterminer l’ensemble des points transformés par T de ceux d’un cercle (C), de centre A et de rayon R ; préciser, suivant les valeurs de R, sa nature et le caractériser.

N. B. - Les questions 1 et 2, d’une part, 3 et 4 d’autre part, sont indépendantes.

Besançon 2 juin 1967

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